二阶输出反馈滑模极值搜索控制方法

2016-08-15左斌,李静,张雷

系统工程与电子技术 2016年8期

左　斌, 李　静, 张　雷

(1. 北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院, 北京 100191; 2. 海军航空工程学院战略导弹工程系,山东烟台 264001; 3. 海军航空工程学院研究生管理大队, 山东烟台 264001)

二阶输出反馈滑模极值搜索控制方法

左斌1, 李静2, 张雷3

针对一类单输入单输出(single-input-single-output,SISO)非线性极值系统的控制问题,提出了一种二阶输出反馈滑模极值搜索控制方法。考虑到此系统的状态量不可测,利用斜坡函数作为输出量的参考跟踪信号,以系统的输出跟踪误差及其微分信号构建切换函数,设计出二阶滑模极值搜索控制律。稳定性分析证明了在任意初始条件下,该方法可使系统的输出量全局收敛至其期望极值的任意小邻域内且所有状态量均是一致范数有界。仿真结果验证了该方法的有效性。

非线性极值系统; 输出反馈; 极值搜索控制; 二阶滑模控制

0　引　言

在许多的实际系统中,系统的参考输入量与输出量之间会存在一定的极值关系,但由于系统可能存在未建模动态、参数时变、外界干扰等因素的影响,导致这种极值关系是部分已知或者是未知的。然而,极值搜索控制方法[1-2]的出现解决了此类具有不确定性的非线性极值系统的控制问题。目前,极值搜索控制方法被广泛地应用到光伏系统功率转换极值化控制[3-4]、能量电池的最大功率点跟踪控制[5]、多关节鱼类机器人控制[6]、FTU(Frascati Tokamak Upgrade)的射频加热最优化控制[7]、微小型机电系统(micro-electromechanical systems,MEMS)振动陀螺仪模式匹配自动控制[8]、视觉放大器控制系统设计[9]等方面。

目前,所有的极值搜索控制方法[10-14]都是基于状态反馈方式进行设计的,而对于状态量不易测量或者不可测量的非线性极值系统而言,现有的极值搜索控制方法将无法直接应用。为了在不增加控制系统设计难度的情况下,确保实现对被控对象的极值控制,本文针对状态不可测的单输入单输出(single-input-single-output,SISO)非线性极值系统,提出了一种基于输出反馈的二阶滑模极值搜索控制方法。该方法不要求被控对象的状态量可测,仅利用斜坡函数作为输出量的参考跟踪信号,以系统的输出跟踪误差及其微分信号构建切换函数,设计系统的滑模极值搜索控制律,不仅可以实现对被控对象的极值控制,更可以提高控制方法的鲁棒性。稳定性分析证明了无论在任何初始条件下,二阶输出反馈滑模极值搜索控制方法都可使系统的输出量全局收敛至其期望极值的任意小邻域内且所有状态量均是一致范数有界。

1　问题阐述

SISO非线性极值系统为

(1)

假设 1针对SISO非线性极值系统式(1),存在控制律u使得状态量x1,x2以及输出量y均稳定且有界。

假设 2在SISO非线性极值系统式(1)中,光滑函数g(x1,x2)存在非零下界,即

式中,G为下界值。

式中

控制目标:针对SISO非线性极值系统式(1),设计一种基于输出反馈的二阶滑模极值搜索控制方法,使得闭环控制系统稳定,且系统的状态量和输出量均一致范数有界,输出量y全局收敛至极大值y*的有界邻域内。

2　二阶输出反馈滑模极值搜索控制方法设计

定义e为输出量y的跟踪误差,其具体形式为

(2)

式中,yr为输出量的参考信号,不失一般性,可定义其为斜坡函数,即

(3)

式中,kr>0为设计参数;yr的初值为yr(0)=yr0。

对跟踪误差e求取一阶微分,并将式(1)、式(3)代入,可得

(4)

式中

同时,对跟踪误差e求取二阶微分,可得

(5)

式中

(6)

(7)

(8)

(9)

评注 1由于函数h是关于状态量x1的光滑极值函数,且Γ0(x1,x2)，f(x1,x2)和Γ2(x1,x2)为关于状态量x1和x2的局部Lipschitz连续函数,根据Lipschitz函数的定义可知,假设4可以得到满足。

根据式(6)和式(8),可得

(10)

根据假设2和假设3,对于∀x1∉DΔ,可得

(11)

针对SISO非线性极值系统(1),设计基于输出反馈的二阶滑模极值搜索控制律u为

(12)

式中,Σ为切换函数,如式(13)所示;ρ为调节函数,如式(14)所示;sgn(·)表示符号函数;ε>0为设计常数。

切换函数Σ设计为

(13)

式中,λ>0为设计常数。

调节函数ρ设计为

(14)

式中,β>0为衰减指数;δ>0为设计的任意小常数。

评注 2虽然在K∞函数φ1，φ2，φ3，φ4，φ5和φ6中涉及到状态量x1和x2,但是基于被控对象式 (1),应用所设计的控制律u式(12)和范数观测器,可以在无需状态量x1和x2可测的情况下,实现函数φ1，φ2，φ3，φ4，φ5和φ6。

3　控制系统的稳定性分析

针对SISO非线性极值系统式(1),当采取如式(12)～式(14)所示的控制律u时,构成的闭环控制系统框图如图1所示。

图1　SISO非线性极值搜索控制系统框图

定理 1针对SISO非线性极值系统式(1),采用控制律u如式(12)～式(14)所示,那么在有限的时间内,系统的状态量、输出量和切换函数信号都不会出现发散现象,且切换函数Σ会运动到滑模面kε,即Σ(t)=kε,其中k为正整数。

证明设计如下的积分型函数S1(Σ)和S2(Σ):

当Σ(t)≥0时,设计S1(Σ)为

(15)

当Σ(t)<0时,设计S1(Σ)为

(16)

同时,设计S2(Σ)为

(17)

函数S1(Σ)和S2(Σ)的曲线如图2所示。

由图2可知,函数S1(Σ)和S2(Σ)始终满足S1(Σ)≥0，S2(Σ)≥0,而且它们关于零点都具有对称性,在此主要对式(15)和式(17)进行分析。

对S1(Σ)和S2(Σ)分别求取一阶微分,并代入式(4)、式(5)、式(12)、式(13)和式(14),可得

图2　函数S1(Σ)和S2(Σ)的曲线图

(18)

(19)

当sgn(Γ3)<0时,考虑到λ>0、调节函数ρ≥0和-|Γ2|≤-kG,并将式(7)、式(9)、式(10)、式(14)代入式(18),可得

(20)

当sgn(Γ3)>0时,存在

(21)

由于切换函数Σ是连续函数,而结论“当t∈[t3,t1)时,Σ(t)=kΣε”与前提假设“在时刻t1∈[0,∞)时,切换函数Σ(t)会出现发散现象”是相互矛盾的。因此该假设不成立,Σ(t)，e(t)和y(t)在有限时间内都不会出现发散现象。

(22)

定义如下的Lyapunov函数:

(23)

对式(23)求取一阶微分,并代入式(4)、式(5)和式(13),可得

(24)

(25)

(26)

证毕

证明(1) 采用反证法,证明状态量x1将在有限时间内全局收敛至邻域DΔ内。

显然,结论“当时间t足够大时,状态量x1会进入邻域DΔ内”与前提假设“状态量x1在所有时间内都不能进入邻域DΔ内”是相互矛盾的。因此,状态量x1必将在有限时间内全局收敛至邻域DΔ内,输出量y也将趋于极大值y*的很小邻域内。

(2) 证明输出量y在极大值y*附近的振荡幅值是关于参数ε2的无穷小量。

针对输出量y在极大值y*附近的振荡问题,分两种情况进行讨论:情况1，状态量x1一直在邻域DΔ内进行振荡运动;情况2，状态量x1的振荡运动会逃出邻域DΔ,然后再返回进入邻域DΔ内。

情况 2如果状态量x1的振荡运动会逃出邻域DΔ,然后再返回进入邻域DΔ内,那么就需要证明输出量y在此以外的振荡范围也是关于参数ε2的无穷小量。

由于参考轨迹yr是严格递增的,且输出量y存在极大值y*,那么一定存在时间t*>0,使得sgn(e)=-1。由切换函数Σ的定义式(13),可以推导出

(27)

假设当时刻t=t1(t1>t*)时,状态量x1从邻域DΔ内运动到其边缘处。对于∀t>t1,存在

(28)

(29)

将式(28)与式(29)相减,可得

(30)

求解微分方程式(30),可得

(31)

由式(31),可得

(32)

设定t2(t2>t1>t*)为切换函数Σ达到下一个滑模面的时刻,t3(t3>t1>t*)为切换函数Σ从邻域DΔ外部再次返回邻域DΔ边缘的时刻。

(1) 如果t3>t2>t*,则可将时间分为两个阶段t∈[t1,t2)和t∈[t2,t3]。

根据式(4)、式(5)、式(12)、式(13)和式(14),可得

(33)

式中,t*可以适当大,使得|y|exp(-βt)→0。

由于切换函数|Σ|是递增函数,对于∀t∈[t1,t2),存在

(34)

综合t∈[t1,t2)和t∈[t2,t3]的分析情况,可以得到对于∀t∈[t1,t3],|y(t)-y(t1)|=O(ε2)。

(2) 如果t2≥t3>t*,分析输出量y从t1运动到t3的情况。由于此时切换函数Σ不处于滑模面上,那么对于∀t∈[t1,t3],输出量y的运动情况可以同比于式(1)中t∈[t1,t2)的情况,因而,可知此时|y(t)-y(t1)|=O(ε2)。

证毕

4　仿真分析

考虑如下的SISO非线性极值系统:

(35)

式中,x1∈R和x2∈R为系统的状态量;u∈R和y∈R分别为系统的输入量和输出量。此非线性极值系统模型源于汽车的ABS控制系统[16],当x1=2时,输出量y存在极大值y*=2.5。

图3　状态量x1的仿真结果(本文方法)

图4　状态量x2的仿真结果(本文方法)

图5　输出量y的仿真结果(本文方法)

图6　控制量u的仿真结果(本文方法)

采用文献[16]的方法,选取参数C=2、σ=0.5t,在相同的初始条件下,得到仿真结果分别如图7～图10所示。

图7　状态量x1的仿真结果(文献[16]方法)

图8　状态量x2的仿真结果(文献[16]方法)

图9　输出量y的仿真结果(文献[16]方法)

图10　控制量u的仿真结果(文献[16]方法)

图11　状态量x1的仿真结果

如图11和图12所示,虽然,被控对象(35)受到各种干扰,但在原有控制器的作用下,输出量y仍然能够较快速度的收敛至极大值y*的有界邻域内,由此说明本文方法确实具有很好的鲁棒性。

图12　输出量y的仿真结果

5　结　论

针对SISO非线性极值系统,当状态量不具备可测性时,提出了一种基于输出反馈的二阶滑模极值搜索控制方法。该方法利用斜坡函数作为输出量的参考跟踪信号,以跟踪误差及其微分信号设计切换函数,并构建相应的周期滑模面,从而确保切换函数在任何时刻都可以全局收敛至滑模面上,提升了控制方法的鲁棒性。该方法属于一种在线反馈控制方法,在许多状态量不易测量或者不可测量的极值系统中有着广泛应用前景。

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Output-feedback extremum seeking control method with second-order sliding mode

ZUO Bin1, LI Jing2, ZHANG Lei3

(1. School of Instrument Science and Opto-Electronics Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;2. Department of Strategic Missile Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China;3. Graduate Students’ Brigade, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)

A output-feedback extremum seeking control method with second-order sliding mode is proposed for a class of single-input-single-output (SISO) nonlinear extremum systems. Considering the system’s states are unmeasurable, the control method uses a simple ramp time function as the reference signal of the system’s output, constructs the sliding mode manifold by using the output tracking error and its derivative, and designs the extremum seeking control law with second-order sliding mode. The stability analysis shows that a nonlinear extremum system with the proposed control method is possible to achieve an arbitrarily small neighborhood of the desired optimal point under all initial conditions, and all the states in the closed-loop system remain uniformly bounded. Simulation results are presented to illustrate the good performance of the proposed control method.

nonlinear extremum system; output-feedback; extremum seeking control; second-order sliding mode control

2015-04-04；

2015-07-01；网络优先出版日期：2015-12-29。

国家自然科学基金(60674090)；中国博士后科学基金(2013M542480)资助课题

TP 273.23

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.27

左斌(1979-),男,助理研究员,博士,主要研究方向为非线性控制、智能控制。

E-mail:zuobin97117@163.com

李静(1982-),男,讲师,博士,主要研究方向为非线性控制、迭代学习控制。

E-mail:lijing7292013@163.com

张雷(1988-),男,博士研究生,主要研究方向为非线性控制、极值搜索控制。

E-mail:zhanglei090@aliyun.com