数学实验的育人价值

2016-08-12章建跃人民教育出版社

中国数学教育（初中版） 2016年4期

关键词：教学要点育人价值数学实验

章建跃（人民教育出版社）

数学实验的育人价值

章建跃（人民教育出版社）

摘要：通过分析数学实验课的目的、意义，概括数学实验课的教学目标，探讨数学实验过程的本质，获得了数学实验育人价值的初步认识，进而给出了数学实验课的教学要点，并以此为依据分析了“几何图形”一课的教学特色.

关键词：数学实验；育人价值；教学要点

江苏省南京市第二十九中学初中部胡松老师的“几何图形”一课，是初中平面几何的起始课，胡老师根据内容特点和七年级学生的认知特点，将本课设计为“数学实验课”.他在教学中贯彻“以学生的发展为本”的教学理念，通过“数学实验”让学生做数学，安排恰当的数学活动，激发学生的学习兴趣，引导学生体验几何图形组成要素的抽象方法，并用要素间的关系刻画简单几何图形的特征，循序渐进地启发学生描述几何图形的结构特征，进而逐步完善学生的数学语言，在潜移默化中提升学生的数学素养，为初中几何学习开了一个好头.多年来，笔者观摩了大量数学课堂教学，像胡老师这样处理教学内容、创设数学活动、安排教学过程的课比较少见，给笔者留下深刻印象，引发笔者对数学实验的育人价值的思考.

一、什么叫“数学实验”

众所周知，数学实验是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物.大学有专门的《数学实验》课程，其目的是提高学生学习数学的积极性，增强学生的数学应用意识，培养学生用数学知识和计算机技术去认识和解决实际问题的能力.不同于传统的数学学习方式，它强调以学生动手为主.因此，大学《数学实验》课主要是培养学生在计算机的帮助下用数学知识解决实际问题的能力.

在中小学数学课程中安排数学实验，其目的并不局限于此.正如数学实验的积极倡导者、江苏省教研室副主任、特级教师董林伟所说，数学实验是通过动手、动脑做数学的一种学习活动，是学生运用有关工具，在数学思维参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动.因此，中小学数学课程中的数学实验，不仅为了用数学解决问题，“做数学”是其精义和主旨所在，既有领悟数学知识的追求，又有学习方式变革的考虑，概括而言是在数学育人价值上的追求.

二、数学实验教学的意义

数学实验给学生的数学学习带来的影响是全方位的.

从认知方面看，主要是给学生的学习方式带来的实质性变化.在数学实验中，学生要调动各种感官参与数学认知活动，通过观察、操作、实验，获得抽象数学概念、原理所需要的现实材料，在此基础上开展归纳、类比、抽象、概括，抽取共性而获得数学概念，发现规律而获得数学原理和性质，并获得解决问题的方法的启发.

显然，数学实验中所使用的是体验式学习方式，学生在数学实验的过程中获得了抽象数学概念、归纳数学原理的直接体验.通过数学实验，学生不仅经历了数学对象的要素、概念内涵的抽象过程，数学法则、性质、公式等的归纳和发现过程，而且产生了“如何研究”“如何发现”的方法论感悟.数学实验使得数学知识成为学生自己发现的结果，能为学生理解数学知识奠定坚实基础，同时也使学生对应用知识的背景条件形成完整的认识.因此，数学实验是数学学习成为学生自己可以掌控的过程的必要条件.

从非认知因素方面看，数学实验能极大地激发学生的兴趣，引起学生的好奇心，调动学生的学习热情，使学生以一种积极的态度投入实验、探究活动之中.积极的情感体验是激发灵感的强大动力，可以促使创造性思维的产生.

三、数学实验课的教学目标

数学实验课有其自身的目标追求，主要有以下几点.

（1）形成数学学习的积极体验；

（2）经历完整的数学学习过程；

（3）获取建构数学概念所需要的一手资料，提供领悟数学概念内涵的感性材料；

（4）为发现数学规律（性质、公式、法则、公理等）提供具体、直观基础；

（5）探寻解决问题的思路和方法；

（6）培养学生的学习能力、探索与发现能力、创造力；等等.

总之，数学实验的教学目标，是“提升学生的数学素养”的重要组成部分.

四、从科学研究过程分析中获得启发

中小学数学课程中的数学实验是一个新鲜事物.对数学实验的目的意义，哪些内容的学习需要实验，如何设计有效的实验活动，如何引导学生的操作与观察，以及哪些是真正的数学实验等都需要开展研究.某种意义上看，学生学习科学知识的过程是人类探索和认知自然规律的过程的浓缩性重演，所以我们可以从科学研究的过程分析中获得关于数学实验本质认识的启发.

1.科学研究中的实验与思维

众所周知，科学研究从观察、实验开始，通过抽象思维、推理论证而获得结论.这里，“实验”的目的在于观察实际现象、得到具体数据，而抽象思维、推理论证则是为了分析不同现象的内在联系，认识数据中蕴含的规律性，从而获得科学发现，实现发明创造.

科学发展的历史表明，在科学研究的道路上，德才兼备才能取得成功.

科学研究需要各种各样的能力，例如观察、实验的能力，抽象思维能力，推理论证能力……归根到底是两种：一是实验能力，二是思维能力.既能动手又能动脑是取得研究成果的必要条件.

一个人的才能，首先表现在他的判断力上，面对一个问题，对于要解决的问题到底是什么，某个问题是否值得研究，怎么做最有效等，都要有判断力.科学研究中，有些人善于观察、实验、动手操作，有的人则长于归纳、抽象、分析、推理，两者兼备是取得成功的关键.例如，丹麦天文学家第谷用了30年精密地观察行星的位置，积累了大量一手资料.他的观察力很强，但不幸的是理论分析能力欠佳.他从资料中得出的结论是：地心说和日心说都不对，而是行星绕着太阳转、太阳又绕着地球转.开普勒的理论分析能力很强，在对第谷的观察资料的分析中，他先用地心说，发现误差很大，与观察事实不符；改用日心说，假设火星绕太阳做圆周运动，计算结果仍然不理想；再大胆假设“火星的运行轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上”，计算结果与实际观察数据果然吻合.这样，第谷的精确观察与开普勒的理论假设相结合，导致了行星运动三大定律的发现.当然，这些才能的形成，还要靠学识，即要通过不断的学习、实践而积累学问、增长见识.

2.科学思想与科学方法

下面我们再从科学思想与科学方法的角度讨论一下观察、实验与理性思维的关系.

我们知道，人类对于大自然规律的理性认知，就是实事求是地探讨宇宙的内在本质与原理，这是一个由表及里、由浅入深、由现象到本质的过程.千锤百炼的理性认知所得到的结果称之为理性文明.回顾人类文明的发展史可知，理性文明成果的取得，依赖于如下信念：宇宙是具有精简、和谐的内在本质与原理的；而且可以经由数、比值与形的研究，由表及里去认知其理.这里的“数，比值与形的研究”就是数理分析与几何学.在这样的信念下开展科学研究，逐步形成了探索客观规律的科学思想、科学方法.例如：

·归纳与演绎

在对某一领域或某一事物、现象的探索、认知过程中，一方面，要从实验、分析中综合归纳地探索其本质和内在规律；另一方面，要用逻辑演绎、推理证明去研讨已认知的本质和规律，以及有待认知的猜想的内涵.在科研求知的实践中，归纳和演绎是相辅相成的两个方面与方向，它们相互为用、相得益彰，两者的有效配合能收到意想不到的效果.

·理论与实际

现实事物的表现是纷繁复杂、千变万化的，但内在的本质与原理往往是既精又简的.理性认知致力于研究探讨事物的“精”和“简”，以期得知其至精、至简与精简合一的理论；同时，理论又可以用来以简驭繁地解决现实问题.

抽象化是认识问题、解决问题的一种思考分析的方法，在数理分析、解析思维上是一种好用、常用的方法，其要点在于择其精要妥善组织，从而简朴精到地解决问题.

综上所述，观察与实验是人类认识未知世界的本质与规律的开端，而理性文明成果的取得最终又要依赖于抽象思维、推理论证.它给基础教育的重要启示是，要把培养学生的观察、实验和动手操作能力与归纳、抽象、推理、论证等理论分析能力放在同等重要的位置.从观察实验到推理论证是一个完整的数学化过程，数学教学的主要任务之一就是要使学生学会抽象化的方法.只有这样，才能使学生在走向社会、面对问题时能独立而有效地解决问题.

五、让学生学会观察与抽象

越是抽象的科学，越要从实际中汲取营养和力量；同样，抽象知识的学习也要从亲身实践中获得体验，要从具体事例的共性、规律性的认知入手.数学很抽象，而为学生创造动手操作、动眼观察的机会，是使抽象转化为具体、直观的必由之路.

观察与实验的目的是为了发现事物的本质和规律，因此在数学实验中要培养学生的观察力，使他们形成洞察事物本质的能力，这就要使学生掌握观察的方法，懂得从什么角度入手、观察什么.“外行看热闹，内行看门道”，要使学生成为会看门道的内行.

科学的洞察力表现在能迅速地透过现象看本质，能看到貌似不同的事物的内在联系或共同的地方.这里所要求的是综合、判断的能力，具有这种能力的人能迅速抓住和澄清众多模糊不清的概念.

洞察力不是天生的，是在长期实践中培养起来的.对所要研究的现象要长期专注地观察它，这样才能有所发现.因此，在数学实验教学中要关注非智力因素的培养，当然还要有观察的思想方法的指引.

事物的本质深藏于内部，我们看到的只是它的表面、局部现象.善于猜想的人往往能凭借这有限的部分信息，加上自己的经验、学识、推理等，而找出问题的正确答案或近似结果.数学结论的获得往往也需要猜想.例如，对于一个代数规律，常常需要在具体事例的列举过程中获得规律的猜想，然后通过逻辑推理论证得到其正确性.

总之，广博而扎实的基础知识、观察和实验、丰富的想象力和正确的方法，是发现与创造的四大基础.从前面的论述中可以发现，所有这些都与数学实验有紧密联系！

六、数学实验教学的几个要点

将上述讨论反馈到数学实验教学，可以给出如下要点：

数学实验的设计——聚焦实验目的，关键是要有利于收集有用信息、数据，有利于发现隐藏的规律；

观察活动的引导——通过具有可操作性的问题、暗示等启发学生进行有目的的观察，收集各种事实、现象，获得各种变式，以利于发现变化中的不变性、规律性；

实验结果的理解——通过“一般观念性问题”，例如“各种现象中有什么共性”“这些数据中蕴含着怎样的规律”等，引导学生的思维活动，使学生正确理解观察到的事实，进而做出科学假设；

分析方法的应用——通过适当的启发、引导，促使学生应用有针对性的方法，如从具体到抽象、从特殊到一般，对称、类比、联想、移植、计算等，对数据、资料展开分析而获得正确理解；

数学结论的获得——在上述活动的基础上，获得对实验现象的本质认识，再通过抽象而抓住事物的内部联系、事物的本质和主要因素，从感性上升到理性而概括出结论.

下面我们以上述论述为依据来分析胡松老师的课.

七、对“几何图形”一课的教学思考

1.关于教学目标及其表达

首先，胡老师确定的本课教学目标（见教学设计）非常准确，具有“导学，导教，导测评”的“三导”功能；对教学目标的解析也非常到位，体现了他的“理解数学，理解学生，理解教学”的水平.笔者认为，准确制定教学目标是有效实施课堂教学的前提，是取得高水平教学质量的保证.另外，胡老师的教学目标表述方式也值得肯定，真正体现了“以教学内容为载体，在知识的发生、发展过程中落实数学思想方法、数学能力和情感、态度、价值观的发展”的要求.

对于教学目标的重要性，我们在近几届活动中作为重点反复强调，对如何制定教学目标的问题我们也进行了较系统的阐述，给出了具体要求.但当前仍有很多教师不重视，甚至不会设置教学目标，这是影响我国数学教学质量的一个重要原因.在本次活动的教学设计中，有不少选手仍然把“三维目标”当成课堂教学目标，“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”分裂呈现，也有的以“知识目标，能力目标，情感目标”“知识技能，数学思考，问题解决，情感态度”分裂呈现等.出现这种现象，一方面，是世纪之交开展的课改的理论混乱误导了课堂教学；另一方面，也是有些教师不重视学习与思考、盲目跟风所致.

2.“简单”的内容如何教

许多教师认为，本节课的内容很简单.习惯于“一个定义，三项注意，几个例题，大量练习”的教师觉得这样的课没什么好讲的，他们常常把课讲得枯燥乏味，有的甚至一笔带过.胡老师的这节课，“简单”内容上出了“数学味”，所以给笔者以深深的触动，我想这节课一定也会给其他教师以极大的启发.

笔者认为，这节课的“数学味”来源于胡老师对本课内容所蕴含的数学思维教育资源的深入挖掘，具体体现在：

（1）通过生活实例（图片）、模型，让学生观察并说出自己看到的图形，教师适时提炼（如当学生说到“五角星的形状是一样的，但它们的大小不同，摆放的位置也不同”，教师就及时指出“图形的形状、大小、位置关系都是几何中要研究的”，并板书），从而使学生经历从实物、模型到几何图形的抽象过程，从中体会如何从数学的角度观察事物，通过分析、比较而抽象出几何概念.这里既体现出“数学地看问题”的一般观念的渗透，又体现出如何观察、如何归纳、如何抽象的具体思想方法的教学.

（2）通过对长方体、棱柱、棱锥的组成要素、结构特征的描述，以及从学具袋中摸出长方体的活动，并解释“是如何摸出来的”，使学生体会描述几何体结构特征的基本方法，稍作拓展，实际上就是研究几何图形性质的方法.

（3）通过分类活动，使学生初步认识不同类型几何图形的“个性特征”，从而加深对几何图形及其结构特征的认识；通过折纸活动，使学生初步认识平面图形和立体图形的内在联系，初步建立几何图形的知识结构.活动中，胡老师充分利用了观察所得的几何图形素材，让学生展开分析、比较、综合等思维活动.其中，“分类”是直观基础上的宏观分类，胡老师注重了如何确定分类标准的问题，渗透了“可以有不同的分类标准”“依据同一个标准前后一致地分类”的思想（这里，在教师的引导下，学生能说出“组成立体图形的平面图形不在同一个平面内”）；在“折纸”活动中，胡老师既让学生描述这里的立体图形和平面图形的相互关系，又让学生描述三棱柱、四棱锥的结构特征，实际上是再一次提醒“观察的角度”.

（4）用已经理解到的有关概念和几何图形的结构特征认识其他几何图形.这是一个用概念做判断的过程，其目的是巩固概念.胡老师在这里安排了一个“根据要求摸几何体模型—描述结构特征—猜几何体”的活动，这个过程很有创意.从认知心理学的观点看，这里的认知活动是“直观想象—抽象思维”，与前面的“实物图片、几何模型观察”结合，形成了一个完整的几何概念和几何图形结构特征的认知链条.这个过程蕴含的教育价值非常丰富：触摸感知、形象想象、数学语言训练、思维的逻辑性等，其中还包含了用几何体组成要素的相互关系描述物体的训练.

另外，胡老师的课堂小结也是别开生面的，他用一个变式题，让学生看图说话，检验教学效果，在学生描述、师生对话的过程中挖掘蕴涵的思想方法.经过教师的耐心启发、学生的反复试错、相互讨论，有的学生能说出“‘中国馆’的上部是一个倒着的四棱锥切去了一个小四棱锥”，学生没有棱台的概念，但他能用已经学会的四棱锥概念进行刻画，体现了很好的创造性思维.