含梯度项的椭圆方程组的边界爆破解

李华，马飞遥

（宁波大学理学院，浙江 宁波　315211）

含梯度项的椭圆方程组的边界爆破解

李华，马飞遥

（宁波大学理学院，浙江 宁波315211）

研究了含梯度项的椭圆方程组的边界爆破解的性质，其中权函数a(x)，b(x)为正并且满足一定的条件.利用上下解的方法及比较原则证明了正解的存在性与唯一性，并得到了边界爆破速率的估计.

椭圆方程组；梯度项；边界爆破

1　引言

主要考虑如下的含有梯度项的椭圆方程组：

其中 λ，t＞0，p，s＞1，q，r＜0，(p-1)(s-1)-qr＞0，Ω∈RN为一个有界光滑的C2区域.a，b∈Cη是非负权函数，η∈(0，1).边界条件u=+∞，v=+∞，x∈∂Ω，表示当d(x)→0+时，u(x)→∞，v(x)→∞，其中d(x)=dist(x，∂Ω).

当λ=t=0时，方程组变为

此方程组已在文献［1-3］中被广泛研究.其中Meli´an在文献［1］中研究了a(x)=b(x)=1这种特殊情况下，方程组在三种不同的Dirichlet边界条件：(F)u=λ，v=µ，(I)u=v=+∞与 (SF)u=+∞，v=µ下，在 ∂Ω上解的定性性质.在文献 ［1］中又进一步的考虑了带权函数的方程组 (1.2)，给出了当 d(x)→ 0时，在条件 a(x)∼C1d(x)γ1，b(x)∼C2d(x)γ2，C1，C2＞0，γ1，γ2＞-2下解的存在性与不存在性，唯一性及边界性行为的结果.文献［2］Meli´an对系统(1.2)又进行了研究给出了不同于文献［1］的唯一性的证明.

文献［4-5］对拟线性的椭圆系统的边界爆破解进行研究，得到了解的存在性，唯一性及边界爆破行为.

对于单个的含梯度项的椭圆方程 ∆u±λ|∇u|q=b(x)g(u)，x∈Ω；u=+∞，x∈∂Ω. C.Bandle 1996年在文献 ［6］中对 λ=1的形式进行了详细研究.文献 ［7］张志军应用了Karamata正规变换理论，得到了方程解的唯一性与爆破行为.含梯度项的椭圆方程更深入的研究参见文献［8-10］.

本文考虑的是含梯度项的椭圆方程组，首先定理2.1改变了文献［7］定理1.1的条件，应用文献［7］中同样的技巧Karamata正规变换理论与比较原则，得到了单个方程爆破解的渐进性结论.其次，在对单个方程研究的基础上，利用上下解的方法证明了当(p-1)(s-1)-qr＞0时方程组(1.1)解的存在性，利用迭代思想得到了解的爆破速率估计，并给出了在一定的条件下解的唯一性的证明.要求权函数满足以下条件：

假设a，b∈Cη，η∈(0，1)，存在γ1，γ2＞-2与正常数C1，C2，C′1，C′2，使得

下边给出本文的主要结论：

定理 1.1假设 p，s＞1，q，r＜0，a(x)，b(x)∈Cη，η∈(0，1)且满足条件 (1.3)，则当(p-1)(q-1)＞qr时，方程组存在正解.方程组的解(u，v)满足：

其中

D1，D2，D′1，D′2为正常数.

定理 1.2唯一性：令(u1，v1)，(u2，v2)为方程组(1.1)的正解，若

则在Ω中

2　预备知识

考虑下边问题：

其中p＞1，γ＞-2.由于Ω是C2的，d(x)在∂Ω的邻域上也是C2的，假定d(x)∈C2(¯Ω)，方程组(2.1)的解将会在第三部分中用到.首先考虑一般形式：

其中q∈［0，2］，g∈C2［0，∞)满足：

(g1)g(0)=0，g在［0+∞)上为增函数；

(g2)对任意的ξ∈(0，1)与所有的s≥0，均有g(ξs)≤ξg(s)；

其中

s为任意的正数.

定义2.1定义在［a，∞)(a＞0)上的正的可测函数g，称为在无穷远处以指数ρ的正规变换，记为g∈Rρ，若对任意的ε＞0与常数ρ∈R 成立，

其中ρ为正规变换指数.当ρ=0时，称g在无穷远处缓慢变化，所以若g∈Rρ，则可以写成g(u)=upL(u).

引理2.2[11]表示定理：函数L在无穷远处缓慢变化的充分必要条件是：对某些a＞0，存在可测函数c(u)，y(s)，满足当u→∞时，y(u)→0，c(u)→c(c＞0)，使得

引理 2.3[12]假设g满足条件(g1)与(g2)，则以下条件是等价的.

引理 2.4[7]如果g满足(g1)(g2)(g3)且ρ＞0，则Z(t)在定理2.1中有下边的性质：

对固定的λ≥0，由∂Ω的正则性，选取ˆδ足够的小，使得

(ii)

由|∇d(x)|=1，得

同理可得

计算过程详见文献［7］.

即

令l→0，得到

即

令ξ→0，由ξ1与ξ2的定义，得

定理得证.

定义2.2首先给出系统

证明记u1为下列方程的唯一的解，

证明取 δ＞0，令 Ωδ={x∈Ω，d(x)＞δ}且，为定义在 ∂Ωδ上的光滑函数，在∂Ωδ上有≤≤，≤≤.由引理2.5则系统有一个解(uδ，vδ)使得在Ωδ内≤uδ≤，≤vδ≤可知 uδ与 vδ是有界的.存在一个序列 δn→ 0，使得在 Cl2oc(Ω)内 uδn→ u，vδn→ v，其中 (u，v)为方程 (2.3)的解，且在Ω内≤u≤，≥v≥，在∂Ω上u=v=∞.

引理2.7令f，g∈C(¯Ω)，u，v∈C2()为方程组∆u+λ|∇u|=f(x)，∆v+t|∇v|=g(x) 在 Ω上的解，且在 Ω中 u≤v，其中等号在某些点处取到.假设在 ∂Ω上u＜v.则存在x0∈Ω，使得u(x0)=v(x0)且f(x0)≤g(x0).

证明令ζ={x∈Ω：u(x)=v(x)}.由假设可得ζ非空且严格包含于Ω.应用反证法，假设在ζ中f＞g.选取ζ的一个开邻域ψ，使得在ψ中f＞g，并且在∂ψ上u＜v.则对于任意小的ε＞0在∂ψ上有u+ε≤v，在ψ中∆u+λ|∇u|=f＞g=∆v+t|∇v|.由比较原则得，在ψ中u+ε≤v，这与ζ⊂ψ矛盾.因此，f＞g在ζ中不可能成立.所以，存在x0∈ζ，使得f(x0)≤g(x0).

注2

则(2.7)式有唯一的解若函数f(x，u)/u对固定的x关于u是增函数.

引理 2.8假设p，s＞1，q，r＜0满足(p-1)(s-1)＞qr，令(u1，v1)，(u2，v2)为下列方程组的正解：

且在∂Ω上f，g＞0.则u1=u2，v1=v2.

因此

由假设 k＞1与 (p-1)(s-1)＞qr得 u2(x∗)＞ku1(x∗)，推出矛盾.这表明 k≤1，并且在Ω中u2≤u1，v2≥v1.相似的，由u2，v2＞0在 ¯Ω中，可以证明在Ω中u1≥u2，v1≥v2，引理得证.

所以

又因为

所以，由比较原则(见文献［12］Theorem 10.1)，可得

可以推出

3　定理的证明

定理 1.1的证明(存在性)首先证明(εUp，σ1，ε-δUs，σ2)为方程组(1.1)的一个下解，其

令

由δ的范围，有

并且

证明了这一需要.

又因为a(x)≥C1d(x)γ1，b(x)≤C′2d(x)γ2，类似的，可证得(MUp，σ1，M-δUs，σ2)为(1.1)式在Ω上的一个上解，其中

由引理2.6得到方程(1.1)存在一组解(u，v).

(爆破速率的估计)令a0=inf v＞0，由已知条件v＞0，q＜0，a(x)≥C1d(x)γ1，可得

由引理2.9可知

再次应用引理2.9可得

其中

当n→+∞，可以直接计算出

同理，存在D1，D，使得u(x)≥D1d(x)-α，v(x)≥Dd(x)-β.

定理 1.2的证明因为(u1，v1)，(u2，v2)为方程组的正解，且

所以，对任意的ε∈(0，1)，存在δ＞0，使得

在Ωˆρ：={x∈Ω，d(x)≤ˆρ}.设Ωˆρ=Ω¯Ωˆρ，考虑下边的问题

显然，((1-ε)u1，(1-ε)-δv1)与((1+ε)u1，(1+ε)-δv1)为方程组(3.2)的下解与上解，由引理2.6可得在Ωˆρ中至少存在一个解(uˆρ，vˆρ)使得

又由引理 2.8可得 (3.2)的解唯一，即 (u2，v2).所以在 Ωˆρ中 u2=uˆρ，v2=vˆρ.因此，结合(3.1)，得

令ε→0，可得在Ω上有u1=u2，v1=v2，则方程组具有唯一解.

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2010 MSC:35J57，35B44

Boundary blow-up solutions for an elliptic system with a gradient term

Li Hua，Ma Feiyao
（Department of Mathematics，Ningbo University，Ningbo315211，China）

The properties of boundary blow-up solutions for an elliptic system with a gradient term are studied，where the weight functionsa（x），b（x）are positive and satisfy certain conditions.By the methodof suband super-solutions and comparison principle，the existence and uniqueness of positive solutions are proved and the estimates of boundary blow-up rate are obtained.

elliptic systems，gradient term，boundary blow-up

O175.25

A

1008-5513(2016)04-0387-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.007

2016-05-31.

国家自然科学基金(11201250).

李华(1989-)，硕士生，研究方向：偏微分方程.