初中数学“实数”部分教学研究

顾志明

[摘 要] 初中教学中的实数部分是初中数学学习的重要部分，是高中数学学习的基础，其中的实数运算法则又是数学教学中最基本的运算原理，因此，学好实数对于学好整个数学学科有着重要的铺垫作用. 本文根据作者多年的教学经验，对初中实数章节的教学中的一些注意事项和学生学习的一些薄弱环节进行了分析，并提出了一些在实数章节教学中提高学生学习效果的建议，给教师在实数章节教学中提供参考.

[关键词] 初中数学；实数；教学；研究

初中教学中的实数部分是初中数学的重要组成部分，通过这一章节的学习在数的开方的基础上引进了无理数的概念，并从有理数扩充到了实数. 初中阶段的数学主要是为高中阶段的数学学习打基础，其中的实数运算法则是数学教学中最基本的运算原理，因此，学好实数对于学好整个数学学科有着重要的铺垫作用.

对实数章节知识的整体教学

分析

在实数章节的教学中，首先要处理好相关概念的教学，这些概念看起来很简单，但是学生掌握起来却有一定的难度. 可以让学生通过一些具体的活动，抓住主要概念，了解概念的形成过程，配合知识之间的前后对比，使学生加深对相关知识的理解，必要的时候可以采用中间过渡的形式. 例如，在第一课时的教学中，设置问题“面积为2的正方形的边长是多少？”，提出思考问题“它是整数吗？它是分数吗？”. 通过学生之间的讨论，发现认知矛盾. 再通过计算器计算出相关数值，并认真观察，引出无理数的概念. 在无理数中有很多是开方开不尽的数，这些数经常出现在我们的计算当中. 由于在实际教学中的平方运算都是取得算术平方根，而且其中正数有两个平方根的结论与学生平时的经验相冲突，学生不易接受. 在教学中可以先引进算术平方根的概念，再过渡到一般的平方根的概念.

实数章节教学的注意事项

第一，在新教材中，淡化了“最简二次根式”和“分母有理化”的相关内容，但是在教学过程中，教师还是很有必要给学生作适当的介绍，让学生充分了解相关的概念. 只有学生充分理解了相关的知识点，才能在实际的解题中应用自如. 这对于以后学生计算二次根式也打下了基础. 二次根式的计算在这一章节可谓是基础也是重点，很多学生初次接触理解起来可能有些困难，然而新的课程标准中只留出了2个课时的教学计划，而且题量和类型都相对较少. 因此，在教学过程中适当地增加这些知识的教学课时，适当引入多种类型的练习题，注重整式乘法法则和乘法公式相结合的题目和对积、商的算术平方根性质的练习题，给学生打下坚实的基础. 例如，课本上化简×-5的题型，是这样解答的5=6-5=1. 在学习完二次根式的化简后，跟学生介绍新的解题思路是5=6-5=1. 这样有利于学生将知识系统化，更好地掌握所学的知识.

第二，要重点掌握平方根、立方根，并加深对它们的理解. 对于它们的概念，要求学生能够叙述、判断，还可以举例子，学会应用. 在概念的教学中要让学生了解概念的形成过程，这样一来学生就不容易混淆相关的概念. 例如，有的题目要求学生求平方根或算术平方根，很多学生在这方面难以确定，容易出错. 因此在教学中要教会学生看清题目要求，是求算术平方根还是平方根，如x2=36，求x的值，在这里要求的是“=？”，是让学生求算术平方根，有很多学生会求成平方根.

第三，无理数概念的理解要加强，学生首次接触无理数，对无理数没有头绪，教师在教学过程中可以通过介绍无理数的产生过程，引起学生对无理数的学习兴趣；还可以通过多举例子，多做练习题的形式加强学生对无理数的理解. 例如，让学生在坐标轴上寻找无理数的点，并告诉学生无理数有很多很多，只要是无限不循环的小数和开方开不尽的数都是无理数，并通过让学生自己设计无理数来加深学生的认识.

第四，抓住学生易错点，反复练习. 在实数这一章节，除了考察学生对知识的掌握程度以外，还考察学生的细心程度. 有些题目看似简单，但是学生的出错率非常高. 例如，x2=8，那么x=；=±7；=-2；=8；= ±4等，对于这些错误，需要教师带领学生通过多种类型的练习题逐渐克服.

第五，重视概念的教学，数学概念是由具体到抽象，由特殊到一般，经过反复推敲加工形成的，能够突出事物本质属性的数学用语. 概念在学生头脑中形成的过程就是提高学生思维水平的过程. 在无理数的教学中，可以先引入一些实例让学生去亲身体验，鼓励学生通过动脑、动手、相互讨论等形式，初步去认识无限不循环小数. 在学习平方根的概念时，很多学生会把正数平方根中的负数省略掉，对此，教师可以通过问题引导，让学生主动认识错误，从而加深记忆. 例如，49的算术平方根是7，换句话说7的平方就是49，那么同学们再想一下，是否还存在其他的数，使它的平方也等于49？让学生通过具体的例子，主动去探索.

实数章节学生常见解题问题

分析

例1 （-2）2的平方根是多少？的算术平方根是多少？

很多学生都会得出-2和7.正确答案应该是±2和. 在第一问中，（-2）2是一个乘方的形式，需要学生先将乘方解答，得出结果后再对它进行求解. 如（-2）2=4，求4的平方根，这样就转化为了学生较为常见的求平方根的形式. 在第二问中，应该首先求出的值，再对取得的值求算术平方根. 如=7，7的算术平方根为.

像这类问题，是实数部分最为常见的易错题型，究其原因就是学生在做题过程中不够谨慎，对相关定义的应用不到位.

例2 下列说法中正确的有（ ？摇 ）

A. 无理数包括正无理数和负无理数、零

B. 实数包括正有理数、零和负有理数

C. 无理数是带根号的数

D. 无限不循环小数是无理数

在这道题上，很多学生会选择A或C，但是正确的答案是D. 选择A的学生对无理数的相关概念理解不透彻，其中学生在“零”上，容易产生分歧，零属于有理数. 选择C的学生，只是从表面形式上认识了无理数，在本质上并没有了解，因为有些带根号的是开方能开尽的，如. 这类题型属于典型的概念相互混淆问题.

提高学生实数学习效果的建议

第一，准确把握有理数和无理数. 有理数和无理数的概念被引出来之后，打破了学生对数的原有的认识. 所以应该抓住有理数和无理数的本质来认识有理数和无理数，其中有理数的本质就是可以用分数表达的数，而无理数是无限不循环的小数，是开方开不尽的数，其中有一点要讲明：并不是所有的无理数都可以写成带根号的形式. 因此，在判断有理数和无理数的时候不要单单从形式上来判定，而是要根据定义一步步去验证. 例如，判断以下结论是否正确：是无理数，是有理数. 判断的时候不能根据形式来判断，如果仅仅从形式上来看，题目所说结论基本正确，但是对开方后就可以发现=1.3，所以为有理数. 为开不尽的根式，所以为无理数，那么也是无理数.

第二，灵活调整课程结构，在数学教学中，并不是所有的教学都要按照课本上教材编排的顺序去讲解. 例如，在讲解实数这一部分的时候，最好把它放在勾股定理之后实施教学，但是这两部分的内容跨度较大，不处在同一个年级的教学中，因此可以将实数部分调整为七年级数学教材的最后一个章节来学习，学习完成后利用学期末的时间让学生有充足的时间去掌握相关的知识点.

第三，学好数的开方的相关知识，为学好实数做好铺垫. 首先要正确地区分平方根和算术平方根，A的平方根有两个，这两个互为相反数，其中正的平方根就是A的算术平方根，并且只有一个，还要明确前提条件≥0，A≥0. 通过练习来使学生充分理解相关的性质. 例如，如果=-x成立，那么x的取值范围是多少？

第四，有理数和无理数之间的运算要灵活把握. 在实数范围内，加、减、乘、除、乘方五种运算对无理数和有理数都适用，并且运算的法则也都适用于无理数和有理数. 在运算无理数的近似值的题目时，可以先将无理数转化为无限接近的有理数值来代替.

第五，通过计算机的使用，帮助学生理解无理数. 在无理数的教学中，仅仅通过概念来教育学生，这样的抽象概念很难被以形象思维为主的初中生所接受. 由于这个时段，学生还没有学习勾股定理，他们难以对无限不循环小数形成概念. 在这部分的教学汇总可以适当使用计算器来辅助教学，提高教学效益. 例如，是不是有理数？

这个年龄段的学生已经具备了独立思维的能力，有了自己的主见，学生仅仅依靠教师的讲解难以信服，要拿出令他们心服口服的实例，他们才会从内心深处接收这一概念.