基于TEDS-M的职前数学教师知识研究

姚一玲，方业成，孔企平（华东师范大学 教育学部 课程与教学系，上海 200062）



基于TEDS-M的职前数学教师知识研究

姚一玲，方业成，孔企平
（华东师范大学 教育学部 课程与教学系，上海 200062）

摘要：随着国际比较教育研究的兴起，教师教育的国际比较研究也逐渐开始拉开帷幕，通过比较研究，各国可以从教师教育的实践、理论以及职前教师的培养方面互相借鉴和自我评估.主要介绍由国际教育成就评价协会（International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA）于2008年开展的一项数学教师教育与发展的国际比较研究（TEDS-M）中对职前教师知识的研究，总结该研究中教师知识的结构并选取样题进行分析，以期能为中国职前数学教师教育研究提供理论指导和思想方法.

关键词：数学教师教育；教师知识；TEDS-M

教师教育一直都是教育研究领域的热点问题，自20世纪80年代美国学者舒尔曼（Shulman）提出教师知识的分类以来，国际上对教师知识的分类和定义都绕不开舒尔曼的研究.密西根州立大学在2007年发布的面向21世纪数学教学项目（Mathematics Teaching in the 21st Century, MT21）中对高质量教师教育模式进行了一些探究，继而在2008年又开展了一项由17个国家和地区参与的职前数学教师教育发展的国际比较研究项目（Teacher Education Development Study——Mathematics, TEDS-M）.该项目主要从3个层面展开研究：国家教师教育政策、教师教育实践以及教师教育成效，其中教师教育成效关注的是教师知识和信念.这里拟通过对这一国际比较研究中关于教师数学知识和教学知识的研究分析及其对知识分类的阐释，探寻中国职前数学教师的教育策略和知识的影响因素，以期对中国职前数学教师知识的研究有所启示.

1 国际视野下数学教师知识研究背景

从舒尔曼首次提出教师教学知识开始，国际上对教师知识的研究风靡一时，学者们围绕着舒尔曼的定义对教师知识的分类也是各家之言.一般包括：数学学科知识和教学知识两方面.

1.1 数学学科知识（MCK）

数学知识是教师教学活动和认知活动的基础，对数学教学质量起关键作用[1].德国数学家菲利克斯·克莱因认为教师应该具备较高的数学观点，因为观点越高，事物越显得简单.例如实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点看就清楚了[2].他强调教师在教学时应将数学的各部分知识，如算数、代数、几何等内容，看作一个整体，特别是数与形的整合.这也是早期数学教育研究者对教师知识的要求.根据Shulman的定义，内容知识包括本学科的事实和概念，教师不仅要掌握这些事实和概念，还应该明白这些知识成立的原因以及一般化和结构化的过程[3].这是Shulman从宏观角度定义的学科知识，从微观层面来说，数学学科知识（简称数学知识）主要是依据国家数学课程标准来界定的，国际上对数学知识领域的划分主要有4类：数与运算、代数与函数、几何与测量、数据和概率.这虽与中国的划分方式稍有不同，但所包含的具体内容是一致的.

1.2 数学教学知识（MPCK）

随着舒尔曼提出教师教学知识的概念以及相关的研究出现后，对教师知识的强调逐渐从学科知识转向教学知识.在后续的研究中教师的教学知识被具体化为多种类型，例如，教学知识被分为一般的教学知识、具体学科的教学知识、学生的知识以及关于教学的知识.然而，研究者们对PCK的本质是达到共识的，即它是关于教师如何将学科知识转换成适应学习者的不同兴趣和能力，以使学习者更好地进行有关学习方面的知识[4].文中所论述的数学教学知识是指所有与数学教与学双向过程有关的知识.研究者认为，教学知识分为一般性教学过程知识和具体学科教学知识.无论是一般性的还是具体学科的教学知识，它们都强调的是教师教学过程中的知识.

TEDS-M对教师知识的研究是在Shulman（1987）对教师应该具备的知识分类的框架的基础上结合美国教师准备项目研究委员会的界定并根据TIMSS的数学知识框架和认知框架以及2007年美国密西根州立大学进行的一项由6个国家或地区参与的国际比较研究（Mathematics Teaching in the 21st Century, MT21）来展开的.其定义的MPCK包括数学课程知识、数学教学计划知识以及实施数学教学的知识.TEDS-M主要从3个方面来研究小学和初中的职前数学教师：一是国家的教师教育政策，二是教师教育实践，三是教师教育成效[5].基于TEDS-M的研究主要关注教师教育成效中职前数学教师知识的研究.

2 职前教师数学知识以及数学教学知识的研究框架和内容分析

2.1 数学知识框架与分析

TEDS-M 研究组从知识领域和认知领域两个角度对职前教师数学知识进行了详细的划分.内容领域主要是考察未来教师对静态数学知识的掌握和认识水平，包含数与运算、几何与测量、代数与函数以及数据与概率4个领域的具体内容.这一内容框架来自于TIMSS的数学内容知识的评价框架,而且这些内容涵盖了所有TEDS-M的参与国家和地区的数学课程.具体划分及内容见表1.（表1来自TIMSS 2007 Content Domain Assessment Framework (Mullis et al., 2007); TIMSS 2008 Advanced Assessment Frameworks (Garden et al., 2006) 中初中阶段数学内容知识框架）

表1 数学内容知识框架：根据内容领域划分

TEDS-M所用的TIMSS 2007的关于数学知识的框架是综合了被试国家的课程标准而划分的，虽然从内容上来看与中国的数学知识体系（数与代数、图形与几何、统计与概率、实践与综合）划分不一致，但每一部分所包含的具体内容却相同.

认知领域的分类采用TIMSS 2007对4～8年级学生数学学习的思维过程研究，认为学习者的认知类型有3种：理解、应用和推理.理解属于认知水平的第一层次，表示学习者对数学事实、概念、工具和过程的掌握程度；应用则属于第二层次，主要关注学习者运用理解的知识或概念解决或回答问题的能力；推理属于最高层级，需要学生能从已知的常规问题解决迁移到不熟悉的、复杂的或多步骤的问题解决上[6].具体见表2.（表2来自TIMSS 2007 Content Domain Assessment Framework (Mullis et al., 2007)）

表2 数学内容知识框架：根据认知领域划分

根据以上两个领域的划分，TEDS-M研究从数学知识出发，根据学习者的认知发展水平设计出了考察职前数学教师数学知识水平的测试题.也即针对同一数学知识可以有不同认知水平的测试题呈现.研究中关于职前数学教师知识的测试时间共60分钟，标准分为500分.为了缩减测试时间和满足项目反应理论的要求，被试所做的试题会有重复.研究显示，职前教师在理解水平以及关于数、几何、代数及分类知识的应用方面表现都较好.但是，对更复杂推理问题或非常规情境中的应用表现不佳.例如，下题（MFC202A-D）

考察被试者关于整数加法交换律和结合律的理解，选择 A的有81%，选择B的有86%，选择C的有92%，选择D的有64%.虽然题目看似简单，但从国际调查显示水平来看，仅有64%的国际职前教师回答正确.虽然职前教师在平时的学习过程中会很少出现运算律的错误，但当面对很少接触或者需要推理的问题时就会感到有难度.

知识和认知两个维度是融合为一体的数学学习要求，知识作为载体培养学习者的理解、应用和推理能力，认知技能蕴含于数学内容领域中，通过测试数学内容，体现出学生的认知能力[7].TEDS-M研究结果显示，中国台湾、新加坡、俄罗斯以及美国的职前教师数学知识属于国际前列，表 3是职前教师MCK排名前3位的国家和地区.

表3 职前教师MCK排名前3位的国家和地区

数据表明，美国中学职前数学教师的MCK水平要好于小学，这或许与美国小学教师培养课程设置有关.因为美国小学职前教师大学期间的课程很大一部分是通识课程，数学专业课程不是很多.从TEDS-M的报告数据看来，除了表格中的4个国家和地区，瑞士的MCK水平也较高.而波斯瓦纳和智力等国家MCK水平均比较低，他们普遍觉得测试题较难.

2.2 数学教学知识框架及分析

Ball认为教师的教学知识包括：数学知识、技能以及敏感性.数学知识是指数学学科内容知识，技能是教师教学过程中处理教学任务的能力或技术，敏感性表示教师对数学语言、定义以及与非正式语言的一致性和冲突.TEDS-M对教师教学知识的分类借鉴了 Ball的研究，按照实施教学的过程——从静态的内容知识到教学实施计划知识再到具体实施的知识进行设计.具体包括：数学课程知识，对文本的分析即课程知识是教学的根本；数学教学计划的知识，通过对课程知识的分析，教师便可安排相应的教学任务制定相应的教学计划；实施数学教学的知识，实施教学过程中的知识，包括课堂生成和对学生的管理、反馈等.表4是TEDS-M关于教学知识的分类.（表 4来自 Teacher Education and Development Study in Mathematics [EB/OL]. http://www.iea. nl/teds-m.html.）

表4 数学教学知识框架

该教学知识框架不仅包含基本的教学方法和手段，还包括了如何将数学思想方法渗透到教学过程中.数学教师教学知识包括静态的学科知识、教学计划的知识以及动态的教学过程知识3个方面，它贯穿于教学过程的始终，不仅包含文本知识还包含教学计划和执行教学过程中所需的知识.研究结果显示，教师MPCK水平处于前3名的有中国台湾、新加坡、俄罗斯、挪威和美国.从MPCK和MCK的总体排名来看，两者具有一致性.表5是职前教师MPCK排名前3位的国家和地区.

表5 职前教师MPCK排名前3位的国家和地区

台湾地区职前数学教师知识总体得分较高，其中小学职前教师有75%的师范生都超过了标准分；新加坡和美国小学职前教师MPCK水平要好于中学.俄罗斯的总体均值超过了第一个标准分（500分），同时瑞典的总体结果全部超过500分.虽然俄罗斯的MPCK水平高于瑞典，但相比来说，瑞典的分值更加集中，整体水平较高，俄罗斯的分值则较为分散，使得整体水平不是很高.

3 测试样题解析

TEDS-M对职前数学教师MCK和MPCK的测试题型有3种：多项选择题（Multiple-Choice, MC）、复杂多项选择题（Complex Multiple-Choice, CMC）、问答题（Constructed Response, CR）.前两项是封闭作答题，最后一项属于开放式建构题.鉴于前面已有简单选择样题，下面选择4道具有代表性的开放样题说明TEDS-M的测试重点和方式.

3.1 小学样题分析

教师给学生的一道试题：数列7, 11, 15, 19, 23, ……以4为增加单位.数列1, 10, 19, 28, 37, ……以9为增加单位.19是两个数列共有的数字.如果数列继续下去，两数列中下一个相同的数是多少？

问题1：此题正确答案是____

该题是MCK测试题中关于数据推理的简单开放试题，考察被试对数据规律的探究和模式的归纳水平，仅要求作答者给出正确答案，不需要运算过程.此题属于问答题类型，但TEDS-M对问答题的定义是建构的测试题，希望考察被试能从已知的数据中建构出未知的规律和模式.从内容上来看属于初级难度的题目，旨在测试职前教师的排列组合知识水平.选择高中的知识来考察小学教师的原因是 TEDS-M认为小学教师应该了解比自己所教学年级高的知识.所以，小学职前教师的测试题中除了少部分题目是小学数学的基本定理和运算法则，其余大多数是高中知识.

问题2：某一个学生给出的答案是27和46，请问学生得出这两个答案的理由是什么？

此题考察MPCK中实施数学教学知识（互动）中对学生的数学结果和讨论的分析能力，属于中等难度的建构题型.此题需要教师能够根据学生所给出的答案进行分析，考察教师是否了解学生的思维方式、解题方法、错误类型等.每一道试题都会根据预设的学生错误的原因给出相应的编码，以便于评估教师的MPCK水平.但是这种测试方式是静态的，它忽略了 MPCK的个体化和缄默性特点[8]，无法测量到实际教学过程中即时生成的MPCK.

3.2 中学样题分析

示例1：下图是关于xxysin-=的函数图象.

问题：请判断A点和B点谁的斜率更大，并写出运算过程.

此题是MCK中关于代数运用的高难度试题，属于建构题型.涉及的知识点有：斜率定义、导数概念、一次函数和三角函数导数的运算.该题涉及到的知识点较为广泛，注重对基础知识的考察，但难度并不是很大.由此也能看出，TEDS-M对MCK的考察重在基础知识的掌握和运用，并不要求过于复杂的数学推理和运算能力.

示例2：证明：3个连续自然数乘积是6的倍数.下面是3个学生的证明过程.

问题：请判断以上证明是否有效.

此题属于MPCK测试题目，考察职前教师评估学生数学学习结果的能力，属于实施教学知识范畴.该题给出了3类较为典型的证明方法：Kate的证明从内容和逻辑上来看是正确的，但没有用数学化的方式表达；Leon只是举例说明，没有说明对所有自然数都成立；Maria的证明较为完整且严谨.此题是封闭式题型，难度不高，但考察了职前教师对学生解题方式的熟悉程度和分析方法.对学生解题过程以及结果的诊断和评价是一项非常重要的教学能力，即能帮助教师了解学情，还能帮助教师制定教学策略.

TEDS-M试题设计的初衷并不是需要被试有高水平的数学知识，而是强调教师对基础知识和技能的掌握情况.这一类型的MCK试题不完全是测试数学知识的水平，而是结合了MPCK的内容，使得学科知识不单独于教学之外，利用具体问题情境考察职前教师的MPCK水平是主要的调查形式.

4 对中国职前数学教师教育研究的启示

4.1 政策约束

虽然研究者没有参与TEDS-M的比较研究，但从研究的过程和部分结果中可以反思中国的职前数学教师的教育水平和发展方向.首先，中国师范专业没有针对某一学科的招生要求，即师范类院校或教师教育机构对学生的数学成绩没有单独要求.从TEDS-M的调查结果可知，职前教师成就水平较高的地区或国家，如台湾地区、新加坡及德国等对职前教师的数学成就有较高的要求.此外，大部分参与国对选择成为小学教师的学生没有特殊的数学成绩要求，但对未来的中学教师的入学选拔有较高要求.

此外，中国大陆地区在职前教师的课程设置上也有别于中国台湾地区、韩国和新加坡等国家和地区.由于韩国和台湾地区的职前教师在学习了基础知识之后还会有一些辅助学科帮助学生聚焦自己所选专业的学习，而中国大陆4年制的课程与其他国家相比更加注重纯粹学科内容的学习，从而在职前教师提高MCK水平的同时忽略了MPCK的学习.所以，高标准的选拔制度以及平衡的课程设置是提高职前数学教师质量的首要方法.

4.2 课程设置研究

中国关于师范生MPCK的培养研究相较于其它学科少之又少，师范生的课程设置研究有不少，但针对数学学科的却很少.而且中国师范生虽然有心理学和教育学的课程，但这些课程是宏观的基础知识，没有将数学学习的心理和教育学知识以及相关研究放到数学师范生的培养课程中.所以，职前教师无法了解到学生数学学习的状况以及可能出现的问题，这也是职前教师MPCK水平较低的原因之一.此外，学科知识与教学知识不应该是不相关的知识体系，相反它们是相辅相成的关系.师范生需要学习大量的大学数学知识，同时是否还需要学习中小学数学知识体系和课程结构，以及这些知识需要占多少比例，这些问题需要进一步研究.

4.3 研究方法

由于目前中国职前教师教育研究很大程度上属于水平性研究，对职前数学教师的数学知识和数学教学知识水平问题很少使用实证性研究而且缺乏具有理论依据的研究框架和研究工具.TEDS-M系统全面地从教师教育政策、实践和准备等方面进行分析和测试，其中的研究视角和方法值得研究者借鉴.但TEDS-M的研究是静态的，尤其是对教师教学知识的调查研究并不全面，因为有很多教学知识是在实际的课堂教学中生成的，无法通过测试题得到.所以，在借鉴量化工具的同时，还需要结合大量的访谈、课堂观察、文本分析等方式来多角度研究MCK和MPCK.

5 总 结

对教师数学知识和数学教学知识的研究是一个发展促进的过程，近年来，中国的教师教育也在不断加强，不仅有针对教师学科知识培训的还有关注教师教学知识的.但是，中国对教师知识的研究缺少对教师知识和认知水平的深入系统认识，这样在教师培训上就不能起到很好的效果.所以，量化测评工具的开发和研究也是教师教育研究、实践以及国家政策制定的重中之重.另外，在课程设置上也应该关注职前教师对目前的教育趋向和教育方面的策略和方法的了解和学习，这样不仅可以帮助职前教师形成正确的教育观念，还有利于促进职前教师对课改成效的总结和反思[9].MCK是数学教学的基础，而 MPCK决定数学教师的教学能力[10].通过TEDS-M的比较研究，可以看到各国之间的异同和差距，才有助于思考中国职前教师教育的优势和存在的问题.

［参 考 文 献］

[1] 柳笛.美国数学教师学科内容知识的研究述评[J].数学教育学报，2010，19（6）：74-78.

[2] 菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学[M].舒湘芹，陈义章译.上海：复旦大学出版社，2007.

[3] Heather C Hill, Stephen G Schilling, Deborah Loewenberg Ball. Developing Measures of Teachers’ Mathematics Knowledge for Teaching [J]. The Elementary School Journal, 2013, (1): 105.

[4] 李渺，宁连华.数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义[J].数学教育学报，2011，20（2）：10-14.

[5] Teacher Education and Development Study in Mathematics [EB/OL]. http://www.iea.nl/ teds-m. html.

[6] 金美月，冯雪娇，刘立立.TIMSS数学评价框架趋势研究[J].外国中小学教育，2010，（11）：28-33.

[7] 江雪萍，苏洪雨.TIMSS 2007数学评价中的认知领域述评及启示[J].外国中小学教育，2008，（2）：55-58.

[8] 鲍银霞.TEDS-M对数学教学知识评价工具的研制及启示[J].课程教学研究，2013，（3）：28-32.

[9] 陈隽，康玥媛，周九诗，等.基于中美比较视角谈职前数学教师的培养和英才教育——蔡金法教授访谈录[J].数学教育学报，2014，23（3）：22.

[10] 童莉.数学教师专业发展的新视角——数学教学内容只是（MPCK）[J].数学教育学报，2010，19（2）：23-27.

[责任编校：周学智]

中图分类号：G451

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）02–0055–04

收稿日期：2015–12–20

基金项目：教育部人文社会科学重点研究基地重大项目——义务教育阶段数学学科核心能力模型与测评框架研究（11JJD880027）

作者简介：姚一玲（1987—），女，宁夏固原人，博士研究生，主要从事数学教师教育及课堂教学研究．

Study of Future Mathematics Teachers’ Knowledge Based on TEDS-M

YAO Yi-ling, FANG Ye-cheng, KONG Qi-ping
(Institute of Curriculum and Instruction, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Abstract:With the spring up of the international comparative education study, the international study of teacher education was gradually much accounted of researchers. Through the comparative study, different countries can learn with each other and self-assessment from teacher education practices, teacher education theories and future teachers’ education. This paper mainly introduced future teachers’ knowledge of Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M) which was developed by International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) in 2008, and then put forward the structures of teachers’ knowledge and gave analysis for some sample items. These introduction and analysis can be useful for giving some theories and thinking ways of teacher education in China.

Key words:mathematics teacher education; teachers’ knowledge; TEDS-M