巴赫《赋格的艺术》中的组合对称

许金昕（江汉大学 音乐学院，湖北 武汉 430056）

巴赫《赋格的艺术》中的组合对称

许金昕
（江汉大学 音乐学院，湖北 武汉 430056）

音乐中的一切对称都可以归纳为“平移、反射、旋转”等三种基本形式所组成的“群”的组合排列，对于巴赫《赋格的艺术》中组合对称的分析可以探知音乐最深层结构中所蕴含的数学思想和艺术理想。也让我们对巴赫创作中的理性和科学客观性有了新的认识。

组合对称；巴赫；群

一、对称的含义及对称群

音乐结构有很多种，其中对称是一个基本且核心的概念。这在钱仁康先生的大作《音乐语言中的对称结构》①中有详细描述分析，他将对称的基本形式分为：平行、逆行、反行、逆反行。但对于组合对称及组合对称之间的关系没有过多探讨。本文即以此概念来对音乐文本巴赫《赋格的艺术》②进行分析，力图以一个突破口找到音乐的一种基本结构及其变换形式。据研究，西方艺术中的“对称（symmetry）”源于希腊词根“sym”和“metria”，组成的意思是“同样的尺寸”［1］3。对此，德国数学家外尔解释说：“如果有一样可以加工的东西，你加工后它如前一样，那么这东西就是对称。”这是说，所谓对称，乃是一可量度之物经过转换之后仍保持不变。在其专著《对称》一书中，他引同是数学家的伯努利墓志铭上的话：“我虽然变了，但却和原来一样”来说明对称的性质［2］76。

现代数学、物理学意义上的对称，其实指不变性。变形之中的不变，变量之中的恒定。对称的基本形式其实很有限，在二维空间里，对称无非三种形式：平移、反射、旋转。平移，指向量移动后的叠合。反射，反射后的叠合。即我们常说的镜像、左右手对称。旋转，指绕一个中心点旋转某一角度后的叠合。

音乐虽被称为时间的艺术，但其对称形式也不例外。音乐中，平移（即钱文所说平行）包括前后（同声部）、上下（异声部）、交叉（异声部易位）平移；反射，包括上下（即钱文所说反行）、左右（即钱文所说逆行）反射；旋转（即钱文所说逆反行），因为五线谱的特殊表现方式，乐曲中的旋转一般为180°，即曲式中常说的倒影逆行③。其实巴赫在《赋格的艺术》中自己指出的“正向、倒影”等，就是平移和反射。根据现代数学中群论的研究，遵守某种运算和置换规则的集，就构成一个群。而根据数学家克莱因定理，任何系统的所有对称变换集总是形成一个群。

一个对称群包含如下特点［3］112：

1.封闭性。任何两个元素通过运算所得结果也是这个群中的元素。若A、B为群中元素，则A+B也是群中的元素。

2.结合律。结合三个有序元素时，可以任意结合其中两个，结果不变。如A+B=B+A，（A+B）+C=A+（B+C）

我们将二维对称的方式集合成一个群，以0表示组合对称，相当于运算规则“+”，A表示平移，B表示反射，C表示旋转，则有列表如下：

注：*因为谱子上的旋转只能以180°进行，故C+C回到原点

下面我们以“对称即不变性”的现代含义重新考察巴赫《赋格的艺术》中的组合对称，对文本中最基本且恒定的结构进行描述，精确而简洁地重构巴赫文本中的对称结构，寻找到巴赫所说的“寻找，那么我们会找到”的所谓“万物至理”④。

二、组合对称

（一）平移+平移，A+A，平移有前后平移、上下平移、交叉平移。

三种单一形式又可以任意组合，包括：

1.前后平移+交叉平移，如对位曲6第62-63小节

素材a在同一声部内部整体地前后移动，即音乐曲式中常说的模进；同时，素材a-bac、bac-a又在不同声部中上下交错平移。谱面上看呈交叉形状。

2.上下平移+前后平移，如对位曲9第1-15小节、第89-96小节

音乐素材在中（第1-8小节）高（第8-15小节）声部上下平移，又在高声部（第8-15小节、第89-96小节）前后平移。

3.上下平移+交叉平移，如对位曲7第21-22小节

素材a、b在高低声部上下移动，素材c则在高低声部中交叉移动。

（二）平移+反射，A+B，B+A，反射有上下反射（水平轴）和左右反射（纵轴）。

两种反射和三种平移也可以任意组合，包括：

1.上下平移+左右反射。如对位曲12第45-47小节与对位曲12第51-53小节。素材abc和cba为左右反射，即曲式中常说的逆行。而素材b'又在高中上下平移。

2.上下平移+上下反射。如对位曲13高声部第1-4小节素材与中声部第5-8小节中的素材上下反射（水平轴），即曲式中常说的不同声部的倒影，同时同一素材又上下平移至低声部第9-12小节。形成高中、中低声部上下反射，高低声部上下平移。

3.交叉平移+上下反射。如对位曲8中声部75-76小节与低声部80-81小节、低声部第77小节与中声部82小节形成交叉平移，而低声部84小节与中声部85小节形成上下反射。

4.交叉平移+左右反射。如对位曲11第98-100、106-108小节。素材aab与baa为左右反射，素材aa又在两个中声部、高中声部交叉平移。

5.前后平移+上下反射。如对位曲4低声部第120-122小节与中声部第124-126形成上下反射，而中低声部内各小节为前后平移。

6.前后平移+左右反射

如对位曲7第31-33小节。

第43-46小节音型是全曲的主题，反复出现，也经常以旋转和反射的方式变形出现：第48-51小节为旋转，第82-84小节为左右反射，而两者之间是上下反射，形成反射和旋转的组合。

（四）平移+旋转，A+C，C+A，如对位曲10第29-30、第61-62小节

素材a在高中声部前后、上下平移，素材b、c和b'c'在中低声部旋转。

（五）反射+反射，B+B，如对位曲2第38-40小节

素材aa'为上下反射，素材bb'为左右反射。

上述举例，已将巴赫乐曲中的对称，乃至所有音乐中的所有对称的可能性全部囊括。这种以简单的群即可囊括所有对称形式，是数学语言“以简驭繁、了无剩义”的最好体现。同时，所有对称形式都可在巴赫的《赋格的艺术》中找到对应，也可见对称在巴赫音乐创作中的重要性。

难道他对对称及其组合表现形式有自觉的认识且以理性和科学的态度发掘完善它们？我们相信如此。

三、万物至理

无论是音型，还是乐句，甚至完整的乐曲，对称都是巴赫创作中的一个基本形式，而且是如贝尔所说“有意味的形式”。如何理解对称形式中的意味？又如何理解巴赫乃至整个巴洛克时期音乐特别重视对称？也许巴赫的“万物至理”思想能让我们窥探一二。

我们知道，自希腊以来，西方科学和艺术一直一脉相承着“万物至理”的观念，而艺术之用，常常就是要模仿和表现这种“至理”。在巴赫时代，宗教仍然深入人心，但科学已然不可遏制；信仰根深蒂固，但理性启蒙勃兴，那个时代的集大成者无不具有宗教和科学、信仰和理性的双重面貌：虽然还无法摆脱如巴赫每每在手稿最后所写“S.D.G”（Soli Deo Gloria 荣耀只归于上帝），但随着对数学、物理、天文学地深入探究和科学方法地传播，人们越来越相信大至宇宙运行，小至铅球落地，运动的规律所表现出的和谐，是一种客观的理性和数学的优美，即如牛顿所言的“自然哲学的数学原理”。于是，“上帝创世之时就携带了数学——对事物的数进行考察的最简单最神圣的抽象模型。”［4］14宇宙由上帝创造变成由上帝根据数学来设计，就使得“企图理解上帝的意志及其创造物是最重要的”这一宗教教义，变成了探求上帝对自然的数学设计的科学活动。而对称性就是这种设计原理的最深刻体现。比巴赫早半个世纪逝世的天文学家开普勒这样描述宇宙和谐与音乐的关系：

所有天体的运动只不过是某种永远传唱的复调音乐。……换言之，人类或能利用多声部音乐的美妙和声，在瞬间就能表达出开天辟地以来的永恒，同时也由这种模拟上帝的音乐所散发的美感，体会到造物主对自己作品的满足。［5］1048

这段话既是哥白尼所言“宇宙具有令人惊异的对称性以及地球的运动和大小的已经确定的和谐联系”［6］25思想的体现，也是西方语境中，“音乐作为最早的与上帝进行交流的语言”观念的深化。从开普勒的音乐理想看，复调是对“天体和谐”的吟诵和模仿，如同莎士比亚在《威尼斯商人》第五幕中所云：“你所看见的每一颗微小的天体，在转动的时候都会发出天使般的歌声”［7］93——这让我们想起赋格（fugue）的本意即“遁走”，乃是描述天体“无言而行，其声如雷”。——音乐是与“上帝”交流的语音，且是唯一能够循环往复无始无终的语言。所以巴赫所言音乐中的“万物至理”，乃是以音乐去模拟上帝和天体之和谐。这是其时代宗教，亦是其时代科学观念地体现。因此，罗杰·凯密恩特别提醒说：“在认识巴洛克风格时，对17、18世纪的科学发现有所了解也同样有所帮助。”当我们被巴赫音乐中“规整的秩序、严密的逻辑架构所震撼”时，那是他在“用一个个音符，建构了深埋于表面音响的极其精密的客观性的雄伟塔柱。”［8］别忘了，巴赫在他逝世前三年加入了“音乐科学通讯社”［9］。科学是巴赫晚年的一个探索主题，而《赋格的艺术》正是应通讯社之要求而提交的年度作品。

四、对称的理想

巴赫《赋格的艺术》包含着他的音乐理想。其实，音乐本身就是一种理想。作曲家听从自然、传统和自我的召唤，用音符和结构摹写它们，这种摹写可能简洁而朴素，因为朴素离自然和心灵的本真最近。艺术家越深入到自然和传统中去，越细腻地感受心灵，他的思路就越开阔，创作也越简洁，他就越懂得：万物皆有至理，惟精惟一。因为二十世纪现代音乐中理性主义和数学思想的复活，我们再回头看巴赫，会发现他比他之后的作曲家具有更多的现代性、对话性。历史在想象中复活，在复活中解释，在解释中重生，希望我们对巴赫的研究就是如此。惠勒曾说，当我们了解宇宙有多奇妙时，才开始体会其单纯。同样，我们说，当我们了解巴赫有多奇妙时，才开始体会其单纯。物理学家威尔逊曾这样描述科学与艺术的相通之处：“科学在描述大自然时以美学判断为基本考量。物理学与艺术非常接近，都可由一粒沙看到大千世界；你看到了大自然的对称性，以及各式各样赏心悦目的形状。终于，人们在欣赏雕塑或艺术作品时，也会开始领略到那些伟大的单纯事物。”⑤

［1］马里奥·利维奥［美］，王志标译.无法解出的方程——天才与对称［M］.长沙.湖南科学技术出版社，2008.

［2］赫尔曼·外尔［德］，冯承天，陆继宗译.对称［M］.上海：上海科教出版社，2005.

［3］顾沛.对称与群［M］.北京：高等教育出版社.2011.

［4］Johannes Kepler.Gesammelse Werke，ed.W.von Dyck，M.Caspar et al.，Munich，1938.

［5］Johannes Kepler.The Harmonies of the World.Book V［M］. translated by Charles Glenn Wallis. Great Books.vol.16.2006.

［6］哥白尼.天体运行论［M］.武汉.武汉出版社，1992.

［7］莎士比亚，朱生豪译.莎士比亚戏剧集［M］.深圳.海天出版社，1999.

［8］何超.巴赫型音乐对波普尔“客观知识”学说的影响［J］.山东科技大学学报（社会科学版），2012（04）.

［9］路多尔夫·维勒［德］，徐金梅译.音乐中的平衡对称［J］.音乐探索：四川音乐学院学报，1985（03）.

许金昕（1972—），女，湖北武汉人，钢琴教育硕士，江汉大学音乐学院副教授，研究方向：钢琴教学、钢琴艺术史。