新课标全国卷立体几何考题分析及2016备考建议

胡浩 马林

[摘 要] 从2016年开始，安徽等省份将采用全国卷进行高考. 全国高考卷与分省高考卷有什么异同？如何适应全国卷高考？如何开展2016年高考数学复习？本文从立体几何模块展开具体论述，并提出2016年立体几何的备考建议.

[关键词] 全国卷；立体几何；试题分析；备考建议

立体几何是高中数学的主干知识.课程标准下的高中数学教材螺旋式地安排了两部分内容：《数学2》（必修）；《数学》（选修2-1）. “空间几何体”、“点、直线、平面之间的位置关系”、“空间直角坐标系”和“空间向量与立体几何”作为高考必考内容，在历年的试卷中已成保留“节目”. 笔者以2013-2015年新课标全国高考数学卷（理科）为例，分析立体几何试题的命题特点与规律，并提出几点备考对策，供各位同仁高三复习参考.

新课标全国卷立体几何试题归纳

纵观2013—2015年新课标全国高考数学卷，从年份、卷号、题号、分值、问题的载体、考查的知识点与方法等几个方面，制成下面的表格（见表1），从中可以透视近三年立体几何的命题视角和考查方向.

新课标全国卷立体几何试题分析

？摇？摇从2013—2015年新课标全国高考数学卷汇总表可以看出，立体几何注重能力考查，题型题序相对稳定.一般命制两个选择题，一个解答题，合计22分. 选择题一易一难，难易相间；解答题一般在18或19题的位置，属容易题或中档题，难度不大. 下面从命题立意、考查重点等技术层面分析近三年立体几何高考题.

1. 创设实际情境，考查数学应用

高考中考查应用题已成为常态.创设一个实际情境，考查学生阅读审题和数学建模的能力，呈现“数学来源于实际”的课程理念. 这类题题号靠前，承载的几何体较简单，难度适中偏易，学生容易得分.

例1 （2013年Ⅰ卷题6）有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

【试题分析】 立体几何应用问题在近三年中均在第6题中考查不是偶然的巧合，反映出命题者的立意：考查数学的实际应用，但又不想增加试题的难度，保持该型题难度的相对稳定中等略偏下，要求学生有较强的数据处理能力和运算求解能力. 另外，2015年Ⅰ卷考题6（例2）渗透了数学文化与数学史，这是全国高考数学命题的新动向，值得我们关注！

2. 坚持通性通法，考查主干知识

所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法. 全国高考数学命题的基本原则是淡化特殊技巧，注重通性通法，强调对具有普遍意义的方法和相关知识的考查. 通性通法不仅能全面透视出立体几何的本质与内涵，而且对全国考生来讲背景也是公平的. 立体几何中的核心概念、主干知识、常规思想方法是常考并力求创新.

图3？摇？摇

【试题分析】 用几何法或向量法求空间角：异面直线所成角、线面角、二面角，证明线面平行或垂直、面面平行或垂直，求几何体的体积等都是全国高考立体几何的“常客”，命题者的意图在于用主干知识挑大梁，但在知识点的分布上力求均衡，即：线面平行或垂直只考其一，空间角只考其一，且都是“一拖二”型，一题证明推理，一题计算求空间角或体积.

3. 揭示逻辑关系，考查推理能力

数学能力的核心是逻辑思维能力，突出考查的是理性思维，而思想的过程是靠逻辑推理来完成的，因而推理论证能力是高考考查的着力点. 说一个命题为假，只需要举出一个反例；判断一个命题为真命题，必须给出证明过程，这是进行逻辑推理的基本范式. 在推理过程中，要求理由充分、层次清楚、书写规范. 清晰而规范的解题思路来自对立体几何相关定义、定理、公理的准确理解和灵活应用.

例6 （2013年Ⅱ卷题4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β. 直线l满足l⊥m，l⊥n，l？埭α，l？埭β，则（ ）

A. α∥β且l∥α

B. α⊥β且l⊥β

C. α与β相交，且交线垂直于l？摇

D. α与β相交，且交线平行于l

例7 （2013年Ⅰ卷题18）如图4，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（1）证明：AB⊥A1C；

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

【试题分析】 全国高考对推理能力的考查是客观题和主观题双管齐下，考查的对象是立体几何中的主干知识——空间中点、线、面的位置关系. 必须要指出的是2015年Ⅱ卷题19，要求画出两个相交平面的交线，此类题在消失多年后又“卷土重来”，绝非只是命题者的一时兴起，它与人民教育出版社章建跃博士“作图是立体几何学习的第一大事”的理念遥相呼应，这个变化也值得关注！

4. 重视动态问题，考查探究能力

运动、变化是几何的重要特征之一，在运动、变化中探究几何性质，在变化中寻求规律，在变中探究不变，在动中探索不动，是对学生高层次思维能力的考查. 这类问题常在解答题中出现，但也有年份在客观题中出现.？摇

例10 （2015年Ⅱ卷题9）已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

（ ）

A. 36π B. 64π？摇

C. 144π？摇？摇？摇？摇？摇 D. 256π

【试题分析】 解决立体几何中的“动态问题”，关键是要引导学生探究图形运动过程中的“不变量”，抓住它，问题就能得到解决. 在例10中，动点C运动的不变量是点C到球心O的距离即球半径，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径端点时，三棱锥O-ABC体积最大，据此得到球半径的大小，问题获得解决. 让学生的思维在关键处闪光，能力在要害处增长，弱点在隐蔽处暴露，意志在细微处磨砺，这是数学解题教学的根本任务.