分析在高中数学解题中代换法的灵活运用

◇ 陕西 陈卫卫

分析在高中数学解题中代换法的灵活运用

◇ 陕西 陈卫卫

代换法,即换元法是高中数学常用的解题方法之一.通过代换将复杂的数学问题简单化,有利于学生对题目的了解,增强学生数学解题能力,培养学生的逻辑性和理性思考.但如何灵活地将代换法运用于高中数学解题之中,需要我们认真研究.

1 函数与三角的代换

三角代换广泛运用于函数最值问题的求解,将所求问题转化为y＝Asin(ωx＋φ)型值域问题,它使复杂的数学题简单化.

因为1－x2≥0,所以－1≤x≤1.

设x＝cosα,α∈[0,π],则有

因为α∈[0,π],所以α＋π/4∈[π/4,5π/4].又所以求出函数的值域为[－1,2].

2 二元与一元的代换

某些数学问题常涉及2个变量,解题中运用代换法,化二为一,可实现问题的简洁求解.

例2 函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).设A(x1, y1),B(x2,y2)是函数g(x)＝f(x)＋ax图象上任意不同的2点,线段AB的中点为C(x0,y0),直线AB的斜率为k.证明:k＞g′(x0).

设t＝x2/x1＞1,则只需证即证,其中t∈(1,＋∞).设

所以h(x)在(1,＋∞)上单调递增,h(x)＞h(1)＝0,所以成立,即k＞g′(x0)成立.

3 常量与变量的代换

有些数学题中的常量具有特殊性,暗示着某种巧妙的解题思路,并有寻求解题途径的导向功能,如能充分挖掘、巧妙转化,可以简化运算,优化解题过程.

4 部分与整体的代换

对于较复杂的函数,决定其性质的往往只是函数的一部分,因此可将问题其转化为对其局部的研究.

例4 (2016年北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx.曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.

(1)求a、b的值;

(2)求f(x)的单调区间.

(1)a＝2,b＝e,f(x)＝xe2－x＋ex.

(2)对f(x)求导得f′(x)＝e2－x－xe2－x＋e＝e2－x(1－x－ex－1),因为e2－x恒为正,所以f′(x)的正负由1－x－ex－1来决定,故可构造函数g(x)＝1－x－ex－1,将问题转化为函数g(x)的最值问题.

总而言之,在高中数学中运用代换法,有利于简化数学问题的求解过程,提升学生的解题能力.

陕西省延安市富县高级中学)