高等数学中极限概念教学问题初探

杨应明　杜云

摘 要：极限概念为微积分学一个基础概念。极限方法对有限与无限、常量与变量、匀速运动与变速运动、直线与曲线等对立统一矛盾辩证及相互转化关系予以揭示。高等数学中学生对极限定义的理解是其学习高数的首道关卡，其对学生的后续学习有着直接影响。本文针对在高数极限概念学习中学生遇到的困难及相应的教学方法加以探讨。

关键词：高等数学；极限概念；教学方法

1.学生在高等数学极限概念学习中困难的具体表现

（1）理解困难。①词义理解困难。所谓极限，日常生活中指的是不应该或不可能超过的事物，而高数中极限的涵义则存在极大差异。函数极限概念中的“趋近于”就自变量x其变化状态而言，若“趋近于a”则指的是该自变量的值与a充分接近但永远不会与a相等。函数值f（x）在此变化过程中“趋近于A” 则指的是该函数值可大于、小于或等于A。可见，两者所蕴含的完全不同含义使得学生在极限概念的学习理解难度大。[1] ②对ε与δ（N）关系及意义未能明确理解。在极限的ε-δ（N）其定义中将ε与δ（N）两个新量引入，通过两者间两个不等式来对极限进行定义。定义中，ε>0是对函数f（x）→A时期接近A的程度的刻画，而极限概念中“任意给定一个大于零的ε”确定性与任意性并存，对有限与无限、静与动、变与不变的对立统一予以深刻反映。但学生常将取“ε为任意小”理解成ε为一个正数符号，其表达的是任意小，即是说，ε不为零，但小于任何真实正数，这就使得学生难以理解相关内容。

（2）使用困难。由于学生对极限概念的理解存在难度甚至错误，其在使用中也颇具难度，主要表现在以下方面：①对定义的使用存在错误；②对于复杂不等式，要想将相应的δ找出来则难度较大。在正常极限中，可通过适当放大来寻找到相应的δ，而在非正常极限中，却需进行适当缩小，而学生对放大与缩小方法的使用时机把握不准；③学生对等价替代在直观上把握难度不大，但对等价性逻辑证明则更有难度。

2.高等数学极限概念教学方法探讨

（1）以实例为基础，将数列极限引出。教学人员可于数轴上将相应点画出，以让学生对无穷数列项数n变化中（n，∞）数列f（n）的变化进行分析，从而掌握解题方法。换言之，f（n）→0，

从而让学生对“趋向”“无穷”及“无限接近”等词的含义以及极限概念中“变”“动”等思想加以充分理解。通过实例让学生产生直观表象，进而引发想象，以为“ε语言”对极限定义的进一步叙述做好铺垫。[2]

（2）对极限定义中“ε”的给定性、任意性以及N、X、-δ对ε的依赖性予以充分说明，为ε的作用的刻画做好铺垫。比如，函数极限定义中，ε为任意的，唯有不等式∣f（x）-A∣<ε方可对f（x）无限接近常数A进行刻画；另外，ε具有给定性，唯有其方可对δ的存在性进行确定。而ε的给定便可证明的δ存在，二者为对应关系，δ依赖ε而存在，二者又具有依赖性。此外，还应对ε为任意小正数加以强调，换言之，ε为要多小便有多小的正数。

（3）螺旋巩固，构建概念网络。极限概念在高等数学中具有全局性，学生在学习可导、连续等相关后续概念后，应借助反例、定理及公式等进行有意识比较，从而促进正确概念网络的建成，以实现对学生分析能力、对事物实质的辨析能力、思维能力等综合能力的培养。

（4）强化对学生语言逻辑结构层次的引导与分析。比如，在极限概念中，可通过下述顺序来对该概念进行层层讲解与分解。①n→∞时，Xn于a具有无限趋近性；②n越大，则Xn越靠近a；③n越大，则Xn同a间的距离越小；④不管ε（ε>0）多小，n只要充分大，Xn同a的距离便小于ε；⑤每个ε（ε>0）均有相应N的存在，只要n>N，Xn同a的距离便小于ε。如此，通过对逻辑结构进行分层展示，使极限概念逻辑结构的层次明确清楚，使难点得以分散，学生能够对该逻辑层次进行更好的理解，从而从整体上对极限概念予以把握。

极限概念属高等数学教学重点、难点，这就要求教学人员在教学过程中应注重对学生综合能力的培养，通过恰当教学方法来帮助其更好地对极限概念进行理解，从而帮助其深入理解与掌握极限概念，为高等数学的进一步学习奠定良好基础。

参考文献：

[1]张洪光，王晓英.数列极限概念教学问题探讨[J].赤峰学院学报（自然科学版），2012，（6）：11-14.

[2]孔维丽.高等数学中极限思想的体现及极限概念教学[J].科技信息，2012，（28）：103.