以“抛物线”概念引入为例谈“问题解决”法的课堂引入策略

蔡小冲

[摘 要] 好的教学效果离不开有效的“课堂引入”. 结合问题解决法，数学概念课的引入可以从“借助直观，揭示本质”，“分层铺垫，目标分解”，“联想类比，促进迁移”这三个视角有效切入.

[关键词] 问题解决；高中数学概念；抛物线

每节课都是从“引入”开始的，引入是学生学习概念的基础. 如何有效引入，借助于引入提高学生的高中数学学习积极性呢？这是一个值得探究的话题.笔者认为引入概念的环节应该是预设问题和激发学生生成问题的重要环节，我们教师问题的预设应该具有针对性和趣味性，要能够激活学生的思维，将学生带到对问题的思考与研究中来，能够切身感受到引入问题的必要性与科学性，当然引入的方式应该是多元化的，本文以抛物线的概念教学为例就如何引入从不同的视角进行研究，望能有助于课堂教学实践.

直观化的引入，揭示概念的本质

高中生的数学思维往往还是以形象思维为主，随着数学概念的抽象性增强，学生感觉学习数学越来越难. 这时怎么办？尤其是有些生源较差的学校和班级，如何帮助学生理解抽象的数学概念呢？笔者认为应该注重教学的直观化处理，或采用实物，或引入直观的数学模型，借此建立直观的问题情景，引导学生由表象出发引出比较抽象的数学性质.

例如，抛物线概念的直观化引入可以进行如下设计：

1. 设计思路

从学生的生活实际来看，我们可以引导学生观看生活中的抛物线实例（多媒体辅助）：喷泉；跳水运动员高台跳水；飞机投炸弹等等.但是学生对于“概念”本身的理解是有难度的，为什么？学生面对生活中的这些实例，轨迹是不具体和直观的，对于实例中给出的轨迹到底是什么？学生无法凭空想象，如何解决？采用直观模型可以很好地解决.

2. 直观化导入设计

（1）在黑板上画一直线l，接着将直尺固定于直线l上，如图1所示；

（2）接着拿一个三角板，将其一条直角边靠近直尺的边缘；

（3）取一根细线，并截取细线长度等于AC，将其一端固定于三角板上的A点，另一端固定在黑板的一个点F上；

（4）请一学生走上讲台，用一支铅笔紧扣细线，并借助于三角板的直角边AC将细线绷紧让三角板沿着直尺上下滑动；

（5）观察滑动过程中铅笔留下来的曲线形态，分析曲线的特点.

3. 设计意图

借助于上面直观化的操作，5个环节的活动化操作，问题自然生成，整个运动轨迹可以是作为P点的运动，学生的思维转向该点具有怎样的几何特征呢？增加了“概念”的可信度，学生通过对直观化模型的分析，很自然地推出抛物线的定义，同时，笔者发现学生在思考与解决问题的过程中，有部分学生还提出了，如果点F在直线l上会是什么结果呢？通过进一步的思考，概念变得更为精致.

循序渐进地引入，分解学习目标

每节课都有核心概念，这是我们教学的知识目标所在，但是这个目标与学生的学情又往往存在一定的差距，怎么办？我们在导入的时候如果发生这种情况，笔者认为最佳的办法就是分解目标，并循序渐进地引入，引导学生拾级而上逐步地接近数学概念的本质.

例如，“抛物线”概念的循序渐进地引入设计如下.

1. 设计思路

考虑到大多数学生的学情，从学生的原有认知来看，他们对于抛物线与二次函数图象的联系，以及生活中有关物体抛物线状的运动轨迹是有一定的认识基础的.

那么，学生学习该概念存在的问题在哪里？

从初中的教材来看，学生是对抛物线有了一定的了解，但是初中教材对于“概念”更多的是描述性的，对于抛物线的本质特征没有涉及，初高中教材中对于抛物线的概念差距很大.可以说是几乎完全不同.怎么办？采用目标分解的引入方法，可以进行如下的设计.

2. 提出问题

问题1：我们在初中都学过二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），还记得它的图象是什么样？（抛物线），请你大致地画出该图象.

问题2：到下面收集一个学生画的抛物线并实物投影，然后将抛物线顺时针（或逆时针）转了90°，大家思考一下，这个图象还是不是抛物线呢？

学生对于开口朝上、朝下、朝左、朝右的抛物线有了一定的认识后，设置具体的活动，深入探索抛物线概念的本质.

3. 活动探究

借助于“几何画板”进行动态演示，如图2所示，定点F，直线l为不经过点F的定直线，H点为l上任意一点，现在过点H作MH⊥l，m为线段FH的垂直平分线，与MH交于点M，然后拖动点H，引导学生观察点M的轨迹，思考点M满足怎样的几何条件.

4. 设计意图

问题的设计和活动的设计均从学生的原有发展水平出发，他们已经知道y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，由此出发找学生潜在的发展水平——“抛物线的定义”. 什么是抛物线？“抛物线是到定点距离等于到定直线的距离的点的轨迹”. 上述设计从学生容易接受的知识出发，结合几何画板这一直观的工具实现了一步步思维和认知的跨越.

联想类比式导入，构建数学知识体系

学生的知识学习除了在某一个概念上深化外，还可以从其他数学概念的学习过程中将经验迁移到新概念的学习中来.

例如，抛物线概念的联想类比引入，可以进行如下设计.

1. 设计思路

从数学知识结构来看，“抛物线”、“椭圆”、“双曲线”这三个概念存在着千丝万缕的联系，我们可以站在统一的视角去思考“曲线的生成”、“曲线的性质”和“应用”等问题，但是实际的情况如何呢？学生解决实际问题的能力并不理想，什么原因导致的呢？笔者认为在概念课教学时，缺乏相互联系的渗透，为此在教学过程中应该注重类比与联想.

2. 提出问题

问题1：从学生前面学习的椭圆、双曲线出发，设置具有启发、引导性问题，在前面的学习中，我们已经研究了椭圆和双曲线，知道平面内一个定点与到一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，回忆一下分别满足什么条件轨迹为椭圆和双曲线？（椭圆，01）.

问题2：如果e=1，轨迹又是什么呢？

3. 活动探究

此处的探究与“上文二”中的活动探究一样，不再赘述.

4. 设计意图

该种导入方式，在引入概念的阶段，从学生已有的知识基础（椭圆、双曲线概念及其学习过程）出发，创设了有利于激发学生学习主动性的问题情境，激活内驱力.从问题的设计来看，问题的切入点在于“离心率的关系”，“椭圆”和“双曲线”的“离心率的关系”学生是熟悉的，那么问题抛出引发认知冲突，即为什么两个概念中都不涉及e=1的情况呢？如果e=1，轨迹又是什么呢？通过这个问题很自然地完成思维的切换，学习活动自然过渡到对“到定点和定直线距离相等的点的轨迹”的探究. “椭圆”、“双曲线”、“离心率”等概念是学生的原有发展水平，在讨论和交流的过程中，类比到新概念，同时学生的大脑中对于几种圆锥曲线的联系也有了初步的印象，为概念的统一和数学知识结构化建立打下基础.

通过上文的分析，我们可以总结出“问题解决”法的课堂引入的基本原则：第一，我们的导入环节应该注重直观性原则. 数学概念较为抽象，学生不易理解，所以要充分借助直观模型，帮助学生更好地理解概念，促进学生对概念的掌握；第二，我们的导入环节也应该注重过程性原则，即不是直接将概念抛给学生，数学概念的形成，是一个逐步完成的过程，并不是一蹴而就的，很多概念的形成，都需要经历一些必要的过程，因此我们要认识到概念形成的过程性，在导入阶段从学生的认知基础出发设置合理的问题，让学生通过对问题的思考和活动探究来尝试着解决问题，逐步接近概念；第三，我们的导入还应该注重数学知识的内在结构性. 数学概念具有严谨的逻辑结构，富有层次性. 所以我们要充分认识到这一点，通过合理的方法，选择恰当的策略，促使学生建立概念网络，促进概念的理解.