Euler数的Akiyama-Tanigawa算法

顾江民

(浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院, 浙江 东阳　322100 )



Euler数的Akiyama-Tanigawa算法

顾江民

(浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院, 浙江 东阳322100 )

利用Akiyama-Tanigawa算法给出了Euler数表，用纯偶组合数得到了Euler数的一种简洁的表示形式并加以证明，不同的初始序列运用相同算法被广泛的运用.

集合的纯偶组合数;Euler数; Akiyama-Tanigawa算法.

1　算　法

在文[1]中介绍了Akiyama-Tanigawa算法，在研究ζ函数有关问题时，S.Akiyama和Y.Tanigawa[1]发现特殊情况下一个有趣的算法，计算Euler数的方式可以表示成类似“帕斯卡三角形”二项系数，文[2]利用这种算法给出了Bernoulli数的一种新算法.Euler数在数论和组合数学中有着广泛的应用，本文将利用Akiyama-Tanigawa算法给出了Euler数的一种新算法，并给以严格的证明.

定义2[4]纯偶组合数G(n,m)由以下幂级数确定

(1)

由这种递推关系得到一个类似杨辉三角的数表，可以确定各行的首位数为Euler数.运用文[2]的方法可以得到第n行的首位数为

Euler数表如下(见下页):

Figure 1:Akiyama-Tanigawa triangle

2　证　明

(2)

(3)

则

(4)

定理1的证明：设

根据递归定义的(3)式可得，当n≥1时

=

=

因此

然后

我们设 t=1-coshx，可得

因此

然后

因此

根据定义2的(1)式可得

因此

应用引理的(2)式可得

因此

让x→0 然后

那么

定理2的证明应用定理1的(4)式与(1)式我们有

=

[1]Akiyama S,Tanigawa,Y.Muktiple zeta values at non-positive integers[M].preprint,1999.

[2]Masanobu Kaneko,Kyushu University.The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers[J].Journal of Integer Sequences,2000,12:1-6.

[3]顾江民.欧拉数与集合的纯偶排列数[J].渭南师范学院学报,2013,12:5-9

[4]顾江民.正切数与集合的纯偶组合数[J].湖州师范学院学报,2015,8:6-10

[5]顾江民,朱伟义.Bernoulli数的两种新型表示[J].渭南师范学院学报,2010,25(2):6-8

[6]王天明.近代组合学[M].大连：大连理工大学出版社,2008.

[7]卢开澄,卢华明.组合数学[M].北京:清华大学出版社,2002.

[责任编辑：王军]

The Akiyama-Tanigawa algorithm for Euler numbers

GU Jiangmin

(Information and Control Engineering College, Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang 322100,China)

A direct proof is given for Akiyama and Tanigawa’s algorithm for computing Euler numbers.The proof uses a closed formula for Euler numbers expressed in terms of Pure even combinations of set numbers.The outcome of the same algorithm with different initial values is also bridfly discussed.

pure even combinations of set number; Euler numbers; Akiyama - Tanigawa algorithm

2015-12-02;

2015-12-22

顾江民(1966-)，男，浙江东阳人，浙江广厦建设职业技术学院副教授，主要从事数论的研究.

O156.4

A

1672-3600(2016)09-0022-03