一类带有非线性源的扩散系统研究

裴海杰, 赵文波，杜宛娟

(西华师范大学 数学与信息学院, 四川 南充　637009)

一类带有非线性源的扩散系统研究

裴海杰, 赵文波，杜宛娟

(西华师范大学 数学与信息学院, 四川 南充637009)

摘要：主要在齐次的Neumann边界条件下，对两类带有指数反应项与积分项的扩散系统展开研究。 通过构建常微分系统证明了解的全局存在性，并得到解爆破、全局存在的充分条件.此外,对于爆破解,还给出了关于解的爆破精确估计，以及其在爆破时刻的渐近行为。

关键词：扩散系统； 爆破； 渐进性；齐次Neumann边界条件

0引言及主要结果

本文主要对两类带有非线性源的扩散系统展开研究。一个是带有局部反应项的指数扩散系统

(1)

另一个则是带有空间积分项的扩散系统

(2)

其中x0∈Ω(⊂RN)是一个固定点，且p,q>0 。 由积分均值定理知扩散系统(1)与(2)之间存在某种联系。 每个系统都将在带有齐次Neumann边界条件及有界光滑区域Ω内进行研究, 初值为

u(x,0)=u0(x),ν(x,0)=ν0(x),x∈Ω。

(3)

核函数J∶RN→R满足∫RNJ(x)dx=1,且u0(x),ν0(x)是非平凡非负的连续函数。

系统(1)、(3)描述了某些物理现象，动力系统中非线性反应仅发生在一个单点(参看[1-3])。 方程组(2)、(3)则与一些压缩气体的点火模型有关(参看[3，4])。

本文的主要目的在于给出系统(1)、(3)与(2)、(3)的爆破、全局存在条件以及建立对爆破速率的精确估计。

下面陈述本文的主要结论。

定理1(Ⅰ)如果0

(Ⅱ)如果pq>1,那么扩散系统(1)、(3)与(2)、(3) 在有限时刻爆破。

定理2设扩散系统(1)、(3)或(2)、(3)的一组解(u,v)在有限时刻T处爆破， 则

2解的全局存在与有限时刻爆破

现在, 给出两个比较原理的证明。

引理1设(u,ν)是下列问题的一组经典解，

经计算易得

(4)

(5)

而与不等式(5)相矛盾。

结合以上不等式和(4)可得

且

不难看出，上述不等式给出了δ的一种选取方式，且证明了我们之前的断言。 因此，对一切(x,t)∈Ω×[0,T) ，都有u(x,t)≥0,ν(x,t)≥0。

引理2设(u,ν)是以下问题的一组经典解

证明由于证明方法与引理1相似，这里不再赘述。

现在我们来证明定理1。

定理1的证明(I) 对于0

同理有

其中常数C足够大。

如果pq=1且q≤1，固定C>0。 令u=Cekpt,ν=Cekt，其中k>0。 如此我们便可得到

其中k足够大。

(Ⅱ)如果pq>1,对于扩散系统(1)、(3), 考察常微分系统

φ′(t)=γp(t),γ′(t)=φq(t),t>0,

φ(0)=a>0,γ(0)=b>0,

经计算可得

(6)

于是我们有

那么γ(t)在pq>1的条件下于有限时刻爆破，由(6)可知φ(t)也在有限时刻爆破。

对问题(2)、(3),考察常微分问题

φ′(t)=|Ω|γp(t),γ′(t)=|Ω|φq(t),t>0，

φ(0)=a>0,γ(0)=b>0，

其中对a,b的限制如上。 由于与扩散系统(1)、(3)相似，其证明过程在此略去。

2爆破估计及渐近行为

(7)

其中fi(t)(i=1,2)为由u,ν所确定的非负函数。 若∫0Tf1(s)ds=+∞ ，∫0Tf2(s)ds=+∞,则

(8)

(9)

其中Fi(t)=∫0tfi(s)ds。

证明由ut=∫ΩJ(x-y)(u(y,t)-u(x,t))dy+f1(t)得ut≥-u(x,t)+f1(t)。对以上不等式左右同乘et并在[0, t]上积分可得,u(x,t)≥e-tu(x,0)+e-t∫0tetf(s)ds。于是u(x,t)≥C∫0tf(s)ds，其中x∈Ω且0

同理可得对一切x∈Ω，如果∫0Tf2(s)ds=+∞成立，则ν在有限时刻T爆破。

定理2的证明(Ⅰ)令f1(t)=νp(x0,t),f2(t)=uq(x0,t),Fi(t)=∫0tfi(s)ds(i=1,2)。

由上述等式及引理3可得

于是

易得

所以

对上述等价式在(t, T) 积分可得

再次使用引理3即可得到所证结论。

(Ⅱ)对于系统(2)、(3), 只需令

f1(t)=∫Ωνp(y,t)dy, f2(t)=∫Ωuq(y,t)dy, Fi(t)=∫0tfi(s)ds(i=1,2)。

同样假设u与ν在同一时刻T爆破。 结合上述等式及引理3,使用Lebesgue控制收敛定理可得,

F1′(t)=f1(t)=∫Ωνp(y,t)dy～|Ω|F2p(t),t→T,

F2′(t)=f2(t)=∫Ωuq(y,t)dy～|Ω|F1q(t),t→T。

以下证明过程与(I)相似, 这里略去。 至此, 定理2证毕。

参考文献：

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Research on a Diffusion System with Nonlinear Sources

PEI Haijie,ZHAO Wenbo,DU Wanjuan

(College of Mathematic and Information,China West Norm University,Nanchong Sichuan 637009,China)

Abstract:This paper mainly investigates two types of diffusion system with exponent reaction term and integral term under the homogeneous Neumann boundary conditions.We prove global existence of solutions by constructing ordinary differential system,and obtain the sufficient conditions of global solutions’ existence and blow-up.Moreover, we also propose a precise estimate for blow-up solutions and the corresponding asymptotic behavior at the blowing up time.

Keywords：diffusion system;blow-up;asymptotic behavior；homogeneous Neumann boundary condition

文章编号：1673-5072(2016)02-0195-05

收稿日期：2015-09-08

基金项目：国家自然科学基金项目(11301419)；四川省教育厅重点项目(13ZA0010，14ZB0143)；西华师范大学大学生科技创新项目(427120)

作者简介：裴海杰(1991—)，四川广安人，硕士研究生，主要从事微分方程研究。 通讯作者：杜宛娟(1981—)，四川达州人，副教授，主要从事微分方程研究。E-mail: 80822885@qq.com

中图分类号：O175.2

文献标志码：A

DOI：10.16246/j.issn.1673-5072.2016.02.013