把握递推类型 速求通项公式

◇ 云南 王晓剑

把握递推类型 速求通项公式

◇ 云南 王晓剑

求递推数列通项公式问题是数列学习中的一个难点,此类问题类型多、解法灵活、技巧性强,是考查学生逻辑推理与化归转化能力的良好载体,也是近年来高考常考的内容.下面介绍高中阶段3种常见递推数列通项公式的求解方法,希望对读者能有所启发与帮助.

1 累加法

例1 已知数列{an}中,a1＝1,a2＝2,且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2,q≠0).(1)设bn＝an＋1－an(n∈N＋),证明{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.

(1)由已知条件an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2),得an＋1－an＝q(an－an－1),即

又b1＝a2－a1＝1,q≠0,所以{bn}是首项为1、公比为q的等比数列.

(2)由(1)得a2－a1＝1,a3－a2＝q,…,anan－1＝qn－2(n≥2).将以上各式相加,得

形如an＋1＝an＋f(n)型.我们也称这种类型为等差数列推广型.当f(n)为常数时,即为等差数列.当f(n)随n变化时,则其通项公式采用叠加法(或累加法)求解.

2 累乘法

例2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban－2n＝(b－1)Sn.

(1)证明:当b＝2时,{an－n·2n－1}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式.

由题意知,当b＝2时,a1＝2,又

式②－①得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1,即

1)当b＝2时,由式③知an＋1＝2an＋2n.于是

2)当b＝2时,由(1)知an－n·2n－1＝2n－1,即

当b≠2时,由式③得

综上所述,当b＝2时,an＝(n＋1)2n－1;当b≠2时

形如an＋1＝anf(n)型.我们也称这种类型为等比数列推广型.当f(n)为常数时,即为等比数列.当f(n)随n变化时,则其通项公式采用叠乘法(或累乘法)求解.

3 待定系数法

例3 已知数列{an}满足a1＝1,an＋1＝3an＋1.求{an}的通项公式.

设an＋1＋x＝3(an＋x),由an＋1＝3an＋1,得x＝1/2,所以an＋1＋1/2＝3(an＋1/2).

令bn＝an＋1/2,则bn＋1＝an＋1＋1/2,故bn＋1＝3bn,所以数列{bn}是以b1＝a1＋1/2＝3/2为首项、以q＝3为公比的等比数列,所以bn＝b1qn－1＝所以所以

形如an＋1＝pan＋q(p、q为非零常数且p≠1.若p＝1,即为类等差数列)型,可采用待定系数法将其构造为等差或等比数列求解.

由于递推数列是一种比较复杂的特殊数列,求通项公式有时也是非常困难的问题,这有待于我们在平时的解题中不断地探索和总结,提高我们分析问题、解决问题的能力.

云南省红河州泸西县泸源普通高级中学)