液压双边滚切剪非线性系统稳定性分析

黄庆学，李　佳，李宏洲，韩贺永，马立东，马立峰

液压双边滚切剪非线性系统稳定性分析

黄庆学1，李佳1，李宏洲2，韩贺永1，马立东1，马立峰1

（1.太原科技大学重型机械教育部工程研究中心，太原030024；2.河北文丰钢铁有限公司，河北武安056300）

双边剪机械动力学与液压动力学的耦合作用以及上刀架与液压缸之间的位置反馈，都是系统不稳定的因素.在这个模型中，所有的不稳定因素都来自于液压油的控制.通过采用非对称阀控制非对称缸的方法建立液压系统的数学模型，得到了伺服液压缸压力、流量的非线性状态方程，并利用李雅普诺夫稳定性判据分析了四缸耦合的非线性系统的稳定性.通过采集现场实验数据表明:四缸运动轨迹可以较好地按照既定轨迹运动，验证了此方法可以满足现场的实际需求.

稳定性；新型液压双边剪；李雅普诺夫法；非线性系统

双边滚切剪是中厚板生产线上加工钢板双边宽度的重要设备之一，采用步进式剪切方法［1-2］，同步完成钢板的切边功能.新型的液压双边滚切剪剪切机构采用伺服液压缸卧式铰接于机架上，直接驱动复合连杆机构带动圆弧形上剪刃做滚动剪切的运动，上刀架运动轨迹复杂多变，4个伺服液压缸运动相互耦合，长时间处于高速、大流量的运行状态，对应的伺服阀工作在大开口位置，采用非对称阀控制非对称缸的方法［3］来消除运动过程中的流量误差和换向压力突变问题.该设备结构简单、剪切力大、控制精度高，目前属于世界首台.阀控缸伺服系统稳定性直接决定液压双边滚切剪的剪切运动，因此有必要对其剪切机构的稳定可靠性进行深入研究.

新型液压双边滚切剪机构，是多自由度耦合系统，这类结构的静、动力学性能等非常复杂.目前，国内外很多学者都很重视系统的稳定性分析，文献［4］通过对随机动力学的分析，采用Lyapunov函数法、随机平均法、反馈控制策略等对具黏弹性/时滞的自由度系统进行了稳定性分析.文献［5］采用Llewellyn蒺s判据对多自由度触觉系统进行绝对稳定性分析.文献［6］就力和位置耦合控制的主动转向系统的多目标优化，通过对其用Routh判据进行稳定性分析得到可以满足改善转向系统的路感和轻便性.文献［7］就神经网络的机械手的混合压力位置控制，基于自适应控制方法提出了一种新的算法，满足了李雅普诺夫意义上的稳定性条件，得到在末端执行器和外部环境施加的耦合力以及在笛卡儿坐标系下机械手末端位置的混合控制，可以满足机械手的正常动作.上述文献虽然给出了一些机构稳定性的方法研究，但均未考虑多自由度液压系统中多缸和单缸系统的稳定性分析，且国内外无相关文献介绍该方面的研究.

本文通过采用非对称阀控制非对称缸的方法，同时得到伺服液压缸压力、流量的非线性状态方程，从而采用李雅普诺夫稳定性判据对此四缸耦合的非线性系统进行了稳定性分析.并以现场试验数据为基础，比较了4个液压缸的理论位移给定值与实际位移值.

1　剪切机构液压伺服系统数学模型

新型液压双边滚切剪液压伺服系统所涉及的阀控缸机构具有阀口非对称、液压缸非对称、阀芯位移范围大以及负载变化大等特点.用经典的线性系统数学模型分析阀控缸机构的稳定性已不符合实际工况要求.因此，研究建立非对称阀控制非对称缸的非线性数学模型非常必要.

1.1非对称伺服阀阀口流量公式

本文所研究的非对称伺服阀是指阀口进出节流窗口的面积梯度成一定比例，即

式中:w1、w2、w3、w4分别为阀口1、阀口2、阀口3和阀口4的面积梯度，w1=w4，w2=w3；n为小于等于1的常数.

当n小于1时，滑阀为非对称阀；当n等于1时，滑阀为对称阀.

对于非对称液压缸有

式中:A2、A1分别为液压缸有杆腔和无杆腔的有效作用面积，m2；m为小于等于1的常数.

如图1所示的非对称四通阀阀口1、2、3、4的节流公式［8］可以表示为

式中:cd为阀口的流量系数；v为阀芯位移；Δi为各阀口的重叠量，i=1～4；ps为供油压力，Pa；ρ为油液密度，kg/m3；qsv1、qsv2、qsv3、qsv4分别为阀口1、2、3、4的流量，m3/s.

规定图中阀芯位移的正向，则进入液压缸2腔的流量可表示为

假设|Δ1|=|Δ2|=|Δ3|=|Δ4|，Δ1=-Δ4，Δ3=-Δ2，则无杆腔流量

有杆腔流量

式中:Q1、Q′1为无杆腔正反向移动时的流量；Q2、Q′2为有杆腔正反向移动时的流量.

当m=n时，液压缸两腔压力不再受运动方向影响，换向时的压力突变消失，系统能够承受的负载变化范围大.而且完全匹配的非对称阀控制非对称缸从根本上消除了非对称缸对系统压力特性带来的不利影响.

1.2液压缸在稳态时的流量压力特性

得

又根据液压缸的力平衡方程

得

根据液压缸的输出功率

得

所以，液压缸无杆腔相连的阀口的流量作为滑阀的负载流量.

根据式（9）～（11）可得负载流量

1.3非对称伺服阀控制非对称缸系统的基本方程

1.3.1滑阀正向移动时（xv＞Δ1），负载的流量方程［9］

式中:QL为负载流量；pL为负载压力.

1.3.2伺服液压缸的流量连续性方程

考虑泄漏和油液的可压缩性，液压缸无杆腔的流量连续性方程为

式中:V1=Vd1+A1（y0+y）；V2=Vd2+A2（L-L0-y）；Vd1、Vd2为无杆腔、有杆腔的闭死容积，即阀到缸的管道容积；y为活塞的位移；cip为缸的内泄漏系数.

根据式（10）（11）（15）得

式中:ctp=2cip/1+m；μ=m-1/m+1；V1的最小体积V1MIN为 Vd1+A1y0；V1的最大体积 V1MAX为Vd1+ A1L，L为液压缸的长度，一般取V1MIN和V1MAX的均值为V1，V1=V1MIN+V1MAX/2=2Vd1+A1y0+A1L/2；等效体积Vt=4V1/1+m=4Vd1+2A1（y0+L）/1+m.

根据文献［10］对阀控缸机构的稳定性分析，当活塞处于中位时稳定性最为尖锐，故一般情况下Vt取活塞在中位位置时的值为其名义值，即Vt= A1L/3.

1.3.3液压缸的力平衡方程

式中:mt为活塞、油液及负载等效到活塞上的质量；B为黏性阻尼系数；k为负载的弹性刚度；F为任意外负载力.

2　非对称伺服阀控制非对称液压缸非线性系统的稳定性分析

根据求解的式（14）（16）（17），非对称伺服阀控制非对称液压缸系统的非线性状态方程简化成线性方程组为

定义x=［x1x2x3］T=［yy·pL］

则

整理可得

将阀控液压缸系统状态变量的形式写成状态向量的形式

式中

新型液压双边滚切剪液压系统是含有4个伺服液压缸驱动刀架运动的多自由度非线性系统，每个伺服液压缸的负载流量方程、连续性方程和力平衡方程都是独立的，所以由微分方程建立多自由度状态方程的方法与单个液压缸状态方程的建立方法基本相同.

将式（20）和式（21）写成矩阵形式

剪切机构的状态方程是一个四维的矩阵方程，矩阵的稳定性采用李雅普诺夫第法分析.

根据李雅普诺夫第一法稳定性判别理论［11］，对于非线性系统，·x=Ax中满足A的特征值具有负实部，则系统是渐近稳定的.

液压系统及负载参数汇总如表1所示.

表1　液压系统和油缸相关参数Table 1　Parameters of hydraulic cylinder and system

·y=f（y，t），其平衡状态为f（0，t）=0，显然，一个物理系统储存的能量总是正值，则V（y，t）＞0.

下面判断·V是否满足小于0.

此函数主要是根据能量守恒定律［12］，把液压缸和外负载视为一个整体，即进口液体的压力能转化为液压油的动能和压力能、负载的动能和弹性势能，为了便于分析忽略系统的热能损失，建立如下李雅普诺夫函数V（y）

对V（y）求一阶导可得

剪切机构的状态方程是一个四维的矩阵方程，矩阵的稳定性采用李雅普诺夫第法分析.

根据李雅普诺夫第一法稳定性判别理论［11］，对于非线性系统，·x=Ax中满足A的特征值具有负实部，则系统是渐近稳定的.

式中ρA1y··=F1-F2-FL，F1表示无杆腔压力，F2表示有杆腔的压力.

其中p1A1-F1=0，F2-p2A2=0，只需满足y·（FL-ky）＜0，y·＞0.

则FL-ky＜0，由于k是钢板的弹性系数，约等于20×104，根据文献［12］实际生产所测最大剪切负载力为5.12×106N.

所以为了满足条件，需使y＞26 mm，当液压缸位移为26 mm时，上刀架下降最大位移1 mm.根据实际生产要求，上刀架和钢板之间开口量约为80 mm，即刀架下降80 mm才开始进行钢板剪切，刀架开始承受负载力.显然，前3项满足小于0.

对于，式中各项均小于0，所以此项小于0满足V·负定的条件.

根据上述分析可得，V·是负定的，满足李雅普诺夫第二法稳定性的要求，所以液压双边滚切剪阀控缸非线性系统模型是稳定的.

3　实验研究

3.1实验过程

新型液压双边滚切剪是由太原科技大学设计，太原科大重工科技有限责任公司生产的.为测得实验数据，在伺服液压缸上分别装有压力传感器和位置传感器测量伺服液压缸的压力和位移.但液压双边滚切剪的上刀架做滚切运动，而且运动比较复杂，无法直接测量，所以对伺服液压缸位移进行采样分析.液压伺服系统采用力士乐生产的4WRTE伺服阀控制非对称液压缸，考虑其承载能力，选用阀口面积梯度比n=1/2，伺服液压缸两腔的有效面积比m=1/2.

3.2结果与讨论

通过采集4个伺服液压缸的实际位移，分析其实际位移与4个伺服液压缸的给定位移误差，验证剪切机构的稳定可靠性，实验结果如图2所示.

在同一时刻，从各个液压缸实际位移和给定位移之间的误差分析可得，1#液压缸的位移误差0.6% ～15.3%，2#液压缸的位移误差是0.1% ～13.3%，3#液压缸的位移误差是0.1% ～13.3%，4#液压缸的位移误差是0.4% ～5.8%，能够满足工程的实际需求.

4　结论

1）通过建立非对称四通阀阀口的节流公式并结合非对称阀控制非对称缸的方法，得到液压系统的非线性状态方程组.根据液压缸的压力流量特性，将非对称阀控制非对称缸的非线性方程组线性化，从而为系统稳定性分析做了铺垫.

2）新型液压双边滚切剪是四缸协调控制的剪切机构，本文采用李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法分别对四缸及单缸系统进行了稳定性分析，因此，该方法为机械结构的动力学与液压动力学耦合分析提供了理论基础.

3）通过采集滚动剪切钢板液压缸的位移与理论给定位移值对比发现，可以满足工况需求，达到预期的目标.

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（责任编辑杨开英）

Analysis of Nonlinear System Stability of a Hydraulic Bilateral Rolling Shear

HUANG Qingxue1，LI Jia1，LI Hongzhou2，HAN Heyong1，MA Lidong1，MA Lifeng1
（1.Heavy Machinery Engineering Research Center of Ministry of Education，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China；2.Hebei Wenfeng Iron and Steel Limited Liability Company，Wuan 056300，Hebei，China）

A hydraulic bilateral rolling shear is the composite connecting rod shearing mechanism with the upper blade driven by servo-cylinders.Because an interaction between the mechanical dynamics and hydraulic dynamics of the machine and the hydro-mechanical interaction has a positive feedback component，which produces instability phenomenon.In this model，all instabilities energy comes from the fuel.A hydraulic servo system model was established based on unsymmetrical valve controlling unsymmetrical cylinder and the nonlinear equation of the state between force and cylinder flow was proposed.Moreover，Lyapunov stability theory was used to analyze the stability of system.Based on field experiment data，actual trajectory agrees well with given trajectory，showing that this method can meet the practical demand in engineering.

stability analysis；new hydraulic bilateral rolling shear；Lyapunov；nonlinear system

TG 333.21

A

0254-0037（2016）06-0819-06

10.11936/bjutxb2015050077

2015-05-26

国家自然科学基金资助项目（51505315）；山西省自然科学基金计划资助项目（2014011024-4）

黄庆学（1961—），男，教授，主要从事轧钢机械、接触问题边界元法方面的研究，E-mail:mkj_lj@126.com