思维视角下数学教师专业发展的探索——基于四节同课异构课“正弦定理”的课堂教学案例分析

高红志，陈雪梅（．沧州师范学院 数学系，河北 沧州 0600；．河北师范大学 数信学院，河北 石家庄 05004）



思维视角下数学教师专业发展的探索
——基于四节同课异构课“正弦定理”的课堂教学案例分析

高红志1，陈雪梅2
（1．沧州师范学院 数学系，河北 沧州 061001；2．河北师范大学 数信学院，河北 石家庄 050024）

摘要：通过对某“国培计划”项目研修成果“正弦定理”的4节同课异构课的数据收集与分析，发现其共同点是教师漠视学生的思维发展.课堂教学在形式上体现了课标的部分理念，但实质上没能落实，甚至偏离了数学教育的核心——发展思维.反思现象背后的原因，探索改变对策，提出了思维视角下数学教师专业发展的3个建议：掌握数学思维培养的规律；理解数学和学生是根本；构建连续的支持性学习环境.

关键词：思维；数学教师；专业发展；教师改变

1 背景与问题

随着课程改革的推进，数学教育的变化有目共睹：如“高水平的数学教师到底该教什么”的质问［1］；88.7%的数学教师把是否引导学生主动积极地思维作为一堂“好”的数学课的标志［2］；传统学习方式正在向新的学习方式转变，学生喜欢的新的学习方式依次是体验学习、合作学习、自主学习、探究学习［3］；命题探究课大致步骤明确为设计问题情境，激发探究欲望，引导自主探究，指导发现结论；暴露思维过程，探索论证方法；反思探索过程，优化思维品质；加强变式应用，发展创新能力［4］.教师的评价体系也逐渐形成，关于数学教师认识信念理论框架的建立与量表设计的完善［5］.教师以“学思知行”有机结合作为数学教育的过程性要求，是关于数学教师评价研究的新视角［6］.均反映了数学教、学理念、方式及评价观的发展变化.但江苏省的一项调查结果显示，仍有 33%的高中数学教师几乎没有系统学习、研究过《课标》，解题教学基本上就是学生做题，教师讲题，至于解题思路是如何找到的，教师不知，学生更不知［7］.

那么现实情况如何？数学教师学习与改变的难点在哪里？研究者跟踪某所省部共建高校举办的“国培计划”农村中小学骨干教师短期研修项目，并对研修成果——“正弦定理”的课堂教学进行研究分析，尝试对数学教师专业发展的特征进行探索.

2 研究方法与过程

研究中运用了现象学方法，描述案例中要研究的教学现象，分析原因，还原现象背后的实质.4位执教教师，分别来自河北省4个县级中学，教龄在15年至22年之间，由4个研修小组推选产生.作为“国培计划”农村中小学骨干教师为期20天培训的最后一项活动——成果展示，在小组集体备课的基础上，4位教师进行了“正弦定理”的同课异构，因此这4节课具有一定的代表性.

通过对教学录像的观摩，发现在正弦定理的发现与证明两个教学环节出现不顺畅、不自然的现象，因此重点分析了这两个教学环节，访谈内容也是针对这两个环节展开.

3 现象的描述与分析

3.1 正弦定理的发现

4位教师分别记为T1、T2、T3、T4，均遵循了由特殊到一般的认识过程，通过问题情境引入正弦定理.下面摘取由直角三角形中边与角的正弦关系推广到任意三角形中的片段：

T1教师：在直角三角形中有这个式子．这个式子对于一般的三角形是不是也成立呢？

师：有同学说“试试”．……一辈子也验证不完．再想想，三角形分成几类？

生：3类．

师：哪3类？

生：三角形可以分成3类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形．

师：直角三角形已经证明了．我们只需证明，这个结论在锐角和钝角三角形中也成立．下面我们来探究一下，能不能证明这个结论在锐角三角形和钝角三角形中也成立，……女生验证锐角三角形，男生验证钝角三角形．

T2教师：这个式子（）非常好，因为它是直角三角形中边和角之间的具体的量化关系，具体的数量关系．同学们想，在一般的三角形中，有大角对大边，不是具体的数量关系，比如说：a=3 cm，b=2 cm.a所对的角A，一定大于b所对的角B，但是，他们只有大小关系，具体是多大？没有具体的量的关系.那么这种具体的量的关系在一般的三角形中是不是也成立呢？

生：锐角和钝角三角形．

师：锐角和钝角三角形．这边（同学）证明锐角的，这边（同学）证明钝角的．

T3教师：在直角三角形里咱们推导出了这个等式．咱们数学中有个有名的“哥德巴赫猜想”，知道吧？在直角三角形中推出这个关系式，我就把它叫做“T3老师猜想”，这两个三角形（锐角、钝角三角形）里面可能也有等式成立．下面咱们试着证一下．T4教师：“在锐角三角形中是不是也成立呢？”

T4教师自己提出问题并借助情景问题中的辅助高线，推得正弦定理.

3.2 正弦定理的证明

T1直接请两名学生上讲台板书，6分钟后没证出，另换两名同学完成证明，师讲解订正.T2、T3采用学生独立思考与合作探究的教学方式，7～9分钟后，请学生在投影上展示其证明过程.T4采用启发式，自己讲解了证明.4节课上共出现了3种证明方法（以锐角三角形为例）：

T1的学生板书的证法一，师生检验正确通过，没有对证法作分析、评议，而是问男同学在钝角三角形中如何证明，男同学中没有人站出回答，师 T1自已讲述了证法三，没有和证法一作对比.T2与T3的学生给出了证法二，对证法二，T2认为不如证法三简明，建议采用证法三；T3说，很好，限于时间关系，我们不推导了，下面给出一种更简单的证法，即证法三.均没有对两种证法做比较；T4直接讲解了证法三.关于正弦定理的其它证法，T1提示学生可用向量法，课下完成，其他3位没有提到.

3.3 课后访谈

访谈问题：“本节课的重点和难点是什么？”

T1教师“重点是正弦定理，如何解决问题，难点是如何发现和证明正弦定理．”

T2教师“重点是内容和应用，难点是证明．”

T3教师“正弦定理这节重点是怎么用正弦定理，咱们教课的时候证明不是重点．”

T4教师“重点是正弦定理，什么时候使用正弦定理．难点是推导定理．”

访谈问题：“你认为学生是否能够自己证出正弦定理呢？”

T1、T2教师“学生不能够自己思考得出，还是靠教师启发、讲解．”

T3教师“根据经验，学生即使能证出方法也不简洁，还要判断学生的问题所在．”

T4教师“如果学生主动地话，可能也能完成，但是课上内容较多，时间来不及．只好用讲授的方法．”

4位教师都认为正弦定理及其应用是这节的重点，而正弦定理的证明“并不是重点”，3位教师认为其是“难点”，并安排了学生自主探究来突破“难点”，而定理推导的思考过程4位教师均没有提到，即不在教学的重难点之列.由访谈问题“本节课教学设计的关注点是什么？”等中还了解到教师在教学设计时关注的是教学环节的衔接，以及例题的配备，课上关注的是教学任务能否顺利完成，而对于学生证明的“艰难困苦”，归结为“学生比我的学生差”，“没有学习的积极性”等原因.

3.4 现象分析

数学命题的教学重点是结论的发现过程与推导的思考过程，这也正是锤炼学生思维品质、提高学生思维能力所在.正弦定理的发现源于直角三角形中边角关系的类比猜想，均由教师直接提出，没给学生猜想的机会；而推导思考过程的关键是辅助线的添加——作三角形的高，为什么要作高？你是如何想到的？这是学生思维发展的关键点，没有一位教师在此驻足；如何想到的证明思路？可否优化？如何得到简洁自然的证法？在4位教师的教学中均没有体现.而在课堂上学生思考探究时2位老师的提示语是：直角三角形中已证出了，我们可做高把锐角三角形转化为直角三角形来证明.转化思想确是中学数学中最常用的思想，但锐角三角形做高转化为两个直角三角形后，并没有用到直角三角形中的边角关系——正弦定理，所以引导提示属于歪打正着.事实上，从正弦定理的形式出发，学生更容易想到利用三角形的边来表示角的正弦值，再试图找到间的关系，因为角的正弦是在直角三角形中定义的，要表征角的正弦当然要构造直角三角形，而最自然的方法是作三角形的高.表征出角的正弦及三角形的边与其所对角的正弦比，经运算、推理，证得定理，证法一和二正是这样的思路，是学生思维的自然体现.表征出角的正弦后，对思维过程进行监控，观察与目标间的距离还有多远，联系它们的桥梁是什么？发现是高AD，好了，通过它就建立起了三角形的边角关系，同理，综合即得，这是证法三的思路.

证法一、二好似低头拉车而没注意道路的选择，到达目的地但多走一段路，展示了学生思维品质的现状，此时教师没有珍视学生思维结果的潜在价值，把它作为教学资源，以促进学生思维品质的提高，使教与学“擦肩而过”.而简明快捷的证法三是元认知调控下的思维结果，师生可谓领略了证法三的“冰冷美丽”，而没有体会到其背后的“火热思考”.

从思维的视角看，4节课的突出共同点：重思维结果，轻思维过程，漠视学生思维的发展，由此可能会产生的结果是：认真完成证明的学生会想：我的证法咋就繁琐呢？简洁证法是如何得到的？我怎么就想不到呢？没有证出来的学生会想：我太笨了，不是学数学的材料，或者数学真是莫名其妙……，于是一批批学困生和厌学生就此诞生了.

培训研修并非对执教教师的教学没有影响，如案例中3位教师在正弦定理的证明中采用了让学生探究的形式，给予全体学生思维的机会和少数学生展示思维结果的机会，但而后还是走回了呈现事实覆盖数学思维的老路.“丰富学生的学习方式，让学生经历探究发现及证明的过程”的课标理念形式上被落实，但教师对学生的探究不能正确引导，在探究结果与自己的预设不符时，“接不住学生抛出的球”，不能在学的基础上教，是一个客观现实.

4 思考与建议

虽然是对4节课两个环节的案例分析，但就它具有的代表性而言，可知数学课堂教学中思维能力的培养没有受到应有的重视的现象普遍存在，事实上，在数学教学中，无论是教科书的设计还是教师的课堂生成，都缺乏对数学知识形成过程及深层思考的重视［8］.研究者认为，教师不关注数学教育的基本目标，不重视数学思维的培养，不认真研究学生的思维过程是内在原因.当然，外在原因也不容忽视：长期为考而教，高考不考你是如何思考的，只考题目解答是否正确，所以知道定理会用定理解题是教学的重点，为了应对考试，过分强调解题训练和解题技巧，而不是让学生体验发现与应用数学的快乐，发展思维.

思维是智力与能力的核心，数学俗称“思维的体操”.研读课标，研究者想到的核心关键词是“思维”［9］.课程标准“以学生发展为本”的基本理念，落实到数学课堂教学层面，则要求充分体现数学的核心价值——发展思维，让学生变得更聪明［10］.而现实依然令人堪忧，根据认知发展心理学以及教师学习的规律，研究者对思维视角下的数学教师专业发展提出3点建议，以期对关注数学思维培养的教师培训项目的课程设计有所启发.

4.1 掌握数学思维培养的规律

思考——展现思维：教学的本质不在于传授，而在于激励、唤醒、鼓舞.所以数学课堂上教师首先要创设适当的问题情境，引发学生的积极思考，并展现思维的过程.如案例中4位教师中有3位安排了学生思考探究的环节，证法一、二也展现了部分学生的思维之路，但证明过程的艰辛显示出学生思维品质的欠缺，此时就需要监控——学会思维.

监控——学会思维：思维的训练与培养以问题解决为载体，问题解决过程也就是架起由已知到目标的桥梁的过程，如何架桥是解题理论及元认知理论的合理运用.按数学教育家波利亚的“怎样解题表”的4个步骤［11］：（1）了解问题：已知三角形，证明边角关系——正弦定理；（2）拟定计划：寻找出已知与目标间的关系，要架起已知与目标间的桥梁，可以利用什么？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？可以利用锐角的正弦函数定义，应引入辅助线，三角形的高，表征、运算、推理，架桥成功；（3）实行计划：书写证明；（4）回顾反思：你能校核论证吗？你能用不同的方法得出结果吗？有否更简洁的方法？这种联想提问对学生思维的监控与指引，使学生学会思维.案例中缺乏拟定计划中的启发思考和回顾反思，由此造成思维之路的不顺畅，证明的艰难.

反思——发展思维：反思存在于数学教学的多个环节：反思思维过程，使思维条理化、清晰化、概括化；反思思维策略，提炼数学的基本思维方法；反思问题的本质，对问题进行推广引申，提高思维的深刻性；反思思维的调控过程，优化解题过程，提高元认知水平.如在正弦定理的证明中，面对证法一、二，师生在理清思路肯定其正确后，反思：是否有更简洁的方法？与三角形边角有关的知识还有哪些？你能用不同的方法得出结果吗？回顾、优化、简化，自然得到证法三.感悟到对思维过程的适时监控与调整，可优化证明过程，提升元认知水平；而联想起与三角形边角有关的向量与面积等知识，向量法及面积法自然水到渠成.经历以上问题的思考与验证，正弦定理自然铭记于心，数学思维的魅力得以展现，学生的思维品质得到锤炼，发展思维得以实现.

4.2 理解数学和学生是根本

理解数学，不仅要知道定义、原理等陈述性知识，而且要理解数学的特征，千百年来，数学一直是人类的一种活动，在联系现实的问题情境中，通过学生的思维活动再创造数学才能感悟其蕴含的思想方法、掌握解题的策略，从而发展思维，提高能力，达成数学教育的根本目标.理解学生，意味着教师要顺应学生好奇心、好探究、好讲理、好分享的天性，能根据学生已有的经验恰当设计新知识的生长点，给学生思考分享的机会；能洞察学生解答问题中的合理成分、不足甚至错误观念，并以此为资源，优化完善学生的思维品质.教师理解数学与学生方能进一步融合数学的逻辑与学生的认知，对数学知识的发展，重新进行表征和构造，显化数学核心知识的“过程特征”与“对象特征”，在教学中做到善于举例；善于提问；善于比较与优化［12］，并将自己定位到组织、引导、指导者的角色上来，还学生学习主人之地位、数学思维教育之本色.

4.3 为教师改变构建连续的支持性学习环境

教师改变是教师专业发展的目标，是一个复杂渐进的多元循环的过程，是围绕教师的不同核心领域（例如个人教育理念、实践性知识、外部环境、教学结果与成效领域）之间和谐连续的相互作用，是教师主动自觉持续反思与实践的结果.作为教师专业发展的指导者要充分认识教师专业发展的复杂性，通过加强短期集中与后期跟踪的整体性，构建连续的支持性学习环境，根据数学思维培养的主题，合作评价教师行为，提出改进策略；开展相关理论学习，认清策略实质；在新的教学实施中指导学员教师反复经历从新策略中反思课堂实践，概括学生学习的新结论，同时不断追问原主体理论，形成教师的“认知冲突”，促进教师从“不足之感”向“求足之感”转化.设计专业引领、同伴合作、自主学习与反思等多种学习方式，促进教师实践性知识的调整与重组.

致谢：感谢美国加州长滩州立大学安淑华教授的肯定、鼓励和对文章的指导．

［参 考 文 献］

［1］ 李炜.高水平数学教学到底该教什么［J］.数学教育学报，2014，23（6）：31-35.

［2］ 韩龙淑，曾小平.数学教师对启发式教学认识的调查研究［J］.数学教育学报，2014，23（4）：55-58.

［3］ 胡典顺，王静，徐汉文.新课程背景下数学学习方式转变的调查研究［J］.数学教育学报，2013，22（5）：47-52.

［4］ 徐章韬，梅全雄.论基于课堂教学的数学探究性学习［J］.数学教育学报，2013，22（6）：1-4.

［5］ 喻平.数学教师认识信念的一个理论框架与量表设计［J］.数学教育学报，2013，22（4）：34-37.

［6］ 王光明，刘金英，马晓丹，等.基于“学思知行”有机结合的数学教师评价指标［J］.数学教育学报，2014，23 （3）：43-47.

［7］ 宋辉，惠群，余水.高中数学教学现状调查研究——基于教师专业素养的视角［J］.数学教育学报，2014，23（6）：58.

［8］ 王瑞霖，綦春霞，李孝成.数学活动理论探求与实践反思［J］.数学通报，2012，（7）：1-5.

［9］ 任景业.走进孩子的课堂［M］.长春：东北师范大学出版社，2014.

［10］ 徐文彬，曹新，王兴福.数学课程改革与数学教师专业发展［J］.数学教育学报，2013，22（4）：91-92.

［11］ 波利亚.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2007.

［12］ 郑毓信.中国数学教育的重要生长点［J］.中学数学教学参考，2012，（3上旬）：2-4.

［责任编校：周学智］

中图分类号：G451

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2016）02-0066-04

收稿日期：2015-12-08

基金项目：2011河北省社会科学基金项目——河北省中学数学专家型教师专业发展研究（HB11JY010）

作者简介：高红志（1965—），女，河北东光人，副教授，主要从事数学教学与教师教育研究．陈雪梅为本文通讯作者．明．同学们分成两部分证明．直角三角形中已经证明了，我们还需要证明什么？

Exploration of Mathematics Teachers’ Professional Development from Thought Perspective——Based on Case Studies of Four Differently Taught Lessons on “Sine Law”

GAO Hong-zhi1， CHEN Xue-mei2
（1. Mathematics department of Cangzhou Normal College， Hebei Cangzhou 061001， China；
2. College of Mathematics and Information Science Hebei Normal University， Hebei Shijiazhuang 050024， China）

Abstract:After data collecting and analyzing four differently performed lessons on the same topic--the law of sine， which is a research and study outcome of the National Teacher Training program， we found a common feature that all teachers neglect students’ thought development. Their classroom teaching diverged from the core value of math education--developing thought. considering the causes behind the phenomenon， we explore countermeasures and provide three suggestions on math teachers’professional development from thought perspective: master the rule of math thought cultivation； comprehend math and student；construct a successive and supportive study environment.

Key words:thought； math teacher； professional development； teacher transformation