规律探索型试题解法探究

孙霞

规律探索型试题是根据已知条件中所提供的若干特例，通过观察与猜想、类比与分析、探索与归纳，发现题目所蕴涵的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都令人耳目一新.规律探索型问题涉及知识面广，形式灵活多样，尤其突出了对考生分析问题与解决问题、探究与创新能力的考查，备受各地中考命题者的青睐，解答这类题目，不仅要求考生具备扎实、全面的数学基础知识，而且要有较强的观察思考、推理探究、演绎归纳能力.该类试题主要类型有数字型、代数式型、几何变换型、排列型等.现举例分析如下.

一、数字型

例1请观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15……2，5，8，11，14，17，20，23……7，13，19，25，31，37，43，49……这三组数具有共同的特点.现在有上述特点的一组数，第一个数是3，第三个数是11，则其第n个数为（）.

A.8n-5B.n2+2

C.4n-1D.2n2-4n+5

解题策略：先探索各组中数与数之间存在的和、差、倍、分等规律性的关系，进而确定三组数存有的共同特点，并据此构造符合条件的新数组，最后根据数字与其序号的关系表示出第n个数.

解：第一组每相邻的两个数相差2，第二组每相邻的两个数相差3，第三组每相邻的两个数相差6，即这三组数具有的共同特点是：各组中任意相邻两个数的差均相等.故新数组相邻数字的差为（11-3）÷2=4，则第一个数3=4×1-1，第2个数7=4×2-1，第3个数11=4×3-1……故第n个数为4n-1.

二、代数式型

例2还记得高斯快算整数加法的故事吗？对于1+2+3+…+100，我们可以将其再写成100+99+98+…+1，然后两式相加便可以达到均衡配置，由（100+1）×100×12获得结果.对于12+22+32+…+1002，我们可以把12看成1+1相加，22可看成2个2相加，32可看成3个3相加……于是12+22+32+…+1002可以看成如图1中所有数字之和，再把它变换数字位置分别得到如图2、如图3，这样每个位置上的三个数字之和也达到了均衡配置.请你根据图中的规律，计算12+22+32+…+1002的结果.

解题策略：阅读题目所给的计算方法，把各数组通过叠加转化成乘法运算，除以3后，即为所求算式的结果.

解：根据题意所述方法与规律，发现三个图中每个对应位置处的三个数字之和均为201，且对应位置为（1+2+3+4+…+100）个，于是12+22+32+…+1002=201×（1+2+3+…+100）×13=201×5050×13=338350.

三、几何变换型

例3用正三角形、正四边形和正六边形按如图4的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比前一个图案中正三角形的个数多4个.则第个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）.

解题策略：该类问题常见的解法有三种，一是根据几何图形的变换规律直接求解；二是数一数各图案中所指图形的具体个数，把图形规律转化成数字规律求解；三是借助函数知识求解.解略.

四、排列型

例4如图5，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2014个点的坐标为.

解题策略：结合图形，从特殊点入手，如个数为完全平方数的点具有规律性，并根据规律，找出与2014最接近的完全平方数，再根据箭头走向即可推测出第2014个点的具体坐标.解略.