关于矩阵的Frobenius内积的一个推广*

刘燕秋, 余 波

( 三峡大学 理学院, 湖北 宜昌 443002)

关于矩阵的Frobenius内积的一个推广*

刘燕秋, 余 波

( 三峡大学 理学院, 湖北 宜昌 443002)

推广了矩阵的Frobenius内积的定义, 并在新的矩阵范数意义下, 证明了其矩阵空间是一个严格凸的赋范线性空间.

矩阵空间; 向量内积; 矩阵内积

0 引言

矩阵的Frobenius内积是线性代数中的一个基本概念,在很多领域都有广泛的应用.这些经典的应用包括凸优化以及对称半正定矩阵的规划问题,[1-2]求解对称矩阵特征值的界的问题[3]以及对对称矩阵的反特征值的数值算法设计[4]等等.近年来,有学者利用矩阵的Frobenius内积定义了旋转矩阵群上的平均,[5]用奇异值分解方法和关于Frobenius内积的正交补方法刻画了Moore-Penrose逆的推广.[6]根据矩阵的Frobenius内积可以诱导出矩阵的Frobenius范数,矩阵的Frobenius范数一样应用广泛.比如,有学者利用矩阵的Frobenius范数定义了一类子空间上的矩阵反问题,[7]讨论了矩阵方程Ax=B的反对称正交对称解的存在性的充要条件,[8]刻画了稀疏矩阵的低秩逼近的误差分析,[9]以及按照矩阵的Frobenius范数定义的度量研究了不足采样下的低秩矩阵重构问题[10]等等.

鉴于矩阵的Frobenius内积和范数的重要性,在1960年,有学者曾将矩阵的Frobenius内积推广到了更一般的代数结构上去.[11]本文将基于矩阵的Frobenius内积的定义方法, 引入一个m×m阶的对称正定矩阵C, 并利用C定义一个新的矩阵内积. 当C退化为m阶单位矩阵时, 此推广的矩阵内积便为传统意义下的Frobenius内积. 根据推广的矩阵内积可以诱导出相应的矩阵范数, 并可以证明赋予该范数的矩阵空间为严格凸的.

1 新的定义及预备知识

首先推广向量的内积.

定义1 设C是给定的m×m对称正定矩阵. 在实数域R上的m维向量空间Rm中, 对于任意的两个向量x=(x1,x2,…,xm)T,y=(y1,y2,…,ym)T, 我们定义〈x,y〉C=xTCy为向量x和y关于C的一个关系.

下面我们证明上述关系满足内积的要求.

定理1 设x,y,z∈Rm,c为任意实数, 则定义1中的关系满足如下性质:

1)交换律: 〈x,y〉C=〈y,x〉C;

2)齐次性:〈cx,y〉C=c〈y,x〉C;

3)分配律: 〈x+y,z〉C=〈x,z〉C+〈y,z〉C;

4)非负性:〈x,x〉C≥0且〈x,x〉C=0当且仅当x=0.

2)〈cx,y〉C=(cx)TCy=cxTCy=c〈y,x〉C.

3)〈x+y,z〉C=(x+y)TCz=(xT+yT)Cz=xTCz+yTCz=〈x,z〉C+〈y,z〉C.

4)由C的正定性易见, 〈x,x〉C=xTCx≥0且xTCx=0当且仅当x=0. 证毕.

根据定理1, 可以看到(Rm,〈·,·〉C构成了一个内积空间. 类似的, 我们可以定义矩阵空间Rm×n上的一个关系.

定义2 设C是给定的m×m的对称正定矩阵.A,B∈Rm×n，我们定义〈A,B〉C=tr(ABTCT)为矩阵A,B关于C的一个推广的Frobenius关系, 其中tr(·)表示矩阵的迹.

我们将证明推广的Frobenius关系满足内积的要求, 为此, 首先回顾如下两个结果.[12]

引理1 设A∈Rm×n, C为m×m的对称正定矩阵, 则AAT与CT的乘积的特征值非负.

引理2 若A,B是Rm×m中的对称半正定矩阵,λ(·)表示矩阵的第i个特征值,i=1,2,…,m,且按递减顺序排列, 那么对任意的r+s≤m-1, 有

λm-r-s(AB)≥λm-r(A)λm-s(B)

(1)

现在可以证明如下定理.

定理2 设A,B,D∈Rm×n,C为m×m的对称正定矩阵,c为任意实数, 则推广的Frobenius关系满足如下性质:

1)交换律: 〈A,B〉C=〈B,A〉C;

2)齐次性: 〈cA,B〉C=c〈A,B〉C;

3)分配律:〈A+B,D〉C=〈A,D〉C+〈B,D〉C;

4)非负性:〈A,A〉C≥0 且〈A,A〉C=0当且仅当A=0.

注意到CT=C, 有〈A,B〉C=〈B,A〉C.

2) 设A,B∈Rm×n,C∈Rm×m且CT=C,c为任意常数, 则 〈cA,B〉C=tr(cABTCT)=ctr(ABTCT)=c〈A,B〉C.

3) 设A,B,D∈Rm×n,C∈Rm×m且 CT=C, 则〈A+B,D〉C=tr[(A+B)DTCT]=tr(ADTCT+BDTCT)=tr(ADTCT)+tr(BDTCT)=〈A,D〉C+〈B,D〉C.

4)设A∈Rm×n,C∈Rm×m且CT=C, 则〈A,A〉C=tr(AATCT)≥0. 最后我们运用引理1和引理2来证明〈A,A〉C=0当且仅当A=0. 一方面，A=0当然意味着〈A,A〉C=0. 另一方面,

(2)

注1：由定理2可知,(Rm×n,〈·,·〉C)构成了一个内积空间. 当m×m的正定矩阵C取为单位阵时, 〈·,·〉C便为传统意义下的Frobenius(也叫Euclid)内积, 即

〈A,B〉C=tr(ABTCT)=tr(ABT)

(3)

在本节的最后, 我们回顾一个将在下一节中应用的结论.

引理3 设A,B,C∈Rm×m, 则

tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB).

2 主要结果

下面我们将证明(Rm×n,‖·‖C)为严格凸的赋范线性空间. 为了证明这一结果，我们首先回顾如下定义.

定义3 赋范线性空间(Rm×n,‖·‖)称为严格凸的，是指任意A,B∈Rm×n,A≠B必有‖A‖=‖B‖=1,意味着‖αA+βB‖<1(任意α,β>0,α+β=1).

根据此定义可以证明如下结论.

定理3 赋范线性空间(Rm×n,‖·‖C)是严格凸的.

证明:我们只要证明对任意A,B∈Rm×n,A≠B必有‖A‖C=‖B‖C=1，意味着‖αA+βB‖C<1(任意α,β>0,α+β=1 ). 反设‖αA+βB‖C=1，由简单的计算得

‖αA+βB‖C=

(4)

α2+2αβtr(ABTCT)+β2=1

(5)

由α+β=1有

α2+2αβ+β2=1

(6)

将(5)式与(6)式相减得到

2αβ[tr(ABTCT)-1]=0,

因为αβ≠0，所以tr(ABTCT)-1=0,即tr(ABTCT)=1. 因此就有

tr(ABTCT)=tr(AATCT)=tr(BBTCT)=1

(7)

下面我们将分两种情况证明(7)式蕴含着结论A=B,得到矛盾.

1)若正定矩阵C取为m阶单位矩阵，有

tr(ABT)=tr(AAT)=tr(BBT)=1,

设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,

另一方面, 由Cauchy不等式有

其中等号成立，当且仅当

aij=kbij,i=1,…,m,j=1,…,n

(8)

2)若C为一般的m×m正定矩阵, 则存在实可逆m×m矩阵P, 使得PTCTP=E,即CT=(P-1)TP-1.令G=P-1A,H=P-1B,则由引理3有

tr(AATCT)=tr[AAT(P-1)TP-1]

=tr[P-1AAT(P-1)T]=tr(GGT)

(9)

类似地, 有tr(BBTCT)=tr(HHT),tr(ABTCT)=tr(GHT) . 这样,类似(1)的证明过程可以得到G=H, 即P-1A=P-1B, 因此A=B.

综合上面两种情况都可以得到A=B,与条件中A≠B矛盾. 故‖αA+βB‖C<1. 证毕.

[1] Boyd S., Vandenberghe L.. Convex Optimization [M]. Cambridge University Press, 2004.

[2] Alizade F.. Interior point methods in semidefinite programming with application to combinatorial optimization [J]. SIAM. Optim. 1995,5(1):13-51.

[3] Pablo Tarazaga. Eigenvalue estimates for symmetric matrices [J].Linear Algebra Appl., 1990,135:171-179.

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[6] Antonio Suarez, Luis Gonzalez. A generalization of the Moore-Penrose inverse related to matrix subspaces of [J].Appl. Math. Comput, 2010,216:514-522.

[7] 袁永新.子空间上的一类矩阵反问题[J].高等学校计算数学学报, 2005,27(1):70-77.

[8] 张宗标.矩阵方程AX=B的反对称正交对称解及其最佳逼近 [J].广西民族大学学报:自然科学版, 2013,19(4):48-54.

[9] Zhenyue Zhang, Hongyuan Zha, and Horst Simon. Low-rank approximations with sparse factors I: Basic algorithms and error analysis [J].SIAM J. Matrix Anal. Appl., 2002,23(3):706-727.

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[11] Ali R. Amir-Moez, Chandler Davis, Generalized Frobenius inner products [J].Mathe. Annalen, 1960:107-112.

[12] Zhang F..Matrix Theory, Basic Results and Techniques [M]. Second Edition, Springer, 2011.

[责任编辑 苏 琴]

[责任校对 黄招扬]

An Extension of the Frobenius Inner Product for Matrices

LIU Yan-qiu, YU Bo

(CollegeofScience,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,China)

An extension of the Frobenius inner product for matrices is introduced, from which the corresponding norm for matrices is defined. Under this new matrix norm, the matrix space is proved to be a strictly convex normed linear space.

matrix space; inner product for vectors; inner product for matrices

2016-06-20.

国家自然科学基金资助(11301296).

刘燕秋(1991-)，女，三峡大学理学院硕士研究生，研究方向: 逼近论. 通信作者：余波(1979-)，男，博士，三峡大学副教授，研究方向: 计算与应用调和分析,逼近论.

O151.21

A

1673-8462(2016)04-0064-03