Landau定理中上界的一个改进

郭辉，李文华

（深圳大学数学与统计学院，广东 深圳　518060）

Landau定理中上界的一个改进

郭辉，李文华

（深圳大学数学与统计学院，广东 深圳518060）

通过相关文献给出的穿孔平面C{0，1}的双曲度量的密度函数的新的下界估计，借助广义Schwarz引理我们对Landau定理中关于上界做了进一步改进并得到了一个带参数的上界表达式.并且当参数取到0时，此结论正好为相关文献得到的结果.

Landau定理；全纯函数；Poincar´e度量

1　引言

记∆={z：|z|＜1}为单位圆，C{0，1}为穿孔平面，和ρ0，1(z)为穿孔平面双曲度量的密度函数.众所周知，Landau定理是复分析的一个重要的经典定理.设函数f(z)在单位圆∆内全纯，且不取0和1，并在原点有展式：f(z)=a0+a1z+a2z2+...，Landau定理断言：存在一个与f无关的常数C使得

(1.1)式中常数C被称为Landau常数.人们试图给出其最佳值.经过多年不断努力，最终在20世纪70年代末80年代初，先后由赖万才[1]，Hempel[2]和Jenkins[3]彼此独立地给出了C的精确值：

其证明方法各有不同.

尽管如此，Landau定理的显式估计形式仍有改进的余地.1992年，李忠教授[4]在 Ahlfors[5]，Hempel[2]及 Minda[6]等人的基础之上，给出了穿孔面 C{0，1}上双曲度量的密度函数ρ0，1(z)的新下界，并由此得到(1.1)式的一种改进形式，其结论(见文献［4］中定理1)如下：

定理 1.1设函数f(z)在单位圆∆内全纯，且不取0和1，并在原点有展式：

则存在一个绝对常数m＞0使得下述估计式成立：

其中C是由(1.2)式决定的常数，而

(1.3)式中的等号当且仅当f是C{0，1}的全纯覆盖映射且a0=-1时成立.

本文通过李忠教授(见文献［4］中定理2)给出的穿孔平面C{0，1}的双曲度量的密度函数新的下界估计，借助广义Schwarz引理我们对定理A中关于(1.3)式做进一步改进，得到本文的主要结果如下：

定理 1.2设函数f(z)在单位圆∆内全纯，且不取0和1，并在原点有展式：

则存在一个绝对常数m＞0使得下述估计式成立：

其中C是由(1.2)式决定的常数，α∈(0，0.01)，且满足

式中β是一个由α按上式确定的常数，而n为(1.4)式中定义.(1.5)式中的等号当且仅当f 是C{0，1}的全纯覆盖映射且a0=-1时成立.

注1.1当定理1.1中α=0时，(1.5)式即为(1.1)式；而且从定理1.1的证明过程可知定理1.1对定理A中的上界估计做了改进.

2　定理 1.2的证明

首先，在证明定理1.1之前，我们介绍两个引理.

引理 2.1(广义Schwarz引理[7-8]) 设区域D与G，其Poincar´e度量分别为

f：D→G为全纯函数，则

其中等号在一点成立的充要条件是f是D到G的全纯覆盖映射.

引理 2.2[4]设ρ0，1(z)|dz|为C{0，1}的双曲度量，其中Gauss曲率为-1.则

其中α和β与定理1.1中定义一样.且上式中取到等号当且仅当z=-1时成立.

定理 1.1的证明首先假设|a0|=|f(0)|≤1.由引理2.1得到

我们取z=0，(2.3)式变为ρ0，1(f(0))|f′(0)|≤2，即为

将(2.4)式代入引理2.2中(2.2)式第一个不等式，得到

令Q(ζ)=|1-αζ|log(β|1-αζ|/|ζ|)和R(ζ)=|log|ζ||+C，并假设T(ζ)=Q(ζ)-R(ζ)，那么(2.5)式变为

比较(1.5)式，(2.5)式和(2.6)式的形式，知道要证明(1.5)式转化为估计T(a0).根据(1.6)式，得到

假定|ζ|≤1，那么有

经过简单的计算知：

又因为|ζ|≤1，利用不等式(x-1)/x≤logx，(0＜x≤1)，得到

进而得到，

结合(2.9)式，得到：

又根据(2.9)式，可知

那么由(2.8)式，(2.10)式和(2.11)式，得到

令x=Reζ，y=Imζ，对|ζ|≤1，有

结合(2.12)式和(2.13)式，得到

因此当|a0|≤1时，令

令ζ=a0，根据(2.14)式，得到

结合(2.6)式和(2.15)式，得到

另一方面，当|a0|＞1，将上述结果应用于F=1/f，同理可以得到，

取

那么结合 (2.16)式和 (2.17)式得到 (1.5)式.由证明过程中所应用的引理 2.1及引理 2.2 知(1.5)式中的等号当且仅当f是C{0，1}的全纯覆盖映射且a0=-1时成立.

[1］Lai W C.The precise value of Hayman’s constant in Landau’s theorem[J］.Sci.in China，1978，5：495-500.

[2］Hempel J A.The Poincar´e metric on the twice punctured plane and the theorems of Landau and Schottky [J］.J.London Math.Soc.，1979，20：435-445.

[3］Jenkins J A.On explicit bounds in Landau’s theorem II[J］.Canad.J.Math.，1981，33：559-562.

[4］Li Z.A new explicit bound in Landau’s theorem[J］.Sci.in China（Series A），1992，35：463-470.

[5］Ahlfors L V.Conformal Invariants：Topics in Geometric Function Theory[M］.New York：McGraw-Hill Book Company，1973.

[6］Minda D.A reflection principle for the hyperbolic metric and applications to geometric function theory[J］. Complex Variables Theory Appl.，1987，8：129-144.

[7］李忠.复分析导引[M］.北京：北京大学出版社，2004.

[8］李忠.拟共形映射与Teichm¨uller空间[M］.北京：北京大学出版社，2013.

2010 MSC:30C20，30C35

A improvement of the upper bound in Landau theorem Guo Hui，Li Wenhua

（College of Mathematics and Statistics，Shenzhen University，Shenzhen 518060，China）

On the basis of the lower bound of the Poincar´e density of the twice-punctured plane C｛0，1｝which was given in related literature，we improve the upper bounder expression of Landau theorem and obtain a new upper bounder expression with a parameter by Schwarz Lemma.Moreover，the expression is the result in related literature when the parameter is zero.

Landau theorem，holomorphic function，Poincar´e metric

O174

A

1008-5513(2016)04-0337-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.002

2016-04-28.

国家自然科学基金(11101290).

郭辉(1966-)，博士，教授，研究方向：复分析.