关于二元幂等矩阵多项式的群逆

余立婷，杜乃林

(武汉大学数学与统计学院, 湖北 武汉 430072)



关于二元幂等矩阵多项式的群逆

余立婷，杜乃林

(武汉大学数学与统计学院, 湖北 武汉 430072)

摘要：利用幂等矩阵和核空间的性质, 讨论了复数域上两个幂等矩阵P和Q在条件(PQ)n=(PQ)nP下的一类矩阵多项式的秩和群逆的相关问题, 并且得到了其可逆的一些充要条件.

关键词：群逆; 幂等矩阵; 可逆性

0引言与记号

近年来,幂等矩阵多项式在代数学和统计学中出现了一些令人关注的应用,引发了人们对这种形式的矩阵加以研究的兴趣,特别是对这类矩阵的秩和群逆(包括逆)的研究工作得到了较多的结果[1-14].

考虑复数域上两个p阶幂等矩阵P和Q(P2=P,Q2=Q)的常数项为零的m次多项式,其一般规约形式为

T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+…+xm(PQ)kmPδm+ym(QP)kmQδm,

其中km,δm都是非负整数,满足2km+δm=m且0≤δm<2.本文研究形如T这类矩阵的群逆及其相关问题,意在把前人的工作推广到一个统一的结果.

让我们回顾这方面的已有主要结论.2004年,文献[1]证明了T=x1P+y1Q可逆的充要条件是P-Q可逆.2006年,文献[2]得到了T=x1P+y1Q的秩与系数x1,y1的选取无关.在此基础上,2010年,文献[3]研究了矩阵多项式T=x1P+y1Q+x2PQ在一定条件下的秩与系数的关系,推广了前人的结果.2014年,文献[4]在幂等矩阵P,Q满足PQP=PQ的条件下,得到了T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP的群逆的具体表达式.文献[5]给出了分别在条件(PQ)2=(QP)2以及(PQ)2=0下,T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+x3PQP+y3QPQ+x4(PQ)2的群逆和可逆的充要条件.2013年,文献[6]在Hilbert空间上,得到了在条件(PQ)2=(PQ)2P下,T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+…+x4(PQ)2+y4(QP)2可逆的一些充要条件,给出了群逆存在的条件,推广了前人的结论.

复数域上幂等矩阵P,Q在条件(PQ)n=(PQ)nP下构成的这种矩阵多项式可以化简为

T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+…+x2n(PQ)n+y2n(QP)n+y2n+1(QP)nQ.

(1)

简单计算可知幂等阵P,Q在满足(PQ)n=(PQ)nP时包括以下的特殊情形:

(i)PQP=PQ(参见文献[4]);

(ii)(PQ)2=(QP)2,或(PQ)2=0(参见文献[5]);

(iii)(PQ)2=(PQ)2P(参见文献[6]);

(iv)(PQ)n=(QP)n或(PQ)n=0.

本文研究了复数域上的幂等矩阵P,Q在条件(PQ)n=(PQ)nP下所构成的矩阵多项式(1)的秩与系数的关系,并且得到了(1)可逆的一些充要条件,也证明了其群逆存在.前人分别在条件(i)-(vi)下讨论P,Q所构成的矩阵多项式的群逆及其逆的相关问题,由以上讨论可知本文把前人的工作推广到了一个统一的结果.

文章采用以下记号:Cp×p为全体p×p阶复矩阵的集合,对任一A∈Cp×p,R(A)表示A的值域,N(A)表示A的核空间,rank(A)表示A的秩,dim(·)表示求维数,例如dim(N(A))表示N(A)的维数.若存在X∈Cp×p使得

XAX=X,AXA=A,AX=XA

成立,则称X是A的群逆,记为A#.若其存在,则它是唯一的.注意,A#存在当且仅当rank(A)=rank(A2).群逆的相关性质可参考文献[15].用P表示Cp×p上所有幂等矩阵的集合,即

P={P|P2=P}.

1主要结果

(a)rank(T)是一个常数与系数的选取无关;

(b)T的群逆存在;

(c)T可逆⟺P+Q可逆⟺N(P)∩N(Q)={0}.

证明(a)先证N(T)=N(P)∩N(Q).首先,显然有N(P)∩N(Q)⊆N(T).其次,设∀α∈N(T),由于幂等阵P和Q满足(PQ)n=(PQ)nP,在等式两边分别乘以P,Q,可以推出

(PQ)k=(PQ)kP=(PQ)n=(PQ)nP,k≥n,

(2)

(QP)l=(QP)lQ=(QP)n+1=(QP)nQ,l≥n+1.

(3)

在式(1)两边左乘(PQ)n,利用(2)式得

(PQ)nα=0.

(4)

在式(1)两边左乘(PQ)n-1P,结合式(2),式(4)可得x1(PQ)n-1Pα=0,由于系数x1≠0,因此

(PQ)n-1Pα=0.

(5)

以此类推,在式(1)两边分别依次左乘(PQ)n-1,(PQ)n-2P,(PQ)n-2,…,PQ,P,并利用式(2)和已得到的结果可推出

(PQ)nα=(PQ)n-1Pα=…=(PQ)2α=PQα=Pα=0.

(6)

在式(6)两边左乘Q,得

(QP)nQα=…=QPα=0,

(7)

再结合α∈N(T)以及式(6),(7)得Qα=0.

综上可知,α∈N(P)∩N(Q),N(T)⊆N(P)∩N(Q).从而

N(T)=N(P)∩N(Q).

注意到

rank(T)=n-dim(N(T))=n-dim(N(P)∩N(Q))

是一常数,于是rank(T)与系数的选取无关.因此结论(a)成立.

rank(T2)=rank(T).

从而T的群逆存在,(b)得证.

(c)特别地,取x1=1,y1=1,xi=0,yj=0(2≤i≤2n,2≤j≤2n+1)或者x1=1,y1=1,x2=-1,xi=0,yj=0(3≤i≤2n,2≤j≤2n+1)，则

rank(T)=rank(P+Q)=rank(P+Q-PQ).

并且利用结论(a)表明

T可逆⟺P+Q可逆⟺N(P)∩N(Q)={0}.

这样就完成了定理1的证明.

文献[4-6]中的主要结果可以利用定理1的结论简单地推导得到,即如下推论：

推论1设P,Q∈Cp×p满足PQP=PQ,系数x1y1≠0,x1,y1,x2,y2,x3∈C,x1+y1+x2+y2+x3≠0,则T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+x3QPQ是群逆阵.

推论2设P,Q∈Cp×p满足(PQ)2=P(QP)2,系数x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4∈C,x1y1≠0,x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4≠0,令

T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+x3PQP+y3QPQ+x4(PQ)2+y4(QP)2,

则以下结论成立:

(i)T可逆⟺P+Q-PQ可逆;

(ii)T的群逆存在.

(a′)T可逆⟺P-Q可逆;

(b′)如果P+Q或P+Q-PQ可逆,则T的群逆存在.

证明(a′)先证N(P-Q)⊆N(T)⊆N((P-Q)2),首先,显然有N(P-Q)⊆N(T).其次,设∀α∈N(T),在式(1)两边左乘(PQ)n-1P,利用式(2)得

(PQ)n-1Pα=(PQ)nα.

(8)

在式(1)两边左乘(PQ)n-1,结合式(2)和式(8)可得

(PQ)nα=(PQ)n-1Pα=(PQ)n-1α.

(9)

以此类推，在式(1)两边分别依次左乘(PQ)n-2P,(PQ)n-2,…,PQ,P并利用式(2)和已得到的结果可推出

(PQ)nα=(PQ)n-1Pα=…=PQα=Pα.

(10)

在式(10)两边左乘Q可得

(QP)nQα=(QP)nα=…=QPQα=QPα.

(11)

(QP)nQα=(QP)nα=…=QPα=Qα.

(12)

另外由(P-Q)2α=Pα-PQα-QPα+Qα=0,所以N(T)⊆N((P-Q)2),从而

N(P-Q)⊆N(T)⊆N((P-Q)2).

因此

T可逆⟺P-Q可逆,

结论(a′)成立.

(b′)对∀α∈N(T),利用式(10)和(12)可得

(P+Q)(P+Q)α=Pα-PQα+QPα-Qα=0,

(P+Q-PQ)(P-Q)α=Pα-PQα+QPα-Qα-PQPα+PQα=0.

如果P+Q或P+Q-PQ可逆,则N(P-Q)⊆N(T)⊆N(P-Q),所以

N(T)=N(P-Q)

又因为

rank(T)=n-dim(N(T))=n-dim(N(P-Q))

rank(T2)=rank(T).

从而T的群逆存在,(b′)得证.

文献[4-7]中的主要结果可以利用定理2的结论简单地推导得到,即如下推论.

推论3设P,Q∈Cp×p满足(PQ)2=P(QP)2,系数x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4∈C,x1y1≠0,x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=0,令

T=x1P+y1Q+x2PQ+y2QP+x3PQP+y3QPQ+x4(PQ)2+y4(QP)2,

则以下结论成立:

(i)T可逆⟺P-Q可逆;

(ii)如果P+Q或P+Q-PQ可逆,则T的群逆存在.

在上述结果的基础上.我们自然想到,在(PQ)n=(PQ)nP的情况下,P,Q这类多项式T的群逆能否用P和Q及其乘积表示.根据文献[15]表明,存在一个多项式q(x)使得T#=q(T),因为(PQ)n=(PQ)nP,这时T#仍是形如式(1)的矩阵多项式.文献[7]给出了在(PQ)2=(PQ)2下T#的具体表达式,而此时的计算量已经非常大了,所以在探讨(PQ)n=(PQ)nP的情况下,T#的表达式是一个有挑战性的问题.

参考文献:

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[15] CAMPBELL S L, MEYER C D. Generalized inverses of linear transformations[M]. New York: Dover Publication,1991.

收稿日期：2015-11-26

通信作者：杜乃林(1962—)，男，教授，博士，主要从事算子广义逆与不适定问题研究.E-mail:dunailin@aliyun.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.04.014

中图分类号:O151.21MSC2010:15A09

文献标志码:A

文章编号:1674-232X(2016)04-0415-05

The Group Inverse of the Binary Polynomical of Two Idempotent Matrices

YU Liting, DU Nailin

(School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Abstract:The group inverse and the rank of the binary polynomical of two idempotent matrices P and Q over complex field under the condition of (PQ)n=(PQ)nP are discussed by the property of the null space of idempotent matrices, and some necessary and sufficient conditions for the invertibility are obtained.

Key words:group inverse; idempotent matrix; invertibility