不确定参数快估反演自适应最优L2增益控制

2016-08-15谷志锋朱长青邵天章王文婷

系统工程与电子技术 2016年8期

关键词：将式励磁增益

谷志锋, 朱长青, 邵天章, 王文婷

(军械工程学院车辆与电气工程学院, 河北石家庄 050003)

不确定参数快估反演自适应最优L2增益控制

谷志锋, 朱长青, 邵天章, 王文婷

(军械工程学院车辆与电气工程学院, 河北石家庄 050003)

为了加快参数自适应律微分方程求解速度和状态变量的稳定收敛速度,通过改进常规反演自适应L2增益控制算法和引入线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI),实现了参数自适应律微分方程只需一步积分运算即可求解,简化了不确定参数自适应律计算求解,并保证了L2增益系数最小,给出了不确定参数快估反演自适应最优L2增益控制(rapid back-stepping adaptive optimalL2control, OP-L2-RBAC)的通式。军用电站谐波励磁系统的控制仿真结果表明,相对于传统反演自适应L2增益控制,该方法可加强军用电站励磁系统的动态稳定性。

反演自适应L2增益控制; 自适应最优L2增益控制; 快速最优L2增益控制; 军用电站; 改进反演控制

0　引　言

基于反演设计的非线性自适应L2增益控制(nonlinear adaptiveL2-gain control,L2-NAC)方法不仅可以有效处理不满足匹配条件的参数不确定性问题,还可以保证干扰至控制输出的增益小于设定值,实现系统的鲁棒稳定,因此,在励磁控制[1-3]、柔性交流输电[4-5]、交直流互联系统控制[6-7]、高速飞行器[8-9]、移动机器人[10]等众多领域,反演自适应L2-NAC有着广泛的应用。

文献[2-5]在进行反演L2-NAC 设计过程中,依据一种特殊的不等式关系实现了控制系统的L2增益控制;文献[6-10]采用的反演L2-NAC方法通常要求未建模动态、不确定非线性部分满足一定的不等式关系;文献[11-14]介绍的反演L2-NAC方法通常需要外部扰动、不确定项的上界或上界函数已知;文献[15-18]中的反演L2-NAC方法克服了过参数的问题,但同样要求未建模动态、不确定项以及外部干扰满足一定的不等式关系或上界已知,另外,在反演设计过程中,由于虚拟函数的每一步设计都引入了不确定参数估计值[19-20],因此,最终导致参数自适应律微分方程的求解运算较慢。另外,上述反演L2-NAC均不具备最优控制功能。文献[2]提出一种具有状态参数最优约束的反演自适应控制方法,并将该方法应用到了军用电站励磁控制中,在实现参数自适应、二次性能指标最优的同时可以保证干扰至功角、转速等状态变量的动态积分最小,但该方法不具备最优L2增益干扰抑制功能,同时该方法与以往L2-NAC相似,在每一次虚拟函数设计时都引入了不确定参数估计值,导致参数自适应律求解运算较慢。

为此,本文提出一种不确定参数快估反演自适应最优L2增益控制(rapid back-stepping adaptive optimalL2control,OP-L2-RBAC)方法。OP-L2-RBAC对外部干扰、不确定部分的结构和上界没有要求,只要求外部干扰为L2空间能量有限的信号,因此适用范围较广,同时该方法对文献[2]的计算方法进行了改进,使得参数自适应律在仿真过程中只需直接求解积分即可求解,因此计算速度较快。军用电站励磁控制仿真结果证明了OP-L2-RBAC的有效性和优越性。

1　反演自适应最优L2增益控制原理

1.1问题描述

考虑以下具有外部干扰输入和不确定参数的非线性系统:

(1.1)

(1.2)

(1.i)

(1.n)

(2)

式中,y为评价信号。

1.2反演自适应最优L2增益控制实现

步骤 1取e1=x1,由式(1.1)得

(3)

(4)

式中,控制系数m1=f1(|e1|)+c1,f1(|e1|)为关于e1的K类函数, c1>0。

将式(4)代入式(3)得

(5)

由式(1.2)和式(4)得

(6)

步骤 2取Lyapunov函数:

(7)

对式(7)沿式(3)、式(6)求导得

(8)

(9)

式中,控制系数m2=f2(|e2|)+c2,f2(|e2|)为关于e2的K类函数, c2>0。

将式(9)代入式(8)得

(10)

将式(9)代入式(6)得

(11)

步骤 i采用上述相同的计算方法得

(12)

(13)

(14)

式中,控制系数mi=fi(|ei|)+ci,fi(|ei|)为关于ei的K类函数,ci>0。

步骤n取全系统的Lyapunov函数:

(15)

Vn求导得

(16)

将式(1.n)、式(13)代入式(16)得

(17)

(18)

(19)

将式(18)和式(19)代入式(17)得

(20)

采用以上Back-stepping方法可得误差系统:

(21.1)

(21.i)

(21.n)

其中

步骤 n+1式(21)通过直接反馈线性化得

(22.1)

(22.2)

(22.n)

或

(23)

当取y=CZ,依据线性H∞控制相关知识,对于式(23)当反馈控制律v能够使得不等式

成立,因此,当将σ0γ1整体看作γ时,可见采用反馈控制律v、控制律(18)及参数自适应律(19)可实现系统(1)的非线性自适应最优L2干扰抑制控制。

如果系统(23)的控制律v可求解,则代入式(24)可得uf1的值。将uf1代入式(18)可得控制律u的值。

(24)

控制律v的求解方法见下面的定理1。

定理 1对应系统(23)性能指标为

的最优L2增益干扰抑制反馈控制v的解为

v=WP-1Z

(26)

式中,W和P为以下LMI的解:

Minλ

(27)

(28)

P>0

(29)

(30)

(31.1)

(31.2)

取反馈控制律v=KZ时,代入式(31)得

(32.1)

(32.2)

当系统(32)渐近稳定且满足H∞<γ时,不等式(33)存在解K和X1。

(33)

式中,X1为正定对称矩阵。

当式(33)左乘和右乘diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},取X=γX1,得

(34)

式(34)是有关K和X的非线性不等式。式(34)左乘和右乘diag{X-1,I,I}得

(35)

式中,P=X-1;W=KP。

式(35)为有关W和P的线性矩阵不等式,利用Matlab线性矩阵不等求解命令Mincx可得最小γ。此时的K=WP-1。控制律为v=KZ=WP-1Z。

证毕

上述式(3)～式(35)的计算过程中,综合采用了back-stepping和线性H∞控制方法,并在设计过程中省略了每次虚拟函数设计时都要引入参数自适应律的不足,具有计算速度快的优点。该方法即为本文新出的OP-L2-RBAC。

评价 1当采用控制律式(18)和参数自适应律式(19)时,由系统(1)可得闭环误差控制系统(21)。系统(21)到系统(23)的变换是直接反馈等价变换,因此,在控制律式(18)和参数自适应律式(19)作用下,系统(23)与系统(1)是等价的。

评价 2由L2控制定义可知,式(26)～式(29)得到的控制律v可以保证系统(23)渐近稳定,由于系统(23)与系统(1)是等价的,所以由控制律v、式(18)和式(19)可以保证系统(1)渐近稳定。

评价 3在OP-L2-RBAC中,选用

而非

作为性能指标,可以在实现系统(1)渐近稳定的同时,对控制输入v进行约束,防止v的波动过大。

评价 4OP-L2-RBAC在保证系统稳定和参数自适应的同时,还可以实现状态参数的最优控制和L2增益最优干扰抑制,克服了传统L2增益控制缺乏最优控制的不足。

2　谐波励磁系统的反演自适应最优L2增益控制

(36.1)

(36.2)

(36.3)

式中

当引入预反馈u时,由式(32)可得

(37.1)

(37.2)

(37.3)

y=[q1x1q2x2]T

(37.4)

式(37.2)中,θ=D/M为不确定系数。

(38)

式中,m1=f1(|e1|)+c1,f1(|e1|)为关于e1的K类函数, c1>0。

(39)

(40)

(41)

式中,m2=f2(|e2|)+c2,f2(|e2|)为关于e2的K类函数, c2>0。

将式(41)代入式(39)、式(40)得

(42)

(43)

由式(41)得

(44)

(45)

将式(44)代入式(45),分别得以下控制律(46)和参数自适应律(47):

(46)

(47)

将式(46)、式(47)和式(44)代入式(45)得

(48)

由以上计算可得闭环误差系统:

(48.1)

(48.2)

(48.3)

其中

采用直接反馈线性化,系统(48)可转换为

(49.1)

(49.2)

(49.3)

其中

(50.1)

(50.2)

(50.3)

系统(49)可以表示为

(51.1)

(51.2)

式中

由OP-L2-RBAC计算原理可知,当系统(49)的性能指标为

时,采用控制律(49)不仅可以实现系统的渐进稳定,还能够实现干扰抑制系数γ1最小。

(52)

式中,W,P的值可采用求解LMI不等式(27)～式(29)的方式求解。

成立,其中γ=σ0γ1,即实现干扰对功角变化和转速变化的影响最小。因此,OP-L2-RBAC既能够保证系统稳定和实现外部干扰抑制、不确定参数自适应,还具有最优控制功能。

评价 6当D12=[0001]T时,由于满足

所以OP-L2-RBAC可以防止控制输入剧烈变化。

3　仿真结果与分析

采用PID控制时,仿真结果分别如图1所示。

图1　采用PID控制时的状态及控制变化曲线

采用常规L2-NAC时,仿真参数为:f1(|e1|)=f2(|e2|)=f3(|e3|)=0,c1=5,c2=2,c3=9,Mh=1.4,q1=0.4,q2=0.6,γ=0.5,ρ=1,ε1和ε2均为白噪声(噪声功率分别为0.2和0.3)。仿真结果如图2所示。

图2　采用L2-NAC控制时的状态及控制变化曲线

图3　采用OP-L2-RBAC时的状态及控制变化曲线

4　结　论

本文针对一类含干扰输入的严参数反馈非线性不确定系统,提出了一种OP-L2-RBAC的L2增益干扰抑制的新方法, 并给出了计算通式。OP-L2-RBAC可以实现参数自适应律通过积分运算直接求解,简化了计算,提高了L2-NAC 运算速度;同时由于无需知道外部干扰的上界和满足的不等式,因此,具有通用性强的特点;通过引入K类函数,使得非线性系统的状态变量能够快速恢复稳定,提高了非线性不确定系统的稳定控制能力。军用电站谐波励磁系统的OP-L2-RBAC仿真结果证明了该方法的有效性和优点,为提高军用电站励磁系统的稳定控制能力提供了一种新的方法。

[1] Hao J, Chen C, Shi L B, et al. Nonlinear decentralized disturbance attenuation excitation control for power systems with nonlinear loads based on the Hamiltonian theory[J].IEEETrans.onEnergyConversion, 2007,22(2): 316-324.

[2] Gu Z F, Zhu C Q, Shao T Z, et al. Robust adaptive control for the excitation system based on total-state-parameter optimum control[J].ControlTheory&Applications, 2013,30(7):856-862 (谷志锋,朱长青,邵天章,等.全状态参数最优控制的鲁棒自适应励磁控制[J].控制理论与应用,2013,30(7):856-862.)

[3] Wang K, Xin H, Gan D Q, et al. Non-linear robust adaptive excitation controller design in power systems based on a new back-stepping method[J].IETControlTheory&Applications, 2010,4(12):2947-2957.

[4] Hassan H A,Rao M. Novel robust adaptive controller based on non-quadratic Lyapunov functions for FACTS[C]∥Proc.ofthe8thIEEInternationalConferenceonACandDCPowerTransmission, 2006: 261-265.

[5] Mei S, Guan T, Lu Q, et al. Nonlinear disturbance attenuation control of static phase shifter in sense ofL2-gain[J].EuropeanTrans.onElectricalPower, 2003,13(2): 113-118.

[6] Fu J, Zhao J. Nonlinear robust control for parallel AC/DC transmission systems: a new adaptive back-stepping approach[J].CyberneticsandSystems, 2006,37(4):347-359.

[7] Murat K, Gokan P. Robust adaptive control of pulse-width modulated rectifiers based on adaptive super-twisting sliding-mode and state feedback controllers[J].ElectricPowerComponentsandSystems, 2015,43(11): 1289-1296.

[8] Ashfao A M,Wang D B. Modeling and backstepping based nonlinear control strategy for a 6 DOF quadrotor helicopter[J].ChineseJournalofAeronautics, 2008,21(3):261-268.

[9] Li Z J, Ge S S. Adaptive robust controls of biped robots[J].IETControlTheory&Applications, 2013,7(2):161-175.

[10] Sun H B, Li S H, Yang J, et al. Non-linear disturbance observer-based back-stepping control for airbreathing hypersonic vehicles with mismatched disturbances[J].IETControlTheory&Applications, 2014,8(17):1852-1865.

[11] Queiroz K, Araujo A, Dias S. Design and stability analysis of a variable structure adaptive backstepping controller[J].AsianJournalofControl, 2012, 14(3): 641-651.

[12] Wang J H, Hu J B. Robust adaptive control for uncertain nonlinear systems with unknown control directions and actuator nonlinearity[J].JournalofControlTheoryandApplication, 2012,29(3):375-380.

[13] Anil K Y, Prerna G. Robust adaptive speed control of uncertain hybrid electric vehicle using electronic throttle control with varying road grade[J].NonlinearDynamics, 2013,76(1):305-321.

[14] Yang L B, Zhang W G, Huang D G.Robust trajectory tracking control for underactuated quadrotor UAV based on ESO[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2015,37(9):2102-2108.(杨立本,章卫国,黄得刚.基于ESO的欠驱动四旋翼飞行器轨迹鲁棒控制[J].系统工程与电子技术,2015,37(9): 2102-2108.)

[15] Nhan T N. Optimal control modification for robust adaptive control with large adaptive gain[J].Systems&ControlLetters, 2012,61(4):485-494.

[16] Mu X W, Yu J M, Bi W P. Robust adaptive control of nonholonomic systems with uncertainties[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2004,25(3):329-337.

[17] Xie W. QuadraticL2-gain performance linear parameter-varying realisation of parametric transfer functions and state-feedback gain scheduling control[J].IETControlTheory&Applications, 2012,6(11):1577-1582.

[18] Liu Y, Li X Y. Robust adaptive control of nonlinear systems with unmodelled dynamics[J].IEEProceedingD(ControlTheoryandApplication), 2004,15(1):183-188.

[19] Gu Z F, Zhu C Q, Yang G X, et al. Design of the multi-objective constrained nonlinear robust excitation control based on the all state parameters EKF estimate[J].InternationalJournalofRobustandNonlinearControl, 2015,25(6): 789-806.

[20] Huang X Y, Wang Q, Dong C Y. Robust adaptive control of hypersonic vehicles via backstepping method[J].SystemsEngineeringandElectronics,2011,33(6):1321-1326.(黄喜元,王青,董朝阳.基于Backstepping的高超声速飞行器鲁棒自适应控制[J].系统工程与电子技术,2011,33(6): 1321-1326.)

Back-stepping optimalL2-gain control with rapid adaptation of uncertain parameters

GU Zhi-feng, ZHU Chang-qing, SHAO Tian-zhang, WANG Wen-ting

(Vehicles and Electrical Engineering Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

In order to improve the calculation speed of the parameters adaptive law and the convergence speed of the state variables, by modifying the traditional back-stepping adaptiveL2-gain control algorithm and adopting linear matrix inequality (LMI), the parameter adaptive differential equation can be resolved in one integration, and the solution of the adaptive laws for the uncertain parameters is simplified, then theL2gain of the adaptive robust control will be minimum, the common formulas for the rapid back-stepping adaptive optimalL2control (OP-L2-RBAC) is deduced. Simulation results of the harmonic excitation system for the military power station show that the OP-L2-RBAC, comparing with the traditional nonlinear adaptiveL2-gain control (L2-NAC) method, can enhance the dynamic stability of the excitation system for the military power station.

back-stepping adaptiveL2-gain control; adaptive optimalL2-gain control; rapid optimalL2-gain control; military power station; improved back-stepping control

2015-08-11；

2015-11-05；网络优先出版日期：2016-02-16。

国家自然科学基金(51407196)；军械工程学院重点院基金(YJJXM12046)资助课题

TM 273

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.29

谷志锋(1979-),男,博士,主要研究方向为独立电力系统非线性稳定控制。

E-mail:gzfgohappy@163.com

朱长青(1963-),男,教授,博士,主要研究方向为野战电力支持技术。

E-mail:zhunei@163.com

邵天章(1967-),男,副教授,硕士,主要研究方向为军用电站状态观测与非线性控制算法分析。

E-mail:shaotz@163.com

王文婷(1979-),女,硕士,主要研究方向为装备电网络仿真技术。