用基本不等式求最值为什么要“二定”

张　云

(江苏省华罗庚中学,213200)



○学习指导○

用基本不等式求最值为什么要“二定”

张云

(江苏省华罗庚中学,213200)

用基本不等式求最值是基本不等式的重要应用,也是高考的热点．基本不等式求最值要注意满足“一正二定三相等”这三个条件.其中，“二定”是三个条件中相当重要的条件,也是平时的考查点.由于学生对此较难理解,本文对此进行探索．

一、问题的提出

解法1∵x>0，

在课堂教学中,教师常常会给出上述解题过程，多数学生容易接受,但也有学生往往会提出如下解题思路:

所以当x=1,y取最小值2.

两种方法做的结果却不一样,学生百思不得其解.比较两种解法，为什么将表达式先加上1凑成根号下是乘积为定值．就可以求最值，难道解法2乘积不是定值就不能求最小值?对此，我们不妨从理论上加以探索．

二、解法探析

但解法2错误的根源是什么呢？我们再从理论上解决.先回顾函数最小值的定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：① 对于任意实数x∈I,都有f(x)≥M,② 存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么,我们称常数M 是函数y=f(x)的最小值．这说明最小值一定是具体数值,这就是基本不等式求最值中“二定”的本质.从数形结合的角度看，f(x)在区间I内点x0处取最小值f(x0)=M,实质上就是要求y=f(x)在区间I内图象恒位于常值函数y=M图象上方，且两者在x0∈I处图象重合.再看看学生的做法:

当x>0时,由基本不等式知

三、解题后的反思

我们总是责怪学生课堂听课效果差,殊不知是教师为了追求课堂的高效性少走弯路,对于基本不等式求最值的三个注意事项“一正二定三相等”,教师往往采用告诉式,这容易使学生听得云里雾里、似懂非懂，做练习时仍然犯上面的错误.再比如

例2设正数a,b满足a+b+3=ab,求a+b的最小值.

所以a+b=ab-3≥9-3-6(等号在a=b=3时取得)，则a+b的最小值为6.