高中生“对数”概念的理解水平调查

杨 军，王 婷（．新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054；．新疆昌吉市第一中学，新疆 昌吉 8300）



高中生“对数”概念的理解水平调查

杨 军1，王 婷2
（1．新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054；2．新疆昌吉市第一中学，新疆 昌吉 831100）

摘要：采用SOLO分类评价标准，通过问卷测试从对数的定义、对数的运算性质两个维度考察高中生“对数”概念的理解水平.发现其在“对数定义”上的理解水平较低，“对数定义”的学习呈现形式化特征；其在“对数运算性质”上大多处于单一结构水平和多元结构水平，只有少部分达到了关联结构水平；随着年龄增长，其对数概念的理解水平呈现发展和提高的趋势.提出了3点建议：加强对数定义的由来教学，使学生感受定义产生的自然性；建议教材增加关于对数运算性质之功能的相关内容；适度调整教学节奏，给学生留充分的时间整理与理解对数概念系统.

关键词：对数；高中生；理解水平；形式化

1 问题提出

尽管“为理解而教”已经成为教育界的一种共识[1]，但在数学课堂中，“能听懂课但不会解题”的现象却非常普遍；“会背数学知识而不会用”等现象也比比皆是[2].究其原因在于学习者对数学知识的掌握没有达到理解的水平.只有对数学概念、技能与方法的掌握达到了理解的水平，才能实现对知识的活学活用，从而形成较强的数学能力.

“对数”是符号化的数学，同时因抽象难懂使之成为高中生难以理解的概念之一[3].基于此，调查高中生关于“对数概念”的理解处于何种水平，以及不同年级的学生在对数概念的理解上是否存在显著的差异，从而获得高中生“对数”概念理解与掌握水平的量化数据，以期对改进“对数”概念的教学建言进策.

2 研究的设计

2.1 研究对象

分别在新疆乌鲁木齐市第八中学和新疆师范大学附属中学高一、高二、高三年级平行班中各随机抽取一个班学生作为研究对象.选取每所学校各年级平行班学生，在一定程度上可以代表整个年级学生关于对数概念的理解水平；选择不同年级学生进行研究，可以调查高中生关于对数概念理解水平的发展状况.

2.2 研究工具

选用 SOLO分类评价法作为研究工具来测试学生的理解水平.“SOLO”是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”首字母缩写，原意是“观察到的学习成果的结构”[4].它将学习结果分为5个水平：

（1）前结构水平（Prestructural）：学生并没有真正理解学习内容，找不到任何解决问题的办法，记为0水平；

（2）单一结构水平（Unistructural）：学生关注题干中的相关内容并找到了一个解决问题的办法，记为1水平；

（3）多元结构水平（Multistructural）：学生找到构成问题越来越多的、正确的相关特征，但只是简单罗列这些要点，还没有将它们有机整合的能力，记为2水平；

（4）关联结构水平（Relational）：学生会整合各部分内容而使其成为一个有机整体，表现为能回答或解决较为复杂的具体问题，记为3水平；

（5）扩展抽象水平（Extended Abstract）：学生会归纳问题以学习更多抽象知识，这代表一种更高水平的学习能力，这一水平的学生表现出更强的钻研和创造意识，记为 4水平.

2.3 高中生“对数”概念理解水平的层次划分和测试问卷

的设计

《高中数学课程标准（实验稿）》明确提出：“理解对数的概念及其运算性质；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.”[5]据此编写的人教版《数学（必修1）》第2.2.1小节“对数与对数运算”的内容主要包括“对数的定义、对数的运算性质”.因此这里从“对数定义”和“对数运算性质”两个维度出发，并依据SOLO分类评价标准设计高中生关于“对数”概念理解水平的层次划分如下.

2.3.1 对数定义

0水平（前结构水平）：不能正确叙述“对数”的定义，不能识别出“对数”的任何相关内容，找不到解决“对数”相关问题的任何办法.1水平（单一结构水平）：能够叙述“对数”的定义，并知道“对数”运算是“已知幂求指数的值”的运算.2水平（多元结构水平）：知道“对数”定义中底数的范围、真数的范围，能够进行对数式和指数式的互化；了解“对数”和“指数”的关系.3水平（关联结构水平）：能够将“对数”和“指数”紧密联系在一起形成完整的认知结构，能够准确从“指数”内容深刻理解和认识“对数”定义中的各种要素.4水平（扩展抽象水平）：理解“对数”定义的由来及其必要性，理解“对数”既是一种运算又是一种结果；同时既能认识到“对数”运算和“指数”运算的关系，又能类比地将“对数”定义和初中“开方”定义联系在一起.

2.3.2 对数运算性质

0水平（前结构水平）：不能正确阐述“对数运算性质”

根据上述划分设计了测试问卷，测试问卷共9道题，分别考察高中生解答完全正确时所能达到的理解水平.先随机抽取普通高中高一、二、三年级平行班共计30名学生进行预测，并据此对问卷进行修改形成正式问卷（见附录）.同时采用克朗巴哈（Cronbach）α信度系数法对问卷进行信度分析，运用Excel统计软件得到问卷的α系数为0.722 3，表明调查问卷具有良好的稳定性和内部一致性，可以进行测试.

正式发放调查问卷291份，作答时间为45分钟.收回有效问卷266份.根据SOLO分类评价法的5个水平对学生每道题的回答进行分类与赋分，所有数据均采用Excel软件录入、管理及分析.

3 数据整理与分析

3.1 两个维度之间的相关性

为考察对数的定义和对数的运算性质这两个维度之间是否具有相关性，运用Excel统计软件计算出其相关系数r 为0.65.样本n=266，自由度为df=264，取α=0.05，查相关系数临界值表可知，当α=0.05，自由度为264的临界值为 0.123 7，相关系数r=0.65，大于临界值，说明在α=0.05水平上r是显著的.

上述结果表明，这两个维度之间是显著相关的，学生关于对数定义理解程度的高低会显著地影响对数运算性质的理解与掌握，从而表明“对数定义”在整个对数概念系统中处于重要而关键的地位，准确地掌握“对数定义的由来以及它与指数概念的内在联系”有助于对数运算性质的理解.

3.2 高中生在“对数定义”维度上的理解水平

学生在“对数定义维度”上理解水平的分布情况见表1所示.

表1 学生在“对数定义维度”上理解水平的分布情况

表1表明，在“对数定义”这一维度，处于1水平和2水平的学生较多，占总人数的百分比分别是 38.4%和32.2%.表明这一部分学生能够叙述“对数”的定义，知道“对数”运算是“已知幂求指数的值”的运算（1水平），对“真数大于0的限制”和“对数式与指数式相互转化”掌握较好（2水平）.而处于3水平（占比13.9%）和4水平（占比10.2%）的学生较少，表明学生尽管能够比较熟练地进行处理有关“真数的范围”、“对数式与指数式相互转化”等问题，但是却形式化地认识“对数定义”，不能将“对数”和“指数”紧密联系在一起形成完整的认知结构，不能准确地从“指数”出发深刻理解“对数”定义中的各种要素（3水平），也不甚理解“对数的由来和必要性”，更不能将与初中开方运算“进行类比（4水平）.

3.3 高中生在“对数运算性质”维度上的理解水平

学生在“对数运算性质”维度上理解水平的分布情况如表2所示.

表2 学生在“对数运算性质”维度上理解水平的分布情况

表2表明，在对数运算性质这一维度，能够正确写出对数运算性质并能够利用它求对数式值的学生占比 31.6%（1水平）；能够证明“对数运算性质”，了解“对数运算性质”和“指数的运算性质”内在联系的学生占比21.4%（2水平）；能够将“对数运算性质”和“指数的运算性质”紧密联系在一起形成完整的认知结构的学生占比16.2%（3水平）；而处于扩展抽象水平（4水平），即能够深刻认识到“对数运算性质”的由来、功能和作用，知晓“对数运算性质”产生的历史背景，理解其具有的将“运算降级”的重要意义的学生仅占比4.80%.表明尽管部分学生能够正确写出并证明“对数运算性质”，但是却不能灵活应用其解决复杂的问题，更不能把“对数运算性质和指数运算性质”紧密联系起来，而关于“对数运算性质”的功能和作用更是了解甚微.

3.4 不同年级的高中生在相同维度理解水平的差异性分析

为了研究不同年级的高中生在对数概念的理解水平上是否存在差异，对高一、高二和高三在对数概念的两个维度上的数据分别进行了统计，统计结果分别见表3～5.

表3 高一年级学生在各个维度理解水平的分布情况

表4 高二年级学生在各个维度理解水平的分布情况

表5 高三年级学生在各个维度理解水平的分布情况

通过表3～5数据发现，在“对数定义”这一维度，高一、高二和高三年级处于1水平的学生人数占比分别是35.8%、31%和21.1%；处于2水平的学生人数占比分别是16.3%、42.5%、42.0%.在“对数运算性质”这一维度，高一、高二和高三年级处于 0水平的学生人数占比分别是 30.4%、6.9%和 4.0%；处于 3水平的百分比分别是 7.8%、23%、12.8%.总的来说，随着年龄的增长，在各个维度上，学生处于更高一级水平的人数在逐渐增多，而处于较低水平的人数在逐渐减少，表明学生关于对数概念的理解水平呈现发展上升趋势.

为分析不同年级的学生在对数两个维度上的理解水平是否存在差异，对三组数据（高一与高二、高一与高三、高二与高三）分别进行T检验，得到如表6所示的结果.由表6可以看出，高三学生在两个维度的理解水平上都显著高于高一学生相应维度的理解水平；高二学生在两个维度的理解水平上也是显著高于高一学生相应维度的理解水平的；高三学生与高二学生在两个维度的理解上没有显著的差异.

表6 不同年级在相同维度理解水平的显著性检验表

以上分析结果表明，高一学生对“对数概念”的理解处于较低水平，而随着年龄的增长，所学知识的增加和抽象能力的增强，其在“对数概念”的理解上有进一步发展和提高的趋势.而高二年级和高三年级之间在对数概念两个维度的理解水平上没有显著的差异.

4 研究的发现

（1）高中生在“对数定义”维度上的理解水平较低，“对数定义”的学习呈现形式化特征.

高中生“了解对数的真数大于0”，“能够将对数式与指数式相互转化”，但只是简单并形式化地罗列这些要点，还不具备将它们有机整合为一个有机整体，即高中生不理解“对数定义产生的背景、对数的功能、对数与指数运算互为逆运算”.表明高中生在“对数定义”的学习上呈现形式化特征，没有深刻理解对数定义产生的必要性，以及指数与对数的关系.从而揭示出在对数定义这一维度，高中生只达到了多元结构水平，而关联水平和拓展抽象水平还有待进一步提高.

（2）大部分高中生在“对数的运算性质”维度上处于单一结构水平和多元结构水平，只有少部分学生达到了关联结构水平.

大多数高中生能够正确运用“对数运算性质”解决相关题目，但对于其证明和它具有的运算降级作用却知之甚少.换言之，学生只是形式化地死记和套用性质，对其本质却远远认识不够.这表明大部分学生在对数运算性质的理解上仅停留在表面.即他们能利用对数运算性质解决相关计算，却不会证明性质，也不理解其功能，更不了解其与指数运算性质的内在联系，从而揭示出在“对数运算性质”维度，大部分学生处于单一结构水平和多元结构水平，只有少部分学生达到关联结构水平，而处于关联结构水平和扩展抽象水平的学生寥寥无几.

（3）随着年龄的增长，学生对数概念的理解水平呈现发展和提高的趋势.

从纵向上看，高二、高三年级对数概念的理解水平要显著高于高一年级，而高三年级对数理解水平虽高于高二年级，但是这种差异没有达到显著水平.这体现了高中生对数概念理解水平的发展过程.而高一学生由于抽象概括能力不高，还无法将陌生的对数符号语言与概念的实质内容建立起内在的联系，从而导致其理解水平处于较低层次.

5 讨论与建议

（1）加强对数定义的由来教学，使学生感受对数定义产生的必要性、自然性与合理性.

概念教学要让学生参与概念的形成过程，感受概念产生的必要性与合理性[6].对数不具有像“无理数2表征单位正方形的对角线”这样的图形表征[7]，因此需要教师搭建形成对数定义的脚手架，加深对“对数”定义由来与作用等的认识.例如在定义对数之前，先让学生解答“2x=3，x≈?”，可以不仅使学生直观认识到对数定义的本质是“已知底数和幂，求指数”的运算，而且让学生在没有出现对数符号“log”之前能够用熟悉的指数运算去同化它；在定义对数之后，可以在计算形如“log8=?”的问题时与初中的“

2进行类比，同时可以让学生估计8log3的大小，等等.通过这些问题可以使学生认识到“如果没有对数”，是无法求解“32=x”的，由此深刻理解“对数定义”产生的必要性、自然性与合理性，从而形成良好的认知结构[8].

（2）建议教材增加关于对数运算性质之功能的相关内容，使学生理解对数运算性质的作用.

正如前述所言，大多数高中生只是形式化地死记对数运算性质，形式化地套用它解决相关问题，而对其具有的能够“将乘除降级为加减运算、将乘方开方降级为乘除运算”的本质却远远认识不够.为此建议在教材中增加关于“对数运算性质”之功能的相关内容，使学生理解其作用.例如可以增加“让学生体验大数乘除计算的繁杂性”的问题，从而使学生进一步了解对数发明的背景，理解其实如何将“将乘除降级为加减运算、将乘方开方降级为乘除运算”的.还可以增加对数发明者“英国人纳皮尔是如何化费了毕生的精力造出了历史上第一张对数表，从而使众多从事繁复计算的数学家大大减轻了他们的劳动”的史料，由此让学生开展研究性学习课题“编制对数用表”，通过编制“对数表”使学生体会其中蕴含的对数运算性质以及其与指数运算性质的内在联系，同时也使得对数运算性质的证明水到渠成.

（3）适度调整教学节奏，给学生留充分的时间理解并整理“对数概念系统”.

“对数”内容原来是初中的教学内容，现在编排到高中后，学时数很少，这也是学生对“对数”的学习产生障碍的一个不可忽视的原因.因此建议教师在对数概念的教学中，要适度地调整教学节奏，不要急于求成地赶进度，给学生留有充分的时间整理、消化与理解“对数概念”，使学生有时间建构关于“对数定义的合理性与必要性、对数运算性质的证明与功能、对数运算性质与指数运算性质的关系”的完整认知结构，使整个“对数概念系统”能够纳入学生已有的认知结构之中，从而使学生关于“对数概念”的“理解学习”真正得以发生.

［参 考 文 献］

[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2] 王光明.重视数学教学效率提高数学教学质量[J].数学教育学报，2005，14（3）：43-46.

[3] 赵思林.“对数”定义难学的心理分析[J].数学教育学报，2012，21（6）：77-81.

[4] 陈蓓.利用SOLO分类法探究学生函数概念理解水平[J].数学教育学报，2009，18（2）：35-38.

[5] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[6] 匡继昌.如何理解和掌握数学概念的教学实践与研究[J].数学教育学报，2013，22（6）：74-78.

[7] 杨军.基于理解的“函数图象变换”教学的新设想[J].数学通报，2015，（2）：43-44，59.

[8] 王光明.高效数学教学行为的特征[J].数学教育学报，2011，20（2）：35-38.

1. 解下列方程中的未知数x的值（请写出必要的解题过程）.

2. 将指数式与对数式互化.

3. 填空题.

（1）已知ban=中a和n，求b的过程称为__________运算；

（2）已知ban=中n和b，求a的过程称为___________运算.运算；

（3）已知ban=中a和b，求n的过程称为___________

5. 结合第4题的求解过程，能说说你对“对数”定义产生的必要性的认识吗？

6. 先补全下列3条性质，并试着证明这3条性质.

7. 计算出下列各式的值，并写出必要的计算过程.

8. 你能试着说说“对数的运算性质”与“指数的运算性质”之间的内在关系吗？你能试着说说“对数的定义”和“对数运算性质”产生的历史背景吗？

9. 请在以下选项中选出你对“对数的运算性质”作用的认识（可以多选），并解释你选择它的原因（可以举例说明）.

A. 可以将高级运算降级为低级运算，从而实现运算的快捷；B. 可以解决真数不是特殊值的对数的计算问题；

C. 可以用已知量来表示未知量；D. 我考虑过这个问题，但不清楚它的作用；E. 我从未考虑过这个问题.

你的选择是_______________________；你的理由是：__________________________

[责任编校：周学智]

中图分类号：G633

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）02–0084–04

收稿日期：2015–12–03

基金项目：新疆普通高校人文社科重点研究基地新疆教师教育研究中心重点课题——新疆双语数学骨干教师教学知识发展研究（XJEDU040513B01）

作者简介：杨军（1969—），男，湖北黄石人，副教授，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．的内容，进而也不能利用“对数运算性质”解决相关问题.1水平（单一结构水平）：能够正确阐述“对数运算性质”的内容，并能够利用“对数运算性质”求对数式的值.2水平（多元结构水平）：能够证明“对数运算性质”，了解“对数运算性质”和“指数的运算性质”的内在联系.3水平（关联结构水平）：能够从“指数运算性质”深刻理解“对数运算性质”的本质，能够将“对数运算性质”和“指数运算性质”紧密联系在一起形成完整的认知结构.4水平（扩展抽象水平）：能够深刻认识到“对数运算性质”的由来、功能和作用，知晓“对数运算性质”产生的历史背景，理解其具有的将“运算降级”的重要意义.

Investigation of Levels for Perception on High School Students’ “Logarithms” Conception

YANG Jun1, WANG Ting2
(1. School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Xinjiang Urumqi 830054, China; 2. The No.1 Middle School in Changji, Xinjiang Changji 831100, China)

Abstract:It adopted the Evaluation Theory of SOLO Classification, using a questionnaire, Which contains two dimensions: the definition of “Logarithms”, the operation properties of “Logarithms”, to inspect the levels for perception on high school students’“Logarithms” Conception. The study found that: there was a low level of understanding in the “Logarithms” definition and their studying was in the feature of formalization; in the operation properties of “Logarithms” dimension, most students stayed in the “Unistructural” level and “Multistructural” level, only a few students reach the “Relational” level; with the increase of age, the levels for perception on High School Students’ “Logarithms” Conception presented a trend of development and increase. Three suggestions: strengthening the teaches in the origin of logarithm definition, then students can feel the naturalness of the Conception of the “Logarithms”; the related content on the function of the operation properties of “Logarithms” should be increased in materials; appropriately adjust teaching rhythm, leaving ample time for students to understanding and organizing the “Logarithms” Concept.

Key words:logarithms; high school students; levels for perception; formalization附录：关于“对数”概念理解水平的问卷测试题