充液圆筒形容器薄膜应力计算方法教与学探讨*

苏　清，曹尹亮，李倩钦，张程远，王　刚

(吉林大学化学学院，吉林　长春　130012)



充液圆筒形容器薄膜应力计算方法教与学探讨*

苏清，曹尹亮，李倩钦，张程远，王刚

(吉林大学化学学院，吉林长春130012)

微体平衡方程和区域平衡方程是求解薄壁容器薄膜应力的两个重要方程，然而在充液容器中，由于液体压力随液体深度呈线性变化，容器中薄膜应力的计算不能直接套用公式。本文通过具体例题的多角度的分析讲解并与学生进行深入的探讨，以加深学生对经向薄膜应力产生的本质的理解，培养学生的创新思维与联想能力，提高学生运用抽象数学知识解决工程实际问题的能力。

液体静压；薄膜应力；圆筒形容器；教与学

微体平衡方程和区域平衡方程是求解受均匀气体内压作用的薄壁容器薄膜应力的两个重要方程[1]:

微体平衡方程:

(1)

区域平衡方程:

(2)

式中：σm——经向薄膜应力，MPa

σθ——环向薄膜应力, MPa

p——内压(表压), MPa

R1——容器上任一点的第一曲率半径，mm

R2——与R1同点处的第二曲率半径，mm

δ—壳体壁厚，mm

对于承受气压的容器，不管容器的形状如何，只要知道容器任一点的R1和R2的数值，就很容易根据上述两个方程求出其任一点处的σm和σθ。对于液压容器，液体压力随液体深度而呈线性变化[2]，容器任意点处的σm还与容器的支撑形式有密切的关系[3],不能直接套用这两个方程求解。

在教学中，选用了董大勤[4]编的书籍为教材，为了检验学生对薄膜应力以及上述两个方程的运用的掌握程度，特留了课本中的作业题(例一)作为课后作业。经过这几年教学实践，从学生作业的批改结果来看，对于问题中的(1)(2)问，大部分同学做对了，也能理解，但对于后面的几问，只有个别同学清楚σm产生的本质，并正确求解。大部分同学为了完成作业，在不理解的情况下甚至直接抄课后答案。本文将以例一为例，通过详细的解题过程、建立合适的力学模型以及和学生的深入探讨力求使同学们将σm的本质弄清楚。

1　例题常规解析

例一．图1所示为三个直径D、壁厚δ和高度H均相同的容器，容器内充满常压液体，液体密度均为ρ，整个壳体通过悬挂式支座支撑在立柱上，试问(1)三个容器底板所受到的液体总压力是否相同？为什么？(2)三个容器所受到的支撑反力是否相同(不计容器自重)？为什么？(3)三个容器的A-A截面上的σm是否相等？为什么？写出σm计算式。(4)三个容器的B-B截面上的σm是否相等？为什么？写出σm计算式。(5)若三个容器均直接置于地面上，那么三个容器的A-A横截面上的σm是否相等，为什么？

图1　中部支撑承受液压的具有不同封头形式的圆筒形容器Fig.1　cylindrical container with different head forms supported by the central support

解：(1)相等。

因为液面高度相同。三个容器底板所受到的液体总压力均为(πD2/4)ρgH。

(2)不同。

因为液体重量不同。在不计容器质量的前提下，支座总的支反力与容器所盛装的液体的重量相同。故三种不同封头的容器支座总的支反力分别为：

F总，平=0.25πD2ρgH

F总，半球=0.25πD2ρgH-(1/24)πD2ρgD

F总，锥=0.25πD2ρgH-(1/12)πD2ρgD

(3)相等。

采用截面法，均以A-A截面下半部分容器为研究对象。虽然容器顶部封头的形状不同，但高度相同，液体静压对于底部的压力相同。由于A-A截面位于支撑的下部，故对于A-A截面下半部分受力相同，受力分析均如图2(a)所示。

由静力学平衡得：

σmAπDδ=(ρgHπD2)/4

解得：

σmA=(ρgHD)/(4δ)

(4)不等。

采用截面法，均以B-B截面下半部分为研究对象。受力分析如图2(b)所示。

对于平顶容器，由静力学平衡方程得：

2F1+σmB,平πDδ=0.25πD2ρgH

∵2F1=F总，平=0.25πD2ρgH

∴σmB,平=0

同理，对于半球形顶容器，有:

2F2+σmB,圆πDδ=0.25πD2ρgH

∵2F2=F总，圆=0.25πD2ρgH-(1/24)πD2ρgD

∴σmB,圆=(ρgD2)/(24δ)

对于锥顶容器，有:

2F3+σmB,锥πDδ=0.25πD2ρgH

∵2F3=F总，锥=0.25πD2ρgH-(1/12)πD2ρgD

∴σmB,锥=(ρgD2)/(12δ)

(5)不等。

将三个容器均直接置于地面上相当于支撑在容器的底部，受力分析如图2(c)所示：F总，支等于各不同封头容器的液体重力，分别等于(2)问中各不同封头容器的支座总反力。根据静力学平衡方程并求解得:

σmA,平=0；σmA,圆=(D2ρg)/(24δ),σmA,锥=(D2ρg)/(12δ)

结论：

A.当容器内盛装液体介质时，容器的支撑方式不同会影响器壁内的应力。

B.由于轴向应力的计算公式σm=(pR2)/(2δ)是根据部分壳体的受力平衡得到的，公式中的p为常量时才能直接应用[5]。

2　建立力学模型求解截面应力

事实上，对于(3)～(5)中σm的求解也可以采用数学建模的思想，建立轴向拉伸的力学模型，并采用截面法的方法。分别建立如图2(d)(针对(3、4)问)和2(e)(针对(5)问)的力学模型。相当于横截面是圆环形、中径为D、厚度为δ的杆件，受到三个轴向外力的作用处于平衡状态,F1为液体静压作用在封头上产生的轴向分压的合力；F2为支撑对容器作用的合力；F3为液体静压作用在容器底部的合力。对于(3)、(4)问分别相当于求取图2(d)中A-A截面上的应力和B-B截面上的应力；对于(5)问相当于求取图2(e)中A-A截面上的应力。

图2　中部支撑A-A截面下半部分(a)、 B-B截面下半部分(b)和底部支撑A-A截面 下半部分(c)的受力分析图,中部支撑轴向拉伸力学模型(d)和 底部支撑轴向拉伸力学模型(e)Fig.2　The stress analyses of the lower part of A-A (a) and B-B (b) cross sections supported by the central support as well as A-A cross section (c) supported by the bottom, mechanical model of axial tension cylinder (d) supported by the central support and (e) supported by the bottom

2.1静力学平衡求解

对于平顶封头，F1=0，F2=F3=0.25πD2ρgH；对于半球形封头，F2=0.25πD2ρgH-(1/24)πD3ρg，F3=0.25πD2ρgH，则以杆件整体为研究对象，由静力学平衡方程解得F1=(1/24)πD3ρg；对于锥形封头，F2=0.25πD2ρgH-(1/12)πD3ρg,F3=0.25πD2ρgH, 同理，求得F1=(1/12)πD3ρg。已知F1，F2和F3的大小，则采用截面法，可以很容易求得A-A截面和B-B截面上的应力，即为圆筒形容器的σm。

2.2积分法求解

图3　承受液体静压锥形封头受液体静压(a)、 微元环受力(b)和微元环上小微元受力(c)示意图Fig.3　Hydrostatic conical head: stress schematic diagrams of whole head (a), micro ring (b) and small element on micro ring (c)

3　学生对问题的思考与解析

在讲到积分求解F1时，有学生提出疑义，具体如下：

图4　承受液体静压半球形封头几何尺寸(a)、 微元环投影(b)和微元环受力(c)示意图Fig.4　Hydrostatic hemispherical head: schematic diagrams of geometric dimension (a), micro ring projection (b), and small element on micro ring (c)

如图4所示为受液体静压半球形封头，几何尺寸示意图如

图4(a)所示，设与封头底边夹角为θ处取一小微元环(微元环球面半径夹角为dθ)，其投影图如图4(b)所示，该圆环所受液体静压力示意图如图4(c)所示。该微元圆环上作用的液体静压垂直于圆球面，大小为p=ρgr(1-sinθ)，微圆环面积dS=2πr2cosθdθ，且球面微元环上的力在水平方向的分力的合力为零，在竖直方向上的分力的合力为：ΔFy=p·dS·sinθ=ρgr(1-sinθ) 2πr2cosθ·sinθdθ；则该分力在整个高度为r的半球面上的合力为：

(1)

∵dsinθ/dθ=cosθ

得F=πρgr3/3

将r=D/2代入得F=(πρgD3)/24

事实上，采用式(1)，需要弄清液体为什么会对容器产生向上的压强。关于这一点，用以下方法可以解释：假设容器距顶部高度差h处开口，为形成连通器，顶部也开口，外压为P0，则h处液体压强为P0+ρgh。在高度差量为dh的体积微元内，可认为压强处处为P=P0+ρgh,而外部对其压强为P0。于是产生一个大小为ρgh的压强差，方向垂直接触面及容器壁面，由此解释了为何压强垂直于壁面。此外，若液体对壁面的压强不垂直，则会发生平行于壁面的对流，与实际现象不符。

4　结　语

通过例题多角度的深入分析与讲解以及与学生的探讨，可以加深学生对知识的理解程度，引导学生养成变被动接收知识为主动思考理解吸收知识。同时教师自身也对问题有了更清楚深入的认识与理解。

[1]赵军,张有忱,段成红.化工设备机械基础[M].北京:化学工业出版社,2007:107-109,106-107.

[2]殷晓中.充液容器薄膜应力解法的探讨[J].镇江高专学报,2002,15(4):37-39.

[3]方斌.拉普拉斯方程推导的一种新方法[J].武当学刊(自然科学版),1996,16(3):73-81.

[4]董大勤.化工设备机械基础[M].北京:化学工业出版社,2002,16:504-505.

[5]董大勤.化工设备机械基础[M].北京:化学工业出版社,1994:195-197.

Study on the Teaching and Learning Method about Membrane Stress Calculation on A Cylindrical Container Full of Liquid*

SUQing,CAOYin-liang,LIQian-qing,ZHANGCheng-yuan,WANGGang

(College of Chemistry, Jilin University, Jilin Changchun 130012, China)

Micro balance equation and regional balance equation are two important equations for membrane stress calculation on thin-walled container. However, the membrane stress of thin-walled container full of liquid can not be calculated by directly applying two equations, due to that the fluid pressure with liquid depth has a linear change. A specific example was analyzed and discussed with students to make students deeply understand the nature of meridian membrane stress, cultivate students’ innovative thinking and imagination ability，and improve students’ ability to solve engineering problems with abstract mathematic knowledge.

hydrostatic pressure; membrane stress; cylindrical container; teaching and learning

国家自然科学基金国家基础科学人才培养基金(J1210011)；吉林大学青年教师教学能力发展项目(2015QNYB042)。

苏清(1980-)，女，副教授，主要从事本科生《化工设备机械基础》教学工作，主要研究方向为精细化学品及发光材料的合成与性能研究。

曹尹亮(1995-)，男，2013级高分子专业本科生，本文共同第一作者。

TQ051

A

1001-9677(2016)015-0163-03