“变教为学”需要“自然的问题”

郜舒竹

时下经常听到一种说法，就是一节课的设计在引入环节一定要有“生活情境”。因此在教科书以及各种教学设计中充斥了大量诸如购物、吃饭、装修、乘车等所谓的生活情境。而这样的情境某种意义上贴近的是人物质层面的生活，并不一定符合学生思维方面的规律。

让学生所学习的知识与其所熟悉的自然以及人的社会活动建立联系，无疑是好的做法，但并非必须如此。因为数学课程中一些内容的发生与发展，是遵循数学知识之间的逻辑关系而展开的。因此，在变教为学的教学改革中如何充分利用数学知识之间的逻辑关系，引导学生提出并解决自然的问题，由此开展学习活动，是一个值得研究的课题。

一、自然的问题

对于低龄儿童，常常会有“想知道”下面问题的愿望：

天上有多少颗星星？

我是从哪里来的？

鸟能够飞上天空，而人为什么不能？

声音能够穿过墙让人听到，光线为什么不能穿过墙让人看到？等等。

这样的问题往往是在特定的情境中，在没有什么行为层面的需求的情况下，意识中产生出“想知道”的某种愿望，这种“想知道”的愿望也可以看作是一种精神层面的需求。不妨把这样的问题叫作“自然的问题”。

学生在数学学习过程中，这种“自然的问题”会不断涌现。比如，在学习了长方形面积公式后，自然就会产生想知道其他平面图形面积公式的愿望，因此在平行四边形、三角形、梯形以及圆形面积公式的教学中，未必非要有生活情境的引入，因为研究这些图形的面积公式是继长方形面积之后自然而然的事情。

与之不同的是对于平面图形周长的学习，学习了长方形周长公式后，自然产生想知道其他图形周长公式的愿望，但教科书中却没有出现平行四边形、三角形以及梯形周长公式的内容。因此就会出现想知道“为什么这些图形没有周长公式”的愿望。诸如此类“自然的问题”，应当成为数学教学的重要资源和内容。

“变教为学”的教学改革是期望让学生“学”的过程由“被动接受”变为“主动生成”，教师“教”的过程由单一的“传授”变为多样的“引发”。为此就需要充分利用学生意识中这种自然的问题，诱发学生积极主动地思考和探索。

“自然的问题”通常源于事物间的某种联系以及人思维中的联想。比如前面所说长方形的面积公式，揭示的是长方形的大小与制约长方形大小的要素（长和宽）之间的关系，由此自然会联想到制约平行四边形（三角形、梯形、圆形等）面积大小的要素是什么？平行四边形（三角形、梯形、圆形等）面积的大小与这些要素具有什么样的关系？

不同平面图形的共性沟通了它们之间的联系，从而引发了人们“由此及彼”的联想，这样的联想自然而然地产生出要解决或者要回答的问题。因此在“变教为学”教学改革的研究中，一个重要课题是如何为学生提供或者诱发学生产生“自然的问题”，通过对此类问题的思考和讨论，实现积极主动地学习。

二、相对意义的联系与对立统一的规律

数学知识以及方法之间的联系可以有诸多不同的方式，其中一种是“相对意义的联系”，比如，如果把整数理解为描述整体与整体之间关系的语言，那么分数就是描述整体被分割后局部与整体关系的语言；如果把正数用于描述收入的过程，那么负数就可以描述与收入过程相反的支出过程。这样相对意义的联系通常同时具有“对立”和“统一”的特征，所谓“对立”指的是一种“是与非”的关系，比如可以把分数粗略地理解为“非整数”，负数粗略地理解为“非正数”，奇数也可以认为是“非偶数”等等。

正是这样对立的关系可以诱发“自然的问题”，在初步“认识分数”的时候，如果知道了“甲是乙的2倍”，自然的问题就是这句话反过来怎么说、怎么写？进而引出对“二分之一”的读法和写法的学习。在学习“初步认识负数”的时候，可以模拟记账的过程，如果用“100”表示收入100元，那么“自然的问题”就是如何表示支出100元？引起对“-100”读法和写法的思考。在学习奇数和偶数概念的时候，如果知道了“能被2整除的数叫作偶数”，自然就想知道“非偶数”，也就是不能被2整除的数是什么样子？应当叫什么名字？从而引出奇数的概念。

数学课程内容中，具有这种相对意义联系的概念是很多的，比如：整数与小数、质数与合数、数与倒数、已知数与未知数，在中学乃至大学学习的还有有理数与无理数、实数与虚数、指数与对数、函数与反函数等等。在运算领域中，加法与减法、乘法与除法、通分与约分，中学数学课程中的乘方与开方。在图形与几何领域中类似的关系有：直线与曲线、长方形中的长和宽、有限和无限，描述数量关系的正比例和反比例等等。

相对意义的联系除了对立的特征，通常还会有统一的关系，也就是对立的双方在一定条件下可以相互转化、相互制约或者相互表达。比如分数，实质上是用整数表达的，分数三分之二用其符号语言写为“”，其中的“3”和“2”都是整数，表达的含义是将一个整体平均分为3份，其中的2份与整体的关系，因此这里的两个整数“3”和“2”就制约了分数“”的含义。

反过来，有时也需要把整数看作分数，比如计算分数加法“2+”，就需要把整数“2”变为“”，这时的整数“2”就有了分数的意义，即将一个整体平均分为3份，其中的6份与一个整体的关系，也即相当于2个整体与一个整体的关系。因此分数概念的出现应当认为是在原有整数基础上的扩充与完善。

再比如正数与负数，如前所说，如果用正数表示收入，那么负数就表示相反的支出。但如果用正数表示支出，那么负数就表示相反的收入。这不仅显示出正数与负数对立意义的关系，也表明了二者相互依赖和并存的关系。除此之外，正数与负数还可以相互表达以及相互转化，这一点可以从“负负得正”，也就是“a=-（-a）”看出。

从更广泛的意义上说，数学中的某种运算一般会有一个“逆（Inverse）”的概念，比如加法运算，对于一个数a，如果有另外一个数与数a加法运算后的结果等于0，那么这个数就叫作a相对于加法运算的逆，表示为“-a”，也就是a+（-a）=0。“-a”可以理解为对a求逆，“-（-a）”相当于对“-a”求逆，其基本规律是“对逆求逆则复原”，也就是“-（-a）=a”。这样的规律充分体现了正数与负数在一定条件下可以相互转化的关系，同时也是辩证唯物主义哲学中“否定之否定”规律在数学课程中的体现。

对于乘法运算也有类似的现象，与数a乘积等于1的数就叫作数a相对于乘法的逆，也就是小学数学中的倒数“”，其基本性质与加法运算是类似的，一方面满足“a×=1”，同时也满足“对逆求逆则复原”的规律。如果把“”看作是在乘法运算中对数a求逆，那么“”就是对“1÷”求逆，其结果应当等于a。事实上，如果把“”写为除法运算“1÷”，其结果等于a就是显而易见的。这也就表明了“数与倒数”不仅是对立的，同时也具有统一性。

以上内容不仅说明了“正数与负数”以及“数与倒数”的对立统一关系，同时也显示出“加法与减法”以及“乘法与除法”作为运算的对立同一关系。有了负数的概念，对于加法和减法这两种运算完全可以统一为一种运算，比如“3+5-2”就可以写为“3+5+（-2）”。同样，有了倒数的概念，乘法和除法运算也可以统一为一种运算，比如“3×5÷2”可以写为“3×5×”。

“对立统一”作为自然与社会发展的一般规律，在数学概念中得以充分体现。学生如果长期经历这样的学习活动，对于逐步感悟辩证唯物主义基本思想无疑是有益的。

三、对立统一作为方法的方法

对立统一的关系是事物之间一种普遍的联系方式，是事物发生与发展的一般规律。而对立的双方在一定条件下可以相互转化也可以视为是一种解决问题的方法，因此对立统一的规律还具有方法论的意义，可以成为人们思考并解决问题的指导思想。

数学教师经常会教导学生说解决问题应当要掌握方法，事实上，掌握方法不仅仅是学会使用方法，还应当了解方法是怎么想出来的，也就是需要研究“想出方法的方法是什么”。比如面对这样一个问题： 在平面上画10条直线，每两条直线都不重合，那么最多可以形成多少个交点？

缺少数学经验的小学生遇到这样的问题时，通常都是在纸上尝试去画出10条直线，而后试图数出交点的个数，这样的做法很难得到正确答案，原因就是要数的交点数太多。因此，“多”就成为了解决这个问题的障碍。

事实上，如果只有2条直线或3条直线，学生通常都不会感觉困难。现在就出现了“少”就会，而“多”就不会的现象。因此，“多”与“少”的对立关系就成为了解决问题的基本矛盾。如何处理这一对矛盾就成为寻找解题方法的关键。

鉴于矛盾的双方在一定的条件下可以互相转化的启示，自然应该去寻求“多”与“少”的转化方式。首先从最少的1条直线的情况入手，发现没有交点。再考虑2条直线的情况，由于问题的已知信息要求“每两条直线都不重合”，所以这2条直线的位置关系有两种，一种是平行，另一种是相交。而平行的情况没有交点，不符合已知条件中的“最多”。所以，2条直线的情况最多形成1个交点（见图1）。

对于3条直线的情况，为了使得这种情况与前面的情况紧密联系，应该把3条直线的情况看作是在2条直线的基础上添加1条直线。依据前面的启发，第三条直线不能与前面的任何一条直线平行。即使如此，第三条直线的添加还会出现两种情况，一种是经过前面2条直线的交点（如图2）。

另一种是不经过前面2条直线的交点（见图3）。

为了使得交点个数最多，第三条直线不能够经过前面两条直线的交点。这样就可以知道，第三条直线与前面两条直线各有一个交点，所以3条直线的情况最多形成（1+2=3）个交点。

至此，已经可以归纳出新的已知信息。为了满足交点个数最多，所画的直线必须符合如下两个条件：

1. 每两条直线不能平行。

2. 每三条直线不能共点。

现在已经建构出了联系“多”与“少”的模式，这一模式可以从下表中清晰地看出来。

解决这个问题所用到的方法可以叫作“多的不会想少的”，想出它的思想基础就是辩证唯物主义对立统一的观点所倡导的“化繁为简”，或者叫作“化未知为已知”，也就是对立统一的规律。

在美国阿尔法出版公司1994年出版的书名为《数学中的伟大探索》第191页，[1]设计了一个关于估算瓶中药粒数量的学习活动。为学生准备了一瓶药粒，一个小一些的空杯子和一个小勺子（见图4），需要解决的问题是：利用这些工具如何能够相对快捷、准确地估计出瓶子中药粒的数量？

目的是引导学生运用“化多为少”的方法，首先数出“一勺”容纳多少药粒，而后“一杯”之中含有几勺，最后通过估计“一瓶”大约几杯，估算出瓶中药粒数量。这样的学习活动能够让学生经历对于“多与少”这样矛盾关系的思考，体验对立统一的方法论思想。

参考文献：

[1]Dyches Richard W. Great Explorations in Mathematics：Grades K-4. Teacher's Edition. ALPHA PUBLISHING COMPANY，Annapolis， Maryland. 1994. P191.

（首都师范大学初等教育学院 100048）