赫兹线接触134年

田红亮　黄　瑶　陈甜敏　郑金华　余　媛

(三峡大学 机械与动力学院， 湖北 宜昌　443002)



赫兹线接触134年

田红亮黄瑶陈甜敏郑金华余媛

(三峡大学 机械与动力学院， 湖北 宜昌443002)

平行轴两接触圆柱在轴向长度上受径向压缩均匀分布载荷．平行轴两接触圆柱的接触平面是一个长方形．接触压应力呈半圆弧函数分布．采用数学弹性理论详细推导了赫兹线接触的计算公式．柯西主值表明：文献[1]中无界函数反常积分的定义2(3)是错误的．

平面应力；平面应变；柯西几何方程；艾瑞应力函数；符拉芒基本解答

1882年赫兹发表了论文《关于弹性固体的接触》[2]，在那时赫兹年方24岁．赫兹享年36岁．

1　直角坐标中的平衡微分方程

在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，棱边的长为PA=dx，PB=dy，PC=dz，见图1．应力分量是位置坐标的函数．作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，具有微小增量．正应力用σ表示，为表明正应力的作用面和作用方向，加一个下标字母，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上，也沿x轴的方向作用．切应力用τ表示，并加两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿哪一个坐标轴，切应力τxy作用在垂直于x轴的面上而沿y轴方向作用．如果某一截面上的外法线沿坐标轴的正方向，这个截面称为一个正面，这个面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负．相反如果某一截面上的外法线沿坐标轴的负方向，这个截面称为一个负面，这个面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负．图1所示的应力全都是正的．虽然上述正负号规定，对于正应力来说，结果和材料力学中的规定相同(拉应力为正而压应力为负)，但对于切应力来说，结果却和材料力学中的规定不完全相同．在微元体的后面PBDC上作用的正应力为

(1)

图1　微小平行六面体的平衡

在微元体的前面QEAF，坐标x得到增量dx，因此该面上的正应力可展开成泰勒公式[1]

(2)

以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，顺时针转向时，规定为正，列出力矩的平衡方程为

(3)

(4)

(5)

同样可以得出切应力互等定理

(6)

其次，以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得

(7)

(8)

同样可以得出空间问题的平衡微分方程

(9)

(10)

2　直角坐标中的几何方程与形变连续性方程

形变是形状的改变．物体的形状可用它各部分的长和角度来表示．物体的形变可归结为长和角度的改变．切应变以直角变小时为正，变大时为负．切应变用字母γ表示，γyz表示y与z两方向的线段(即PB与PC)之间的直角改变量(用弧度表示)．现以xy平面上的投影(见图2)为例．图中PACB为变形前的投影，而P′A′C′B′为变形后的投影．

图2　位移分量与形变分量的关系

P点在x及y轴上的位移分量为u、v．由式(2)可得A点在x及y轴上的位移分量为

(11)

(12)

由式(2)可得B点在x及y轴上的位移分量为

(13)

(14)

根据应变分量的定义，可得Cauchy几何方程

(15)

(16)

(17)

同理可得

(18)

(19)

(20)

每单位体积的体积改变就是体积应变，即

(21)

3　直角坐标中的物理方程

先考虑在各正应力作用下沿x轴的相对伸长

(22)

(23)

(24)

(25)

将这3个应变相加，即得在x轴方向的应变

(26)

同理可得到y轴与z轴方向的应变为

(27)

(28)

根据实验可知，τxy只引起xy坐标平面内的切应变γxy，而不引起γyz、γzx，这样就可得广义胡克定律[3]

(29)

将式(26)～(28)三式相加，得

(30)

命σx+σy+σz=Θ，将式(30)代入式(21)得

(31)

由式(26)得

(32)

(33)

将式(31)代入式(33)得

(34)

同理可得

(35)

(36)

引入切变模量[3]G与拉梅常数λ

(37)

将式(37)分别代入式(34)～(36)得

(38)

(39)

4　平面应力问题

可以设在薄板的所有各点均有

(40)

将式(40)代入式(26)～(28)

(41)

(42)

(43)

(44)

5　平面应变问题

按照式(28)，得

(45)

位移是位置的移动．将式(45)代入式(26)和(27)

(46)

(47)

(48)

将平面应力问题物理关系中的弹性常数对换

(49)

式(41)为式(46)，式(42)为式(47)，式(43)为式(48)．

6　弹性力学平面应力问题的基本方程

使用式(8)和(9)可得平衡方程

(50)

(51)

应用式(15)和(16)得

(52)

将式(17)代入式(52)得相容方程

(53)

将式(41)～(43)代入式(53)得

(54)

(55)

由式(50)和(51)分别得

(56)

(57)

式(56)加(57)得

(58)

将式(58)代入式(55)得

(59)

式(58)加(59)得

(60)

式中，▽称为二维的向量微分算子或Nabla算子[5]；▽2代表拉普拉斯算子，且

(61)

在工程中，X及Y皆为常数，式(60)简化为

(62)

7　弹性力学平面问题的应力函数方法

方程组(50)和(51)的特解可以取为σx=-Xx，σy=-Yy，τxy=0．也可取为σx=0，σy=0，τxy=-Xy-Yx或σx=-Xx-Yy，σy=-Xx-Yy，τxy=0．

方程组(50)和(51)对应的齐次微分方程组为

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

因而存在某一个艾瑞应力函数φ(x，y)，使得

(72)

(73)

将式(72)代入式(66)，式(73)代入式(69)，式(72)代入式(67)(或式(73)代入式(70))

(74)

方程组(50)和(51)的通解为

(75)

将式(75)代入式(62)得

(76)

(77)

8　极坐标中的平衡微分方程

在极坐标中，平面内任一点P的位置，用径向坐标r及环向坐标θ表示，如图3所示．

图3　在极坐标中微元体的平衡

取厚度为1．PB面的面积为rdθ，AC面的面积为(r+dr)dθ，PA及BC两面的面积均为dr，体积为rdθdr．将所受各力投影到微元体中心的径向轴上

(78)

(79)

(80)

将各力投影到微元体中心的切向轴上，得

(81)

(82)

(83)

9　极坐标中的几何方程及物理方程

假定只有径向位移，见图4(a)．PA移到P′A′，PB移到P′B′，P、A、B三点的位移分别为

(84)

图4　极坐标中形变分量的分析

径向线段PA的正应变为

(85)

环向线段PB的正应变为

(86)

径向线段PA的转角为

(87)

环向线段PB的转角为

(88)

式(87)加(88)可得切应变为

(89)

假定只有环向位移，见图4(b)．PA移到P″A″，PB移到P″B″，P、A、B三点的位移分别为

(90)

径向线段PA的正应变为

(91)

环向线段PB的正应变为

(92)

径向线段PA的转角为

(93)

(94)

式(93)加(94)可得切应变为

(95)

式(85)加(91)得

(96)

式(86)加(92)得

(97)

式(89)加(95)得

(98)

极坐标物理方程与直角坐标物理方程具有同样的形式，只是脚标x换为r，脚标y换为θ．在平面应力的情况下，由式(41)～(43)可得物理方程为

(99)

(100)

(101)

10　极坐标中的应力函数与变形连续方程

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

艾瑞应力函数φ(x，y)=φ(rcosθ，rsinθ)=Φ(r，θ)，φ是x和y的函数，同时也是r和θ的函数，可得

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

由图3，把x和y轴分别转到r和θ，使θ为零，σx、σy、τxy分别为σr、σθ、τrθ．由式(74)和(111)得

(113)

由式(74)和(110)得

(114)

由式(74)和(112)得

(115)

将式(113)～(115)代入式(80)的左边得

(116)

将式(114)、(115)代入式(83)的左边得

(117)

将式(110)与(111)相加，得到

(118)

(119)

将式(118)代入式(77)得

(120)

11　应力分量的坐标变换式

取三角板A，见图5，ab及ac边分别沿y及x方向，bc边沿θ方向．命bc边的长为ds，ab边的长为dscosθ，ac边的长为dssinθ．三角板的厚度为1．

图5　微小三角板在两种坐标系中的应力分量

根据三角板A沿径向坐标r方向的平衡条件

(121)

(122)

根据三角板A沿环向坐标θ方向的平衡条件，得

(123)

(124)

另取微小三角板B，见图5，沿环向坐标θ方向

(125)

(126)

式(122)加(126)得

(127)

(128)

将式(128)代入式(122)得

(129)

将式(128)代入式(124)得

(130)

按克莱姆法则联立求解方程式(129)与(130)得

(131)

(132)

将式(131)代入式(128)得

(133)

12　半平面体在边界上受集中力

在点o上受集中力，沿z轴的厚度方向受分布力，与边界法线成角度β，见图6，命单位厚度上受的力为P，P的因次是N/m．

图6　在直边界上受集中力作用的半平面体

应力分量的表达式只可能取(P/r)N的形式，N是由无因次数量β和θ组成的无因次数量．在应力分量的表达式中，r只可能以负一次幂出现．由式(113)～(115)，φ中的r的幂次应当比应力分量中的r的幂次高出两次．可以假设应力函数

(134)

根据式(120)得

(135)

(136)

方程(136)的特征方程为

(137)

有一对2重复根r1，2=±i，方程(136)的通解为

(138)

(139)

取φ=a+bx+cy，式(76)满足．由式(74)得σx=0，σy=0，τxy=0．可见：①线性应力函数对应于无体积力、无表面力、无应力．②把平面问题的应力函数加线性函数，不影响应力．式(139)中前两项Arcosθ+Brsinθ=Ax+By不影响应力，可删去．取

(140)

将式(140)代入式(113)得简单径向分布

(141)

将式(140)代入式(114)得

(142)

将式(140)代入式(115)得

(143)

在o点附近的一小部分边界上，有一组表面力作用，它的分布没给出，但它在单位宽度上合成为P．在任何一个半圆形截面abc上的应力的整体，和载荷P合成平衡力系．沿x、y方向

(144)

(145)

将式(141)分别代入式(144)与(145)得

(146)

(147)

(148)

当力P垂直于直线边界，见图7，其解答最有用．

图7　垂直于直线边界集中力作用的半平面体

为得出此时的应力分量，在式(148)中取β=0得

(149)

将式(149)、(142)与(143)代入式(131)得

(150)

将式(149)、(142)与(143)代入式(133)得

(151)

将式(149)、(142)与(143)代入式(132)得

(152)

将式(102)与(103)都分别代入式(150)～(152)

(153)

(154)

(155)

将式(149)、(142)与(143)代入式(99)～(101)得

(156)

(157)

(158)

将式(156)代入式(96)、式(157)代入式(97)、式(158)代入式(98)得

(159)

(160)

(161)

(162)

将式(162)代入式(160)得

(163)

(164)

将式(162)、(164)代入式(161)得

(165)

(166)

方程左边是r的函数，右边是θ的函数，因此

(167)

(168)

方程(167)的通解是

(169)

(170)

(171)

设方程(171)具有形如以下特解

(172)

(173)

(174)

(175)

故方程(170)具有形如以下特解

(176)

方程(170)的通解是

(177)

将式(177)代入式(162)得符拉芒基本解答

(178)

将式(177)代入式(168)得

(179)

与式(177)一致．将式(179)与(169)代入式(164)

(180)

假设半无限大板(图7)的约束条件是：在x轴上的各点没有侧向位移．于是

(181)

将式(180)代入式(181)，得H=K=0．于是式(178)与(180)成为

(182)

(183)

由式(182)，在x轴上各点的径向位移为

(184)

x轴上距原点为d的一点不作铅直移动．由式(184)

(185)

(186)

将求点M(见图8)向下的铅直位移，即沉陷．

图8　任意点M的沉陷

在距原点为r处的M点向下的沉陷为

(187)

将式(49)代入式(187)得

(188)

13　两轴线平行的圆柱赫兹线接触

两个互相接触的轴线平行的圆柱，彼此受压力作用，见图9，由于圆柱弹性变形而造成的接触面宽2b比圆柱的半径R1、R2及长B小得多．

图9　相接触的轴线平行的圆柱

设M和N是圆柱面上的点，它们距通过两圆柱轴线的平面的距离均为r，z1、z2表示M、N点到变形前的两圆柱公切面的垂直距离．由于

(189)

(190)

(191)

(192)

(193)

(194)

两圆柱移近了δ，令M、N二点因接触后的局部变形而产生的分别沿z1及z2方向的位移为w1及w2

(195)

(196)

接触面是矩形，矩形所围成的闭区域为D={(x，y)|-b≤x≤b，0≤y≤B}．接触面的宽2b所在的区间为-b≤x≤b，见图10，沿接触面宽的方向分布压应力q(x)．接触面的长B所在的区间为0≤y≤B，压应力不沿长度方向发生变化，即q(x，y)=q(x)．

图10　分布压应力q(x)作用的半无限平面

作用于矩形接触面D上的总载荷为

(197)

(198)

证明如下．式(198)等于

(199)

(200)

(201)

按式(198)，式(197)等于

(202)

沿矩形长方向，接触面每单位轴向长度上的力为

(203)

沿矩形宽方向，为求出直线边界上某一点M处的沉陷，命M点的坐标为r．距坐标原点o为x处取微小长度dx，将其上所受的分布力dP=q(x)dx看作一个微小集中力．对圆柱1，令d=R1，由式(188)

(204)

由图8可知，式(204)中的r为M点与集中力P的距离．在图10中，M点与微小集中力dP的距离为|r-x|，用|r-x|代替式(204)中的r，得

(205)

微小集中力dP=q(x)dx在M点引起的沉陷为

(206)

(207)

将式(203)代入式(207)得

(208)

(209)

将式(208)与(209)代入式(196)得

(210)

将式(210)对r求导，得

(211)

(212)

文献[1]中的定义2(3)是错误的．由柯西主值

(213)

(214)

将式(214)代入式(213)得

(215)

式(215)不同于文献[4]中的

将式(215)代入式(211)得

(216)

q(x)与以直径2b的半圆弧的纵坐标成正比例

(217)

将式(217)代入式(203)得

(218)

(219)

由式(213)得

(220)

(221)

可得以下不定积分[1]

(222)

将式(221)代入半角公式

(223)

(224)

(225)

(226)

不定积分式(222)也可写为

(227)

将式(226)代入式(227)得

(228)

表明式(225)与(228)只差一个常数．

(229)

(230)

(231)

将式(225)、(229)与(230)代入式(231)得

(232)

根据柯西主值，由式(232)得

(233)

式(232)与(233)皆不同于文献[4]中的

将式(217)代入式(216)得

(234)

将式(233)代入式(234)得

(235)

将式(219)代入式(235)可得接触半宽为

(236)

将式(236)代入式(219)得

(237)

将式(203)分别代入式(236)与(237)得

(238)

(239)

[1]同济大学数学系．高等数学上册[M]．7版．北京：高等教育出版社，2015：137-138，259-262，381．

[2]Hertz Heinrich． Über Die Berührung Fester Elastischer Körper (On the Contact of Elastic Solids)[J]． J Reine und Angewandte Mathematik，1882，92：156-171．

[3]刘鸿文，林建兴，曹曼玲，等．材料力学Ⅰ[M]．5版．北京：高等教育出版社，2015：32-33，76-77，235．

[4]白明华，刘洪彬，尹雷方．工程弹性力学基础[M]．北京：机械工业出版社，1996：15，29，31，44，56，92．

[5]同济大学数学系．高等数学下册[M]．7版．北京：高等教育出版社，2015：16，106，182，235．

[责任编辑张莉]

134 Years of Hertz Line Contact

Tian HongliangHuang YaoChen TianminZheng JinhuaYu Yuan

(College of Mechanical & Power Engineering, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

The radial compressive homogeneity distribution load is applied to two contact cylinders with parallel axes in the axial length. The contact plane of two contact cylinders with parallel axes is a rectangle. The contact pressure distributes in a half circular arc function. Some calculating formulas of Hertz line contact are deduced in detail using the mathematical theory of elasticity. The Cauchy principal value shows that the abnormal integral definition 2(3) of boundless function in the reference [1] is wrong.

plane stress;plane strain;Cauchy geometrical equations;Airy stress function;Flamant basic solution

2015-11-27

国家自然科学基金面上资助项目(51275273)

田红亮(1973-)，男，副教授，博士，三峡学者，研究方向为赫兹．E-mail：thl19732003@aliyun.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.04.021

TH113.1

A

1672-948X(2016)04-0101-12