五点定椭圆的尺规作图方法

2016-07-06徐文平

数学学习与研究 2016年11期

【摘要】已知椭圆上五点，确定椭圆圆心、主轴方向和长轴短轴等三个步骤，尺规作图椭圆.

一、通过五点寻找椭圆圆心

原理：通过已知的五点，作椭圆的切线，获得椭圆割线的极点，将割线中点和割线极点和连接，其延伸线必定通过椭圆的圆心.

椭圆切线做法：帕斯卡定理（五点+切点二次）做切线，或如图1作椭圆切线.

如图1，已知椭圆上P，H，G，Q，A五点，利用椭圆内接四边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T，可绘制极点T的极线E F，利用椭圆内接四边形PQAB（H）确定对角线PQ和AB（H）交叉S点（利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点B点，替换H点），绘制极点S的极线MN，极线MN和极线EF交于C点，C点即为PQ割线的极点.

证明：依据极点极线的对偶定理，由于 S，T为PQ极线上的二点，可知S、T极点的极线MN和极线EF相交点C，就是割线PQ的极点.

依靠极点C，利用三割线定理及阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多的椭圆临时点.

二、确定椭圆坐标主轴方向

原理：通过已知的椭圆圆心和椭圆A、B、C三点，可构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向.

1.构造椭圆的共轭直径

如图2，通过A点和椭圆圆心可构造D点，连线AD为椭圆直径，过C点作NA切线的平行线CL，割线CL即为直径AD的共轭弦.

作直径为AD的圆，垂直于AD过Q点作PQ，形成三角形ΔPQL.垂直于AD过圆心O点作KO线段，过K点作P L的平行线，KE和OE延伸交于E点.依据仿射原理，可知，OE即为椭圆的共轭半径，AD和EF为二条共轭直径.

2.构筑椭圆坐标主轴方向

如图3，共轭半径OE旋转90度，获得N点，连接NA连线，获得NA中点K，以K点为圆心作一个任意半径的圆，与KO交于W点，与NA交于H，G二点.则WG为椭圆长轴方向，HW为椭圆短轴方向，完成椭圆坐标主轴方向确定.

三、确定椭圆长轴a和短轴b

原理：已知椭圆圆心和椭圆坐标主轴方向，已知椭圆上二点，利用极点极线关系公式，确定椭圆长轴a和短轴b位置.

如图4，作B点获得轴对称C点，连线AC延伸与椭圆长轴交于N点，则N点与C点对偶关系.连线QN，K为QN中点，以K圆心半径为KN画圆，过O点作圆K的切线OH，以OH为半径原点O为圆心作一个圆，与 x轴交于F点，F点即为长轴a位置.同理可以完成椭圆短轴b位置.