基于共轭理论的渐开线齿廓精确的设计方法

刘新宇

(上海汽车集团股份有限公司技术中心捷能公司，上海201804)



基于共轭理论的渐开线齿廓精确的设计方法

刘新宇

(上海汽车集团股份有限公司技术中心捷能公司，上海201804)

渐开线齿廓设计，一直采用理论的几何方法获得，由于它忽略了实际载荷的影响，齿轮齿廓往往偏离实际的动力学啮合轨迹。因此，它很难获得精确的传动和良好的噪音效果。根据齿轮传动的数学理论和齿轮动力学物理模型，提出了一种基于共轭传动理论的精确齿形设计方法。此法完全模拟实际载荷下的力学边界，通过计算齿轮副的共轭啮合轨迹线，获得最佳齿廓曲线，从而大大提高了啮合传动的精确性和平稳性，减少齿轮振动能量、获得良好的NVH性能。

齿廓啮合振动噪声变换矩阵共轭传递误差

0　引言

对于齿轮噪音，其产生的机理：由于齿轮制造误差、热处理不均匀变形、轮齿受力变形、壳体受力弹性位移以及轴系挠度变形等误差，造成齿廓啮合线偏离设计轨迹而产生动态的周期性的啮合干涉[1](图1)。所以，齿轮振动和噪音的表现形式在两方面：1)轮齿顶部和根部齿廓偏移，产生典型的齿顶与齿根啮入、啮出振动，噪音表现为声音低沉、易辨识；2)齿廓偏移造成啮合干涉出现中高频次摩擦，声音频率高，通常称之为齿轮啸叫，即gear whine[2]。

消除齿轮的振动和噪音，根本方法是减少齿面啮合干涉，避免产生高能量、高频率的摩擦噪音。正确无干涉的齿轮啮合如图2所示。在齿轮设计和制造领域里，为消除啮合干涉采取齿形修形： K线修形法确定渐开线齿廓的形状；或者根据经验公式：e=δi+xmax[3]确定。从解决方法来说，这种修形方法可以减少啮合干涉。但从理论上分析，它在齿廓上存在曲率干涉界限点[4]，无法消除渐开线曲率突变产生的啮合振动，设计很难获得精准的齿廓线，从而减小振动及噪音。而且需要经过多次修正，周期较长，对刀具损耗较高，增加成本。

图1　干涉啮合　　　　　图2　非干涉啮合

针对上述方法存在曲率干涉的局限性，根据渐开线的展成特性和齿轮副的啮合原理，运用数学方法，结合齿轮系力学物理模型，提出了一种精确齿廓设计，即齿廓共轭法。此法包含齿轮共轭啮合方程和力学物理模型两方面内容。

1　齿轮的数学模型：共轭齿廓啮合方程

针对传统修形方法的缺点，导入共轭渐开线的齿轮数学模型，引入啮合方程。图3有三个坐标系σ、σ(1)、σ(2)，其中σ为固定坐标系，σ(1)、σ(2)分别为齿轮1、2以各自旋转中心的转动坐标系。其中，齿廓Γ(1)在σ(1)的方程式[5]为：

r(1)=x1(u)i1+y1(u)r(1)j1

式中：u—参数变量。

图3　齿轮空间运动

r(2)=M21r(1)

(1)

φ(u，t)=nv(12)=0

(2)

式中：M21—由σ(1)到σ(2)的变换矩阵；n—啮合接触点渐开线曲线法矢；v(12)—啮合点处齿廓1与齿廓2的相对(切向)速度。

(3)

(4)

2　齿轮啮合的物理模型

齿面啮合过程中包含滚动和滑动两种运动[6]，滚动是齿轮传递扭矩的圆周运动；而滑动则是齿面间的附加阻力，它转变为热量、磨损、效率损失等。啮合方程(2)矢量积为零，其物理意义是啮合滑动摩擦功积分为零，即：

图4　平面渐开线啮合

根据物理学功能原理：如图4，当齿轮啮合过程中，齿廓接触法向应力与齿廓切向滑移保持正交，法向力在齿廓啮合轨迹方向做功为零(作用力与位移方向垂直)，这时振动最小，齿轮传动精确、平稳，噪音最小。但实际的齿轮制造，由于齿轮机床运动矢量误差、夹具工装定位误差、刀具轮廓误差、齿轮热处理变形误差、产品装配误差、以及承载条件下的系统变形等因素，造成了实际齿形与理论齿廓偏移，啮合干涉，出现振动和啮合噪音。

顾客互动指顾客和员工的交流在多大程度上是双向的、参与式的以及共同解决问题的。本研究采用Bonner[22]对顾客互动的测量量表，根据调研情境进行适当调整，包括双向性、参与和共同解决问题3方面的内容，共10个题项。如“我会向顾客提供很多反馈信息”(双向性)，“顾客和员工之间有着很多面对面的互动”(参与)，“解决方案是由顾客和员工共同开发制定的”(共同解决问题)。

3　平行轴齿轮副共轭齿廓的计算

图5

我们以平面齿轮副为例，在不同的啮合条件下，研究啮合方程结果的敏感因素。如图5所示的一对齿轮，啮合节点为固定坐标系σ原点，回转中心O1、O2分别为运动坐标系σ1、σ2的原点。根据传动理论，确定：

ω(1)=ω1k1

ω(2)=-ω2k2=-ω2k1

ω(12)=(ω1+ω2)k1

ξ=O1O2=aj=常量

v(12)=[ω2(acosφ1-y1)-ω1y1]i1+[ω1x1+ω2(x1-asinφ1)]j1

(5)

(6)

假设渐开线齿廓Γ(1)在坐标系σ(1)的方程为r(1)=x1(u)i1+y1(u)j1，两坐标系中心距a=r1+r2，根据运动坐标系平移转换，从σ(1)到σ(2)的变换矩阵为：

(7)

通过方程式Γ(1)代入(5)，可以求出：

x2=x1cos(φ1+φ2)-y1sin(φ1+φ2)+asinφ2

y2=x1sin(φ1+φ2)+y1cos(φ1+φ2)-acosφ2

所以，共轭齿廓Γ(2)的方程为：

r(2)=[x1cos(φ1+φ2)-y1sin(φ1+φ2)+→←asinφ2]i1+[xsin(φ1+φ2)+y1cos(φ1+φ2)-→

(8)

从式(8)知道，中心距对共轭齿廓Γ(2)的影响较为敏感。当然，还可以考虑齿形刚度变形、热处理、制造误差等[7]，将这些实际过程中的因素考虑进来，先确定齿轮副其中一个齿廓的形状，然后利用共轭齿轮的啮合方程求解出另外一个的齿轮的精确齿廓线。

4　案例分析与方法验证

解决案例：某车型搭载6速手动变速箱，2档加速齿轮啸叫，其在不同转速下，其噪音值结果如图6曲线。

图6

通过对原始齿轮参数的研究，发现齿轮的轮廓形状参数只是根据理想啮合状态设计的，它没有考虑承载条件下的中心距位移偏差，齿形线不是共轭齿廓(此案例轮齿刚度、热处理误差参数非敏感因素)，所以在传递扭矩时出现啸叫。为此，通过CAE分析各载荷下的中心距a的位移变化如表1所示。最后，选取啸叫最明显的70%～80%Tmax工况的位移代入式(8)，求解共轭齿廓，具体形状如图7。

表1

LoadCasesCAE系统变形/μm100%Tmax23.790%Tmax21.380%Tmax18.970%Tmax16.560%Tmax14.050%Tmax11.640%Tmax9.2

图7　主动齿廓形状

由图6可以看出，原始齿廓在发动机转速①1 300 rpm、②2 000 rpm、③2 600 rpm噪音峰值非常大。而共轭齿廓与之原始齿形对比，不难发现：通过共轭法，可以改善AB、BC、CD段的齿形，使渐开线更平顺、光滑，曲率变化减小，压力角变小。这样齿轮啮合干涉减小，传动更精确、平稳，齿面接触应力下降，振动能量变小。

我们进一步将共轭精确齿廓导入齿轮动力学模型用MASTA软件求解二档的传递误差TE[8]，接触应力和壳体(轴承座处)振动进行CAE分析，优化效果明显，与之前的分析趋势一致，详见图8。实车噪音评估，主观感受二档噪音明显降低,啮合声音柔和、平顺，驾乘人员无抱怨；客观测试数据声压值降低8～12 dB，见图6。

图8

5　分析结论

从上面的计算结果来看，对于齿轮设计，中心距对齿廓轮廓的影响显而易见，它决定了齿轮齿廓线的实际有效啮合区域和齿轮副的啮合接触线。由此，得出如下结论：

1)齿廓设计是影响和决定齿轮噪音、振动的主要因素，是改善变速箱振动的主要方向，也是采取TPA分析法降低汽车车内噪音的重要、关键路径[9-10]。

2)齿轮啮合模型是共轭齿廓设计的基础理论，利用共轭方程可以求解出更精确齿廓形状，获得动态啮合低振动、低噪音NVH性能。

3)共轭齿廓设计，必须建立齿轮动力学模型，通过CAE计算齿轮刚度、轴系及壳体的动力学系统变形以及制造误差，作为齿轮啮合输入的基本变量，才能获得精确的齿轮副齿廓形状。

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[7]李润芳.齿轮传动的刚度分析和修形方法[M].重庆大学出版社，1998.

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The accurate design of involute gear profile based on conjugation theory

LIU Xinyu

Traditionally, the design of involute gear profile was done by theoretical geometry method. Such method ignores the influence of actual load, and results in the gear profile deflecting from the actual dynamic meshing path. Therefore, this kind of design can hardly achieve accurate transmission and is noisy. In this study, on the basis of mathematical theories and dynamic models, we put forward a method to accurately design the gear profile based on conjugation theory. By simulating the load boundary and calculating the conjugate meshing path of the gear pair, we obtained the optimum gear profile. This method greatly improved the accuracy and stability of gear drive, reduced vibration energy of the gear, and achieved excellent NVH. This method has been validated in production, and is widely applied in the design of gears.

gear profile，mesh，vibration noise，transformation matrix，conjugate，transmission error

TH132.41

A

1002-6886(2016)04-0070-04

刘新宇(1976-)，男，湖南大学本科毕业，工程师，研究方向为汽车变速箱的研发设计。

2016-03-09