给学生思开维启的钥匙
——《多边形的内角和》教学赏析
2016-08-18包晓燕
○包晓燕
给学生思开维启的钥匙
——《多边形的内角和》教学赏析
○包晓燕
●数学是思维的体操，数学课堂是促进学生思维发展的主阵地。特级教师严育洪老师的《多边形的内角和》一课，以问题为抓手，唤醒学生已有的知识经验，与学生一起探究、梳理、拓展，帮助学生打开思维之门。
《多边形的内角和》是“综合与实践”这一领域的内容，属于规律探索类课型。教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的过程与方法，积累数学活动经验，发展数学思维。因此，这需要教师给学生开启思维的钥匙。课上的时间是有限的，如何利用有限的时间让学生举一反三、灵活运用，以不变应万变呢？严育洪老师为我们做了很好的诠释。
一、唤醒：变开门见山为曲径通幽
1.出示三角尺。
师：三角尺有什么用？
生1：可以用来画三角形。
生2：可以用来测量三角形是不是直角三角形。
生3：还可以用相同的三角形拼出平行四边形、长方形、三角形。
师：三角尺是三角形的，这个三角形特殊吗？特殊在哪里？
生：有一个角是直角。
师：关于这个三角形你们还知道什么？
生：一个角是60°，一个角是30°。这个直角三角形的内角和是180°。
2.出示：
师：这个三角形特殊吗？它的内角和是多少度？
3.陆续出示：
师：这两个是一般三角形，它们的内角和是多少度？
赏析：严老师并没有直接出现“三角形的内角和是180°”，而是以一把生活中常见的三角尺“激疑”：三角尺有什么用？三角尺的形状有什么特殊？三角形的内角和是多少？而这一个个看似简单的问题，都与本课所学知识密切相关：“量”“拼”“算”，这是解决多边形内角和的具体方法；“从特殊到一般”，这是探索规律的思维方法；三角形的内角和是旧知，这是新知的生长点。
二、探究：化抽象笼统为抽丝剥茧
1.特殊四边形的内角和。
师：从三角形的内角和，你想到了什么？你觉得四边形的内角和是多少度？
生1：因为三角形的内角和是180°，我想180°除以3，每个角就是60°，四边形的内角和就是240°。
生2：我觉得可能是360°。
师：两位同学有不同的想法，那么我们就一起来研究四边形的内角和。同样，我们先从特殊四边形开始研究。（出示正方形）这个四边形的内角和是多少？由正方形你还能想到什么？长方形的内角和是多少度？
2.直角梯形的内角和。
出示：
师：这是一个直角梯形，另外两个角的度数可以知道吗？有量角器的可以用量角器量，没有量角器的可以用三角尺拼一拼。
（学生测量，交流展示。）
师：这个梯形的内角和是多少度？
生：90°+90°+120°+60°=360°。
师：来看第一种拼法，相当于把这个梯形分成了两个三角形（如下图）。
生：180°×2=360°。
师：同样，再看第二种拼法（如下图）。
师：360°+180°，怎么会多出来180°呢？
生：把它分成两个图形后，多出来了两个直角，所以要减去180°。
师：你说得对，多出来的两个直角不是内角，所以360°+180°-180°=360°。第三种拼法，也是把梯形分成了两个三角形。不同的分法都能得到内角和是360°，你觉得哪种方法简单呢？
生：分的时候要分成两个三角形，这样就比较简单。
师：就是说这条线段应该是连接两个顶点的线段。
3.一般四边形的内角和。
学生自己画，自己分，求出一般四边形的内角和。
赏析：在课堂中，教师是“引路人”，时刻伴在学生的左右给予必要的帮助。对于四边形内角和的研究，严老师采用从特殊到一般的方法，抽丝剥茧，层层深入。首先把目光聚焦在直角梯形上，打开学生的思维，用“量”“拼”“算”等多种方法寻求答案，方法各异，殊途同归。这样的设计让学生在体验的过程中不断提出问题、思考问题、解决问题，激活了学生的问题意识，使学生的思维一步步向预定目标迈进。
三、梳理：换纷繁复杂为清晰明了
师：我们知道了三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是不是720°呢？
师：你能不能自己画一个五边形，并想办法得到它的内角和呢？
（学生自由画，教师展示学生作品，点评。）
师：看来五边形的内角和不是720°，而是540°。
赏析：严老师的课堂是民主的，是容错的。同学们各抒己见，不管是对是错，只要想得有道理，就已经是开启了思维之门。学生猜“四边形的内角和就是240°”，教师设伏“五边形的内角和是720°”，这些都不是问题，只要寻找到正确的研究方向，自然会有收获。
师：由五边形继续往下研究，你知道六边形的内角和是多少度吗？
师：下面，我们一起来整理一下研究过的图形（如下图）。
赏析：当探索出四边形的内角和后，学生可以很自然地想要探索五边形、六边形的内角和，严老师给予学生时间和空间，让学生自主探索。当五边形、六边形的内角和也探索出后，严老师引导学生整理研究的成果。学生梳理的过程，是独立分析问题、解决问题的过程，也是培养他们创造力和思考能力的过程。
四、拓展：从点到为止到触类旁通
1.归纳概括。
师：继续往下研究，如果研究16边形，你觉得它的内角和是多少度？
生：16-2=14，14×180°。
师：你是怎么看出要16减2的？
（生答略。）
师：那么多边形的内角和怎么算？
生：多边形的内角和=（边数-2）×180°。
赏析：教学要沿着学生的思维轨迹自然行走，让学生在自由的空间里自发地学习。在整理完五边形、六边形的内角和后，严老师提出了“如果研究16边形，你觉得它的内角和是多少度”，这个问题不但具有挑战性，更具有跳跃性，然而学生在严老师的引导下，自主探究，打开思维之门，很快就找到了16边形的内角和。
2.回顾方法。
师：我们先从最简单的三边形开始研究，再研究复杂的四边形、五边形等，研究每一种图形的时候是先特殊后一般的顺序把多边形转化成三角形来研究。并且，在研究的过程中，我们不断排除错误的猜想，从而找到正确的答案。从简单的问题想起，有序思考，是探索规律的有效方法。
3.渗透延伸。
师：同学们，今天我们研究的是内角和，既然有内角，那有没有外角呢？外角和有没有规律呢？
赏析：一堂课的结束，并不意味着研究的结束，严老师教学的内容往往不是一堂课能够完成的，他总会把课堂上有疑惑的内容留给学生继续去研究，为学生思维的进一步发展提供了方向。
