“利用导数求参数取值范围”一题引发的思考

王中其

一天两位学生问了我一道题目：若函数在上是增函数，则a的取值范围是（）。

A.[-1，0]B.C.[0，3]D.

学生甲解法：

解：由条件可知在上恒成立，

即在上恒成立，则当，

又时，，

函数在上为减函数，，所以。

学生已解法：

解：∵因为函数在上是增函数

∴函数的导函数在上恒成立，则，

∵，，解得：

作为老师我们当然知道甲的解法是正确的，乙的解法高中阶段存在理论上的支持问题，但关于乙解法中存在的问题，我们该如何给甲解释呢？

我問乙：（1）由函数在上是增函数得出函数的导函数在上恒成立的理论依据是什么？（2）由解出的a的值是否满足对任意的都使得函数在上是增函数呢？

乙回答：（1）数学选修教材2-2P23页关于函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增;如果，那么函数在这个区间内单调递减。（2）我们可以多带几个数字进行检验，应该没有问题的。

我提示：改为：其他条件不变，请用你的方法分别计算出结果。

过程摘录如下：

（1），则，解得：

（2），因为，所以只需满足时，从而解得：。到此我们发现两种方法的答案任然是一样的，那么是不是这两种解法是通用的呢？

我问道：在什么情况下，命题“在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增;如果，那么函数在这个区间内单调递减”的逆命题是成立呢？事实上，关于这个问题学生目前无法回答，但是我们有很多题目如果直接套用这个结论会简化计算，给解题带来很多方便。

选修2-2P23页图1.3-2中有反函数的图像教材要求同学们“观察下面一些函数的图像，讨论函数的单调性与其导函数的正负关系。

我们知道反比例函数在定义域上

不是减函数，即他在上

不具有单调性。所以对于区间

即使函数满足，他仍然在这个区间内不满足单调递减。为什么呢？我们仔细观察，当自变量x分别从x轴正、负半轴趋近原点时，因变量y的取值是不相等的。我们把这种使得函数无定义或者在此不连续的点称为间断点，显然一个函数有了间断点他在这个区间上就无法求导或者不是连续（当自变量x从x轴负半轴趋近0时，因变量y取值越来越小;当x从x轴正半轴趋近0时，y取值越来越大，两者不相等）。进而我们可以得出结论：

如果函数在区间上连续可导，则命题“如果，那么函数在这个区间内单调递增;如果，那么函数在这个区间内单调递减”的逆命题也成立。那么以后我们遇到连续可导的函数便可以借用此结论解题了。

所谓“一题多解”即同一数学问题用不同的数学方法来解答。其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。一题多解能快速整合所学知识，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力。苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”其中强调“横看”、“侧看”、“远看”、“近看”、“高看”、“低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。那么“一题多解”有哪些妙用呢？

我以为一能提高学生分析、解决问题的能力，能够使学生开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，使用自如。如本篇这道题目两种解法各有千秋，解法一让人一目了然，可以培养学生处理问题的掌控能力，鼓励学生在处理问题时要全面分析，把握各个要素，理清各自关系，按部就班，步步为营，各个击破。解法二是在对基础知识的熟知之上，运用对知识深刻理解后的“结论”处理各要素关系，进而使问题迎刃而解，是一种简便快捷而有效的方法。通过对这种一题两解的培养，可以锻炼学生在对基础知识和方法的掌握之后进行融会贯通，灵活运用。二是能提高多角度分析问题的能力，可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。三是可以培养发散思维及联想能力。 通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通。这种多知识点的解法，让学生真正体会到了数学的魅力，更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意，对培养学生的发散思维能力起到了积极的影响作用。

总之，学生的思维需要我们去开发，我们如果能从一道题目入手，从一个概念入手，从一个探究入手，从我们的一个问题入手，让思维的启发无处不在，让学生的成长无处不在，我们的教育就是成功的。