含有柔顺关节的并联机器人应力分析

李　渊，余跃庆

含有柔顺关节的并联机器人应力分析

李渊1，2，余跃庆1

（1.北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京100124；2.大同大学煤炭工程学院，山西大同037003）

为了研究含有柔顺关节的并联机器人系统疲劳寿命和优化设计，基于含有柔顺关节的三自由度平面并联机器人动力学模型，推导动应力理论公式.运用MATLAB软件进行计算，并且与SolidWorks、ANSYS和ADAMS三种软件联合共同构建的仿真模型结果进行了对比.结果表明:理论计算和软件仿真所得的应力值变化趋势总体一致，两者相对误差最大值为6.71%，从而相互验证其基本正确有效.

并联机器人；柔顺关节；动应力

近年来，广泛应用于细胞与基因操作、精密外科手术、微电子装配、微细加工、光纤对接等微操作领域的微/纳米微操作并联机器人［1］，是综合并联机器人、柔顺机构［2］和微纳米技术发展形成的一个新的研究方向.它不仅具有并联机器人刚度大、精度高、速度高、承载能力强等优点，还有柔顺机构减少零件数目、提高精度和减轻质量等优点.在结构设计及运动分析方面取得了大量研究成果［3-7］，但在动力学方面［8-9］比较少.

本文以含有柔顺关节的并联机器人动力学模型［10］为基础，从理论计算和软件仿真来研究机器人中柔顺关节应力的变化情况，为研究含有柔顺关节的并联机器人系统的失效形式和疲劳寿命及其优化设计打下坚实的基础.

1　动力学模型

将3-RRR刚性平面并联机器人中的驱动杆和连杆之间的传统转动副用柔顺关节来代替，构成新型的含有柔顺关节的平面并联机器人，如图1所示.其结构参数如表1所示.

图1所示的模型是基于SolidWorks、ANSYS和ADAMS三种软件联合共同构建的机器人仿真模型.

文献［10］基于初始弯曲柔性梁的1R伪刚体模型建立柔顺关节双1R伪刚体模型，并将其融入到并联机器人中，其结构如图2所示.

基于矢量法，可得机器人运动学方程

矢量表达式（1）在绝对坐标系里展开为

表1　含有柔顺关节的并联机器人结构参数Table 1　Structural parameters of the parallel robot with compliant joints

基于拉格朗日方程和虚拟切割法建立的含有柔顺关节并联机器人动力学方程为

式中:Me=JTMJ表示惯性矩阵；Ce=JT（MJ·+CJ）表示阻尼矩阵；Ke=JTKDJ表示刚度矩阵；τc= JTKq0表示机器人的初始载荷向量的修正量.

以动平台的中心点为目标点，机器人的名义运动规律如式（4）所示，其中长度单位为m，转角单位为rad.

式中:x、y为动平台目标点在x轴、y轴方向上的位置；φ为动平台转角.

2　应力分析

高速运动的含有柔顺关节并联机器人，大多在循环变化的载荷下工作，有时可能会发生一系列低阶谐振或共振现象.柔顺关节所承受的应力值较高并且循环变化，可能导致关节的疲劳破坏；如果柔顺关节的最大应力超过材料的许用应力，会造成柔顺关节的失效破坏.所以，研究柔顺关节的应力是非常必要的.应力分析是研究系统的失效形式和疲劳寿命的基础，对含有柔顺关节并联机器人的优化设计具有重要的意义.

在含有柔顺关节并联机器人的运动过程中，柔顺关节时刻发生变形运动，其所承受的最大应力会因载荷作用点位置和方向的变化而发生变化.对于初始弯曲梁，它的最大应力发生在固定端［2］.而本文的柔顺关节是基于初始弯曲梁伪刚体模型建立的双1R伪刚体模型，该模型可以计算出伪刚体杆BiDi两端由于扭簧作用而引起的力矩的变化.

如图3（a）所示，第i支链上柔顺关节的B端和D端所受弯矩分别为

式中θi10、θi20、θi30分别为角θi1、θi2、θi3的初始值.

式（5）（6）可以整理为

其中

给定机器人的各关节位移的初始值X0以及随时间变化驱动力矩τa，根据机器人动力学方程式（3），基于newmark法，可以计算出机器人动平台的位移X、速度和加速度，再结合机器人位移表达式（2），基于牛顿-辛普森迭代法，可以计算出机器人各关节位移θ.

基于双1R伪刚体模型建立的柔顺关节模型中，柔顺关节的短杆长度为4.45 mm，相对于柔顺关节模型长杆BiDi的长度（35.03 mm），只是其1/10左右.所以柔顺关节伪刚体模型中，BiDi两端所受的力矩，可以等效到原始柔顺关节的固定位置处，即Bi点和Di点处，如图3（b）所示.

柔顺关节主要承受弯曲正应力.在弯曲时，以中性层为对称轴，横截面的上一部分受拉应力，另一部分受压应力.弯曲正应力的计算式为

式中Wz为抗弯截面系数.

式中:b为柔顺关节横截面的宽度；h为柔顺关节横截面的厚度；M为柔顺关节横截面所受的弯矩.

柔顺关节的强度失效的判定条件为

式中［σ］为材料的许用应力.

基于Matlab从理论上计算每个支链柔顺关节固定端处的最大应力值，并且和软件仿真模型中测量出的应力值进行对比，如图4～9所示.表2给出各支链柔顺关节固定端的最大应力统计值.

根据图4～9及表2，可以得出以下结论:

1）每个支链理论计算和软件仿真所得的应力值变化趋势总体一致；由于ADAMS柔性仿真结果与仿真步长、柔性构件的网络划分情况关系较大，两者相对误差最大值为6.71%，这可基本验证理论计算及结果的正确性.

2）软件仿真所得高频振动的幅度稍大于理论计算结果；软件仿真的最大应力值大于理论计算上的最大应力值.

3）每个支链的应力交替变化，最大应力出现的时间不同.

4）在整个机器人中，最大应力值出现在第1支链的B端处，理论计算值为467.61 MPa，软件仿真所得为497.30 MPa，均小于柔顺关节厚度为0.3 mm时在变载荷作用下的许用应力值973 MPa.

5）每个支链上柔顺关节两端的应力变化基本一致，和驱动杆固定B端的最大应力值稍大于和连杆固定C端的最大动应力值；在设计的时候需要适当地调整B端的柔顺关节的设计参数，改善其应力状况，使机器人柔顺构件的动应力均衡，从而提高机器人动力学性能.研究柔顺关节的应力，可为含有柔顺关节的并联机器人优化设计提供必要的准备.

表2　各支链柔顺关节固定端的最大应力Table 2　Maximum stress of fixed end on compliant joints in chains　MPa

3　结论

1）基于含有柔顺关节的三自由度平面并联机器人动力学模型，推导了应力理论公式，基于MATLAB软件进行理论计算，并与 SolidWorks、ANSYS和ADAMS三种软件联合共同构建的仿真模型结果进行了对比，结果发现理论计算和软件仿真所得的应力值变化趋势总体一致，两者相对误差最大值为6.71%，这基本验证了理论计算和软件仿真及其结果的正确性.

2）在机器人运动过程中，每个支链上柔顺关节两端的应力变化基本一致，和驱动杆固定B端的最大应力值稍大于和连杆固定C端的最大动应力值；最大应力值出现在第1支链的B端处，小于变载荷作用下的许用应力值；在设计的时候适当地调整柔顺关节B端的设计参数.这为研究含有柔顺关节并联机器人系统的疲劳寿命和优化设计打下基础.

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［10］李渊，余跃庆.柔顺关节并联机器人动力学模型［J］.农业机械学报，2015，46（7）:345-353.

LI Y，YU Y Q.Dynamic model of a parallel robot with compliant joints［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machine，2015，46（7）:345-353.（in Chinese）

（责任编辑杨开英）

Stress Analysis of Parallel Robots With Compliant Joints

LI Yuan1，2，YU Yueqing1
（1.College of Mechanical Engineering and Applied Electronics，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China；2.Coal Engineering College，Datong University，Datong 037003，Shanxi，China）

To study the fatigue life and optimized design of the parallel robot with compliant joints based on the model of a 3-DOF planar parallel robot with compliant joints，the formula of the stress was derived.The theory results were obtained on MATLAB，and compared with the results of united simulation model by SolidWorks，ANSYS and ADAMS.Results show that the trends of the stresses of the theoretical calculations and software simulations are generally consistent，and the maximum relative error is 6.71%，which is proven to be correct and effective.

parallel robot；compliant joint；stress

U 461；TP 308

A

0254-0037（2016）06-0832-05

10.11936/bjutxb2015050057

2015-05-20

国家自然科学基金资助项目（51575006）

李渊（1984—），男，讲师，主要从事机器人和柔顺机构方面的研究，E-mail:lytx2006@163.com

余跃庆（1958—），男，教授，博士生导师，主要从事机构学和机器人学方面的研究，E-mail:yqyu@bjut.edu.cn