例谈“线性代换”法证明不等式

洪木山

变量代换是解决数学问题的常用技巧，在一些数学试题中出现频繁.对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可以适当引进一些新的变量替换（或者部分替换）原来的变量，达到简化结构，凸显特征的目的，是转化与化归的数学思想的重要体现.最常用的代换是“线性代换”，下面通过举例子来说明用“线性代换”证明不等式.

例1 設a>1，b>1，求证：a2b-1+b2a-1≥8.

分析 这个看似简单的问题采用常规的方法来解并不顺利，如果分别用x，y来替换不等式中的分母b-1、a-1，则不等式的结构就会发生明显的变化.