浅谈运用类比思想解题的一些常用思路

◇ 江苏 徐维兰

浅谈运用类比思想解题的一些常用思路

◇ 江苏 徐维兰

在数学解题中类比思想是常用的解题方法之一.运用类比思想解决问题,不仅可以拓宽学生解题思路,使问题得以快速有效解决,而且可以发展学生思维,提高学生自主探索、分析和解决问题的能力.要想学生能够灵活运用类比思想,就要对教材中的知识点、概念、性质等十分熟悉,这样看到一个公式时能迅速联系类似的知识点,然后利用相关的知识点解题.因此,在平时数学解题教学中,教师要注意类比思想的有效渗透,帮助学生掌握解题技巧、提升解题能力.对此,笔者结合实例,就类比思想解题的一些常用思路进行分析,以供参考.

1 类比联想

类比联想,通俗说来,就是看到一种事物联想到另一种与其相关的事物,寻找二者相似或相通之处.通常情况下,类比联想可以分成3大类:概念类比联想、定理类比联想、公式类比联想.教师在课堂教学中可以启发学生思路,让学生学会发现题眼,灵活运用类比联想快速地解答相似问题.学生在利用类比思想解题时,既能够将所学知识系统化,又能培养归纳知识点和总结答题技巧的能力.

例1 若a、b、c、d∈R,并且a2＋b2＝1,c2＋d2＝1.求证:－1≤ac＋bd≤1.

看到条件a2＋b2＝1,c2＋d2＝1,联想公式sin2α＋cos2α＝1,可设

则ac＋bd＝cosacosβ＋sinasinβ＝cos(a－β).

因为|cos(a－β)|≤1,所以

2 类比归纳

在高中的数学教学中,归纳总结是重要的一个环节.教师引导学生全面、系统地归纳相似的知识或定理,有利于提高学生思维拓展能力.

例2 设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有2条直线互相平行,任意3条直线不经过同一点.若用f(n)来表示这n条直线交点的个数,则 f(4)＝________,当n＞4时,f(n)＝________.(用n表示)

图1

因为f(n)表示n条直线交点个数,若再增加一条直线,则这条直线与前n条直线都相交,则交点个数增加n个,故f(n＋1)＝f(n)＋n,且f(3)＝2,所以

累加得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1).

例3 设|an|是首项为1的正项数列,且(n＋ 1)2an＋1－na2＋an＋1×an＝0(n＝1,2,3,4,…),则它的通项公式是an＝________.

本题可将(n＋1)a2n＋1－na2＋an＋1·an＝0变形为[(n＋1)an＋1－nan](aa＋1＋an)＝0,由于an＋1＋an＞0,所以(n＋1)an＋1＝nan,即得.又a1＝1,所以

本题也可由不完全归纳法推测an,当n＝1时,由a1＝1,得.同理当当n＝3,a4＝.推测.由类比归纳可以验证此结论的正确性.

3 类比推理

类比推理,即通过对2个研究对象的对比,找出其相似之处,然后用其中一个研究对象的已知特征去推测另一研究对象的基本特征.类比推理是一种重要的类比思想,也是数学解题的常用思维方法之一.在数学解题中,类比2个不同研究对象时,推理出的共性越多,所得结论的准确性就越高.

例4 在平面几何中有勾股定理:“设△ABC的2边AB、AC互相垂直,则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的3个侧面△ABC、△ACD、△ADB两两相互垂直,则________.”

分析 关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住如下几何要素对应关系作对比:

多面体↔多边形;面↔边;体积↔面积;二面角↔平面角;面积↔线段长……

由此,可类比猜测本题的答案为

本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广,因此学生在平时的学习中要重视类比推理的应用,更要重视解题技巧的作用.

同理可证下例.

例5 (1)由“若a、b、c∈R,则(ab)·c＝a·(bc).”类比推出“若a、b、c为3个向量,则(a·b)·c＝a(b·c);

(2)“a、b为实数,若a2＋b2＝0,则a＝b＝0.”类比推出“z1、z2为复数,若z21＋z22＝0,则z1＝z2＝0”;

(3)“在平面内,过不在同一条直线上的3个点有且只有一个圆.”类比推出“在空间中,过不在同一个平面上的4个点有且只有一个球”.

上述3个推理中,结论正确的个数有( ).

A 1; B 2; C 3; D 0

(1)由向量的运算可知(a·b)·c与向量c共线的向量,而由向量的运算可知a(b·c)与向量a共线,因此错误.

(2)在复数集C中,若z1、z2∈C,z21＋z22＝0,则可能z1＝1且z2＝i.故错误.

(3)由圆的性质类比推理到球的性质,即“平面内不共线的3个点确定一个圆.”我们可类比推理出“空间不共面4个点确定一个球.”故正确.

故选A.

总之,巧用类比思想解题对于提高学生解题速度和效率有着至关重要的作用.在平时解题教学中,教师要注意类比思想的有效渗透,围绕教学目标,结合学生认知发展规律,紧扣教学内容,巧妙地借助类比思想进行解题,从而拓宽学生解题思维、培养学生思维灵活性和深刻性,提高学生的解题能力.

江苏省盐城市第一中学)