竖直上抛运动的特征与解法例析

安徽省灵璧黄湾中学　华　峰

竖直上抛运动的特征与解法例析

安徽省灵璧黄湾中学华峰

在学习物体运动的过程中，我们经常会遇到竖直上抛运动问题，对于此类问题，我们不仅要弄清楚其特征，还要开动脑筋，拓展解题思路，灵活运用数学知识和物理规律，采用灵活多变的解题方法，使问题顺利得到解决。

一、竖直上抛运动的特征

将物体以某一初速度竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体所做的运动即为竖直上抛运动。其特征是：（1）初速度v0竖直向上；（2）加速度恒为重力加速度g；（3）具有往返性。所以上抛运动是初速度为v0、加速度为g的匀变速直线运动。

由于竖直上抛运动在上升阶段速率减小，在下落阶段速率增大，有些同学对上抛运动究竟是“加速运动”还是“减速运动”弄不清楚，会产生这样的疑问：竖直上抛运动既然是匀变速直线运动，那么究竟是速率增大的匀变速直线运动，还是速率减小的匀变速直线运动呢？之所以会出现这种思维障碍，究其原因是由于没有弄清楚匀变速直线运动的本质特征所致。

匀变速直线运动是加速度恒定的变速运动，即只要加速度的大小、方向保持不变即可。至于是什么样的变速没有限定，加速可以，减速也行，先减速后加速也可以，当然没有先加速后减速的匀变速直线运动。

此外，有些同学由于受到一些日常生活中特殊的匀变速直线运动的影响，对诸如汽车关闭油门后做匀减速直线运动直到停止，在减速过程中加速度是恒定的，会产生这样的疑问：为什么汽车在停止的瞬间不后退呢？原因在于汽车减速不同于上抛运动，汽车减速到末速度为零（即停止）的瞬间，滑动摩擦变为静摩擦，因为没有相对运动趋势，所以静摩擦力也变为零，因此汽车的加速度也就为零，使汽车处于平衡状态。而上抛运动物体上升到最高点的瞬间，虽然末速度为零，但加速度没有任何变化，所以变成反向加速运动因为上抛运动具有往返特征，过程较复杂，因而学习难度大，所以我们有必要对其进行较为深入的理论分析与全面研究。

二、竖直上抛运动的分段分析

1.上升阶段

竖直上抛运动在上升阶段是初速度为v0、加速度为g的匀减速直线运动，上升到最高点时末速度为零。若规定向上为正方向，则由速度公式vt=v0+at，得0=v0-gt，上升时间为。由位移公式x=v0，可得上升的最大高度也可由，得H

2.下落阶段

下落阶段物体做自由落体运动，所以vt=gt

图1

上抛物体回到抛出点时，速度大小等于初速度大小，方向与初速度方向相反。

三、竖直上抛运动的整体分析

1.在抛出点以上

上抛物体运动到抛出点以上某一位置A时，位移大小恒为h，但有向上通过A点和向下通过A点两种情况，如图2。

图2

由于两次经过A点位移不变，关于时间t的方程h=v0的解为t=

图3

2.在抛出点以下

做竖直上抛运动的物体，如果回到抛出点后继续向下运动，如图4。

图4

图5

到达某一点A时，位移为负，即-h=v0t

由物理意义可知t只有一解，速度-vA=v0-gt，vA=gt-v0，因vA＞0，方向向下，易得vA＞v0。

四、多种解法例析

1.利用方程求解

例1一物体在地面上50 m高处做竖直上抛运动，初速度为30 m/s，当它的位移大小是25 m时，求物体所经历的时间是多少。

解析以初速度方向为正方向，当位移为正时，即物体在抛出点以上，

由位移公式h=v0t-，得25=30t-×10t2，解得t1=1 s，t2=5 s。

由上述计算结果可知，t1是上抛物体从抛出点直接上升到A点（位移为25 m）的时间，t2是上升到最高点返回到A点（位移仍为25 m）的时间，t3是下落到B点（位移为-25 m）的时间。

2.利用合比定理巧求解

例2以初速度v0竖直上抛一小球，若不计空气阻力，在上升过程中，从抛出到小球动能减少一半所经过的时间是（）。

当位移为负时，

解析小球动能减少一半时，其上升高度为最大高度的一半。根据初速度为零的匀加速直线运动的相关规律，通过相同位移的时间关系，由运动的可逆性得。再根据合比定理可得），所以t1=）。故应选D

3.利用韦达定理巧求解

例3竖直上抛一物体，该物体两次通过空中某一点的时间为t1和t2，试求该点离地面的高度和抛出时的初速度。

常规解法设该点离地面的高度是h，初速度是v0。当物体第一次经过该点时有：

当物体经过最高点后返回通过该点时有：

即v0=

显然通过h高度时的t1与t2是这个方程的两个解，则有，即v0=，即h=

4.巧用极限法求解

例4在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0同地点竖直上抛另一物体B，若要使两个物体能在空中相碰，则两个物体抛出的时间间隔应满足什么条件？

解析对于此类问题常规的求解方法是“极限法”：若时间间隔Δt极短，则物体B先落地，物体A后落地，欲使物体A、B能在空中相碰，则最短的时间间隔应满足A与B能够同时落地，即；若时间间隔Δt极长，则物体A落地后，物体B还未抛出，欲使物体A、B能在空中相碰，则最长的时间间隔应满足物体A落地时物体B即抛出，即从而可解出Δt的范围

5.巧用不等式求解

例4的上述解法对同学们来说不仅不易理解，而且也不容易想到。

其实，大多数同学在处理此类相遇问题时，会根据位移相等列出下面的表达式：

式中t为物体A的运动时间，Δt为物体A、B抛出的时间间隔。绝大多数同学会因为式中含有两个未知数而无从下手。究其原因是上式仅仅利用了题中“相碰”这一条件，而未充分利用“在空中”这一条件。

若把“在空中”转化为数学语言，即以抛出点为位移起点，物体A的位移应为正值，则对物体A即有下面的不等式成立：

③式的物理意义很清晰，即物体A的运动时间不可能超过其从抛出到落地的总时间，也就是说②、③两式对于“在空中”这个条件是等效的。

例5甲物体从离地高度为h处自由落下，同时在它的正下方的地面上乙物体以速度v0竖直上抛，若要乙物体在下落过程中与甲相碰，求v0的取值范围。

解析本题可以采用“极限法”求解，如果大家有兴趣不妨试着做一做。下面采用不等式法求解。

或者说速度满足：-v0＜vt＜0③，

这里②、③两式是等价的。联立①、②两式或①、③两式都可以得到正确的结论，即

稍加变形，若要使得乙在上升过程中与甲相遇，则v0的范围又将如何？不难得出正确答案为

6.利用对称性求解

例6一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔为tA，两次经过一个较高点B的时间间隔为tB，求A、B之间的距离。

解析由竖直上抛运动的平移原理可知，两次经过A点的时间间隔为以vA竖直上抛的总时间。同理，两次经过B点的时间间隔为以vB竖直上抛的总时间。若设物体在A、B两点的速度分别为vA、vB，则有tA=

图6

设A、B间的距离为h，上抛物体从A运动到B做匀减速运动，由运动学位移公式=-2gh，得h=

通过对上述几例的分析，我们不难发现，竖直上抛运动问题的解法灵活性较大，方法也是多种多样的。只要我们开动脑筋，勇于探索，就一定可以找到简捷、巧妙的解题方法。◀