低年级代数思维培养的途径与方法

吴丽英　刘书闽

[摘 要]

算术思维是程序性的，着重的是利用数量的计算求出答案的过程，这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的。义务教育阶段的数学课程是“培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性”。我们在教学中应当有一种整体的观念。在小学阶段的计算教学中，教师应当着眼于学生在中学以后的后续学习中需要发展怎样的数学思维，绝不能为了让学生在考试中更加保险地取得高分，而囿于单纯的计算训练。

[关键词]

探索规律；符号意识；代数教学

对“代数思维”和“算术思维”联系与区别的认识是本文的一个重要基础。笔者认同这样的观点，即：从数学角度看，算术思维是程序性的，着重的是利用数量的计算求出答案的过程，这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的。正如壮惠铃、孙玲在《从算术思维到代数思维》中所说：代数思维的培养并不是一个经历足够多的练习便可跨越的量变过程，而是必须经历数与代数的抽象、运算与建模等结构转换才能实现的质变过程。

那么，在小学阶段怎样做，才能为以后代数学习做好准备？能否找到低年级算术情境中相关联的知识内容、学习素材，向学生进行早期代数思想的渗透？笔者为培养低年级学生的代数思维在教学上做了新的尝试，下面结合具体案例，阐述如下。

一、多维度建构，理解等号的意义

卡彭特等人认为：由算术思维到代数思维的转换标志之一是从等号的程序观念到等号的关系观念的转变。这也就是说，如果我们能够在小学低年级算术教学中一开始就关注“等号的关系性质”，那么小学生就可以较早地接触到代数思维，并能够减少他们今后学习代数的困难。

学生初次接触等号是与大于号、小于号同时学习的，用来比较两个数的大小关系，是作为一种关系引入的，最初是认识“等号的关系性质”。在后续运算学习的过程中，运用等号来连接算式和得数，此时学生只关注“等号的程序性质”，而忽视了“等号的关系性质”。所以，在学习运算的过程中，要遵循学生的认知发展规律，选择合适的时机，理解“等号的关系性质”。

（一）性质转换，认识“等号的关系性质”

在运算学习的初始阶段，让学生体会到等号是一个执行运算的过程，等号右边的数表示对左边的算式执行运算的结果，建立等号的程序观念是必要的。在学生理解了“等号的程序性质”之后，可以安排适当的练习，让学生理解“等号的关系性质”。我们可以通过以下学习，让学生建立等号的关系观念。

案例一：天平的平衡

出示图1，教师面带笑容的发问：“孩子们！要使天平保持平衡，右边可以放哪两盘啊？”“1个和4个”，一个孩子脱口而出，这个问题似乎过于简单了。“为什么要这样选呢？”那个带眼镜的男孩说“左边有5个，右边也要放5个，天平两边的个数一样了，才能够保持平衡”“说得很好！”得到老师的表扬，举手的孩子多了起来，“老师，老师，还可以放2个和3个”……“你们能用算式来表示吗？”“我能，我能……”孩子们个个不甘示弱。“5=4+1”“还可以5=1+4”“真会思考！你们能够一边摆一边写算式吗？”（学生动手操作，写出相应的算式：5=0+5，5=1+4，5=2+3，5=3+2，5=4+1，5=5+0）突然，有个孩子大声叫了起来：“老师，今天写的这些算式和咱们以前的不一样。”教师故作不明状：“哪里不一样了？”“这些算式的得数都在等号的左边”“算式在等号的右边……”孩子们跟着七嘴八舌起来，课堂异常热闹。教师顺势将以前所学算式列出来：0+5=5，1+4=5，2+3=5，3+2=5，4+1=5，5+0=5

“你发现了什么？”举手的孩子越来越多，“小卷毛”说：“我发现了等号两边的加号和得数的位置不一样”，“他们交换了位置”一个梳小辫的女孩补充道，“就像翘翘板上的两个人换了一下位置”，呵呵，孩子们的语言可真丰富！“真会动脑筋！”教师及时表扬，“还有什么发现？”“这些算式的得数都是5”“中间都是用等号连接的”“等号两边都是相等的”……教师适时小结：以前的算式放在左边，与它相等的数放在右边，现在我们把算式放在右边，与它相等的数放在左边，也就是把以前的算式两边换了一下位置，不管怎么样写，两边都是相等的，所以中间都用等号连接。

上述教学过程中，借助于天平的平衡概念建构相等关系，并基于这个相等关系抽象出等式，让学生把抽象的“等号的关系性质”依附着具体的天平的平衡概念而存在。在新旧算式的对比中，学生主动运用“等号的关系性质”去重新认识原有的算式，通过把以前学过的算式等号两边调换位置，把“等号的程序性质”向“等号的关系性质”进行转换，加深对等号“关系性质”的理解。

（二）类比迁移，理解“等号的关系性质”

等号是一个关系符号，在抽象出等号的“关系性质”后，还需要让学生再基于原有关系符号体系“>、<、=”来认识等号的“关系性质”，把运用关系符号描述数与数之间大小关系的经验，主动迁移到描述算式与数以及算式与算式之间的大小关系中来，从另一个维度加深对等号“关系性质”的认识。我们可以在“10以内的加法和减法”的学习过程中，穿插着进行以下两个层次的练习，第一层次：6○4+2，4+5○8，2+4○5；第二层次：4+5○6+2，2+3○9-4，4-0○2+2。通过以上练习，让学生理解关系符号不仅仅可以用来描述数与数之间的大小关系，还可以描述数与算式、算式与算式之间的大小关系，丰富学生对关系符号意义和作用的认识，加深学生对等号“关系性质”的理解。

二、探索规律，发展学生的符号意识

《美国学校教育的原则和标准》指出：“在孩子们正式入学之前，他们就已经开始形成关于模式、函数、代数的概念了。他们学习含有重复节拍的歌曲、韵律歌谣以及有规律的诗歌。这种认识、比较和分析模式的能力，是儿童智力发展的重要组成部分。”“模式是学生们认识规律并整合自己世界的方法。”这些观点给我们的宝贵启示是：在小学低年级应当为儿童创造更多的识别模式、探索规律的机会，发展他们的代数思维。

（一）用符号表示规律

案例二：重复的奥妙（新北师版二年级下册）

孩子们很轻松地将主题图里呈现的规律找了出来（队伍：男、女、男、女……灯笼：大、小、大、小……气球：黄、黄、红、黄、黄、红……彩旗：红、红、蓝、红、红、蓝……花盆：绿、绿、红、红、绿、绿、红、红……）

教师试探性地问“你们能把这些规律进行分类吗？”“分类？”孩子们好像没有想到老师会提这样的问题，茫茫然不知所措。教师赶紧提示“这些规律是怎么重复的？”“怎么重复？……”思考片刻，一个穿红衣服的男孩怯怯举起了手，“我认为灯笼的规律和队伍的规律是一样的……”教师像抓住了救生圈，“怎么一样了？”“都是一男一女，一大一小。”经过红衣男孩的提示，同学们似乎有点明白了，“我知道了！”一个花穿格子衣服的女孩说：“他们都是两个两个不断重复的。”教室里突然像炸开了花，举手的孩子瞬间多了起来。“气球的规律和彩旗的一样，都是3个3个不断重复的，还有彩旗的形状也是3个3个重复的”，小平头补充道。“花盆的颜色和鲜花的排列一样，都是4个4个重复的”……

当孩子们用自己喜欢的方式来表示这些规律后，教师继续试探：“1、2、1、2……它除了能表示灯笼的规律，还可以表示什么规律？”这个问题似乎又有点难，一下子还没人接过话茬。过了一会儿，一个“羊角辫”弱弱地说：“白天、黑夜、白天……”哈哈，话匣子终于打开了，教师暗暗开心。“A、A、B、A、A、B还可以表示什么规律呢？”“音乐节奏嘭、嘭、嚓……”“舞蹈动作拍手、拍手、跺脚……”天马行空，五花八门。教师继续深挖：“如果给这些排队的同学编号，你知道第11个是男生还是女生吗？”教室里没了声音……以为孩子们被我难倒了，正在想如何引导他们解决问题，“小眼镜”开始发话：“是男生！”“肯定吗？”回答斩钉截铁：“肯定、一定是男生。”“为什么？”“他们都是2个2个重复的，单数都是男生，女生都是双数……”，精彩的回答赢来了大家的掌声，但他似乎还没有说完，“也可以用算式11÷2=5（组）……1（个）来算，余数是1，就是第1个，所以是男生”掌声似乎更热烈了……“要是给彩旗也编上号，第20面是什么颜色？什么形状？”……这个问题迎刃而解。

上述教学过程，鼓励学生对情境图中的规律进行分类，渗透分类的思想，在分类的基础上，引导学生发现同类规律的共同特点，通过分类，学生应当认识到，这些有重复模式的物体在形式上是相同的，不同的情境可以具备相同的数学性质。如：灯笼的规律、队伍的规律、白天黑夜的规律……，都可以描述为具有AB、AB、AB的形式，有助于学生了解代数的威力。在给规律分类的基础上，教师有意识地引导学生用符号或字母来表示规律，帮助学生认识到通过字母或符号的表示，规律的呈现形式更加简洁，还能表示多个物体的规律，将自然语言描述规律用符号语言予以简化，并对符号所代表的规律进行讨论，体现符号语言的概括化与一般化，从而体验到符号化表达所带来的代数思考的优势，这有助于培养学生的符号意识和代数思想，发展学生的抽象概括能力。第20面旗是什么颜色？假设n表示任意的自然数，那么彩旗的排列可以用3n+1、3n+2、3n来表示，能表示为3n+1和3n+2的都是红旗，能表示为3n的是蓝旗，对于二年级孩子来说，他们虽然不会用这种方式表示自己的发现，但他们确实能够领悟到其中的规律，并能利用有余数的除法来解决这类问题，就是用数学模型（除法）表示和解决问题。从直观运算的策略发展到算法运算的策略，是思维水平提高的一次飞跃。为今后学习用字母表示数做准备。

（二）算式的结构关系

早期代数思维并不是一个独立的教学主题，它跟计算的学习是整合在一起的，可以使计算的学习更加容易而且丰富。

案例三：10的分解与组合

教室中有10位小朋友，请问有几位男生几位女生？教师通常会引导学生说出不同的组合，从10位男生0位女生、9位男生1位女生一直到0位男生10位女生，以此完成对10的可能的分解与组合的所有情况。事实上，如果教师能在这样的教学设计上再深入一点，在列出男生女生组合的所有情况后，引导学生观察其变化的规律，帮助学生发现在总人数为10的情况下，有“9+1=8+2=……”这么多种不同的组合。进而，在所有组合的比较中可以发现，若男生数量减少了1，则女生数量必然需要增加1，以确保总人数不变。通过这样的教学，学生比较容易理解加法算式的结构以及其中数与数之间的关系。

师：观察这些算式，你发现了什么？

生：我发现这些算式的得数都是10。

生：左边的男生是斜着排的，越来越少，右边的女生也是斜着排的，越来越多。

生：也就是从上往下看算式，第一个数每次减少了1，第二个数每次增加了1，结果不变。

师：真厉害，你是从上往下看的。想一想：为什么第一个数减少了1，第二个数就增加1，得数却不变呢？

生：看图就知道了，一共都是10个，左边少了1个，右边就多了1个。

生：如果从下往上看，第一个数每次增加1，第二个数每次减少1，结果不变。

师：其实不管是从上往下看，还是从下往上看，这里变化的关系有什么相同的地方？

生：一个数增加1，另一个数减少1，得数不变。

师：想一想，这其中变化的关系，我们以前遇到过吗？

生：这个就和以前涂色是一样的，总的圆圈不变，涂的个数多了1个，没有涂的个数就少了1个。

生：在摆一摆，找数的分与合中也有这样的关系，总的个数不变，左边多摆了1个，右边就少摆了1个。

师：真厉害，这里虽然是算式中的变化关系，但是，这种关系和以前发现的涂色中的关系以及数的分与合中的关系都是相同的。

上述过程，把操作的结果与算式一起有序呈现，通过数形结合，让学生加深对“a+b=（a+1）+（b-1）”这个代数关系和结构的理解与记忆。通过让学生回忆过去学习过程中与此相类似的关系，把基于运算意义与基于数的认识、数的分解与组合对上述代数关系和结构的认识整合起来，加深对上述代数关系和结构的理解，形成多元表征。

三、在计算中进行“代数教学”

澳大利亚有研究者指出，在计算教学中可以使用“皮特的算法”这样的情境，皮特在计算“32-5”时，使用了“32+5-10”的方法。让学生评价皮特的算法，找出其中包含的数学原理，并思考这一方法是否总是有用，这样的思考是由具体的计算技巧向一般化的数学模式的升华。这一问题的巧妙之处还在于接下来的变式，让学生利用“皮特的算法”来计算“73-6”，看学生是将其转化成“73+4-10”还是“73+6-10”，以此来检验学生将“32-5”转化为“32+5-10”是已经认识到了因为“5+5=10”，所以可以将“-5”转化成“+5-10”。或许只是凑巧，学生对这一模式的认识是减去一个数，可以加上这个数再减去10。

可能有教师会说，上述方法无非就是另一种形式的“凑整”，而我们的学生在小学阶段的学习中经常会用“凑十”“凑百”的方法来使得计算简便。“皮特的算法”跟“凑整”在形式上好像有类似的地方，实质却大不相同，凑整更多强调的是一种技巧，其目的仅是为使计算更加快速，不强调发现其中所包含的数学模式，不是数学学习中强调的通式通法，更没有上升到对算式的结构与关系的一般化的探讨的高度。而以“皮特的算法”为例，早期代数思维的运用也能使计算简便，但最终目的不是为了快速计算，而是要帮助学生理解数的关系与结构，使学生认识到这些关系与结构是适合所有数的，而不仅仅是某些特殊的数。甚至有些时候，还可以“凑不整”。

案例四：计算100-48

由于被减数的每一位都要退位，对于低年级学生而言非常烦琐。但如果学生有这样的意识，认识到减法算式存在这样一种结构，被减数跟减数都是可以改变的，只要保持某种关系，差就不会改变。因此可以对该算式进行变换，被减数与减数都减少1，变成“99-47”，这里就隐含着一个代数关系和结构：a-b=（a-c）-（b-c）。变换之后的算式的差与原算式相同，而且避免了所有的退位。因此，早期代数思维的培养应该成为小学阶段计算教学的最终目标与归宿，而“凑整”只是其中的某种技巧与应用。

案例五：计算29+56

可以通过29“增加1”，56“减去1”转化为30+55。这里就隐含着一个代数关系和结构：a+b=（a+c）+（b-c）。当儿童利用这种策略解决不同的数字问题时，他就表现了对“等价”和“抵消”等数字关系的理解。儿童显示了在不依靠字母符号的情况下也可以实施概括策略。儿童的思考对象是算术的，但思维却是代数的，即运用了关系性思维。这种思维反映了儿童数字运算的代数性质，蕴含着对数字（下转第62页）（上接第53页）语句中数字的关系和结构的解释。如果儿童能够合理进行这种思维，在遇到用字母表示的变量和代数式及其关系时，理解就不会那么困难。

义务教育阶段的数学课程“是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性”。因此，在教学中应当有一种整体的观念。在小学阶段的计算教学中，教师应当着眼于学生在中学以后的后续学习中需要发展怎样的数学思维，绝不能为了让学生在考试中更加保险地取得高分，而囿于单纯的计算训练。《课标（2011年版）》明确提出要培养学生的数学基本思想，在小学阶段的计算教学中培养学生的早期代数思维应当成为应有之义，这才能为学生后续的良好的代数学习打下坚实的基础，也使得提升学生的数学素养并鼓励他们的创新精神成为可能。

[参 考 文 献]

[1]曹一鸣，王竹婷.数学“核心思想”代数思维教学研究[J].数学教育学报，2007（1）.

[2]张晓霞，宋敏.小学生关系性思维的测试与分析[J].教育与教学研究，2009（7）.

[3]徐文彬.试论算术中的代数思维：准变量表达式[J].学科教育，2003（11）.

[4]Max Stephens，王旭.关系性思维中的一些重要关联[J].数学教育学报，2008（5）.

[5]王永.数学化的视界[M].北京：北京师范大学出版社，2013（11）.

（责任编辑：李雪虹）