一类圆的切线性质在圆锥曲线中的推广

重庆市第八中学　(400030)

李长江　王金山



一类圆的切线性质在圆锥曲线中的推广

重庆市第八中学(400030)

李长江王金山

在平面几何中,关于圆的切线有如下性质:

图1

如图1,AC,BD是半径为r的⊙O的一对互相垂直的直径,P是圆上异于A,B,C,D的任意一点,过P作圆的切线交AC,BD的延长线于G,H,过P分别作AC,BD的平行线交BD,AC于M,N.则

本文拟将上述结论推广到椭圆与双曲线中.

图2

图3

下面只给出定理1的证明,定理2的证明与定理1的方法相同,故不再赘述.

进一步思考,定理1、2是默认圆中的两条互相垂直的直径正巧位于坐标轴上时将其类比得到的结论.那么当两圆互相垂直的直径不在坐标轴上时,其结论类比过来,又是什么样子呢？

为了便于说明,由文[1]我们先给出如下定义和引理:

定义1经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.

定义2过平行于椭圆一条直径的弦的中点的直线和该直径叫做椭圆的一对共轭直径.

图4

在双曲线中也有类似的定义和结论.

定理3已知AC,BD是椭圆E的一对共轭直径,P为椭圆E上任意一点,过P作椭圆E的切线分别交AC、BD的延长线于J、I,过P分别作AC、BD的平行线分别交AC、BD于M、N.则

图5

类比到双曲线的情形,我们有如下结论.

图6

定理4已知AC,BD是双曲线E的一对共轭直径,P为双曲线E上异于A、C的任意一点,过P作双曲线E的切线分别交AC、BD于I、J,过M分别作AC、BD的平行线分别交AC、BD于M、N.则

(2) |OM|·|OI|=|OA|2,|ON|·|OJ|=|OB|2.

[1]唐秀颖.数学题解辞典(平面解析几何)[M].上海辞书出版社,1983.

[2]李世臣,苑卉.圆的切线性质在圆锥曲线上的推广[J].数学通报,2012,4.