基于JSS矩阵的装配精度分配方法

吕　程　刘子建

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082



基于JSS矩阵的装配精度分配方法

吕程刘子建

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082

摘要：采用小位移旋量描述结合面误差，分析了典型结合面的误差传递属性。定义了结合面的信息集成表达符号，结合多色集合理论，建立了描述装配关系、结合面类型、结合面误差传递属性的结合面符号矩阵，进而提出了装配误差传递路径的搜索方法。分析了结合面间的关系对误差传递的影响，建立了结合面的实际误差传递属性矩阵，获取了各误差分量的传递路径,明确了影响装配体精度的关键误差分布。根据多体运动学原理建立了装配体误差模型，结合装配体精度要求进行了结合面精度分配，进而实现了结合面相应几何要素的精度分配。为正向公差设计与装配过程精度控制提供了依据。最后通过实例分析，验证了该方法的可行性与实用性。

关键词：小位移旋量法；多色集合理论；JSS矩阵；误差传递路径；精度分配

0引言

在机械产品的生命周期中，精度设计与控制是决定产品最终质量的关键因素之一[1]。传统的精度设计主要依赖于经验，不能直接满足产品精度要求，难以获得较低的制造成本[2]。高精度复杂机械产品的精度设计体现出了高难度及重要性，是目前精度理论研究的重点之一。

国内外学者对精度设计方法展开了大量的研究，并获得了相应的成果。杨波等[3]研究了生长型设计中尺寸链以及形位公差项目的自动生成，建立了公差进化设计的基本过程模型。金秋等[4]从资金的时间价值角度改进公差成本模型，建立了并行公差设计的目标函数，实现了公差优化设计。Kumar等[5]使用拉格朗日乘子法在最低成本基础上同时分配设计公差与制造公差。Jeang[6]采用蒙特卡罗法进行模拟实验，采用响应面法进行数据分析，获得了最优的公差设计方案。文献[7-8]提出了基于新一代GPS体系框架的公差的数学建模技术及公差设计理论和方法。上述方法为公差设计与优化提供了途径，但对于结构复杂的机械产品，依然缺少一般意义上直接高效的产品精度设计指导方法。因此，本文从描述复杂装配体的装配关系入手，搜索装配体的误差传递累积路径，并结合精度要求，进行装配结合面以及零件几何要素的精度分配，旨在为公差设计以及加工精度与装配精度的控制提供明确的依据。

1装配关系描述

结合面是由不同零件上的表面依据装配关系，通过装配连接形成的一对配合面。零件误差在结合面不断累积传递，使结合面成为连接零件、传递误差的关键节点。相互关联的结合面形成了复杂的装配误差传递路径，成为影响产品精度的重要因素。

1.1结合面的误差传递属性

本文采用小位移旋量法(small displacement torsor, SDT)[9]描述结合面的误差变动，即S=(R,D)=(α,β,δ,u,v,w)，R=(Rx,Ry,Rz)=(α,β,δ)，D=(Dx,Dy,Dz)=(u,v,w)，其中，α、β、δ分别为绕x、y、z轴转动的微小变动,u、v、w分别为沿x、y、z轴平动的微小变动。

根据几何形状与配合类型可将结合面划分为平面固定结合面、平面非固定结合面、圆柱面间隙配合结合面以及圆柱面过盈配合结合面。其中，平面固定结合面指形成结合面的两平面为固定连接关系，装配完成后两平面间不能相对运动，而平面非固定结合面指装配完成后形成结合面的两平面间可以进行相对运动。为便于描述复杂的结合面属性，本文定义了典型结合面的符号，具体如图1所示。

结合面的误差传递属性指结合面受自身几何与配合特征影响，对所要传递的不同性质的误差分量进行选择性传递的特性，可用S描述。根据GPS标准中的恒定度概念，当直线、平面等几何要素绕(或沿)某坐标轴转动(或平动)时，若几何要素的形态特征保持不变，则称其具有该方向上的恒定度，对应的SDT分量为0[10]。假设平面结合面法向以及圆柱结合面轴向均与坐标轴N(N为x或y或z)平行,则各类结合面的转动误差传递属性R=(Rx,Ry,Rz)与平动误差传递属性D=(Dx,Dy,Dz)见表1。

表1中圆柱间隙配合误差分量的不确定性与装配体拓扑结构有关，后文将进行详细阐述。

1.2装配关系多色集合矩阵

多色集合理论可用相同数学模型模拟不同问题对象，已被广泛应用于各种信息建模领域[11-12]。本文采用结合面符号取代现有多色集合矩阵中的布尔型元素值。根据装配体中结合面的组成，建立能综合描述装配关系、结合面类型以及结合面误差传递属性的结合面符号(joint surface symbols，JSS)矩阵。JSS矩阵是一种新型的多维装配信息集成描述方法，它拓宽了装配关系的信息表达维度，具有更强的仿真能力，且便于计算机实现。

根据图2所示装配体的装配关系，可用JSS矩阵描述其装配关系，如图3所示。图2中，P1至P6为零件，F1至F10为结合面。

由表1可知，结合面误差传递属性与局部坐标系的方向直接相关。为保证各结合面误差传递属性描述的一致性，在建立JSS矩阵前需统一各结合面局部坐标系的方向。

2基于JSS矩阵的误差传递路径搜索

复杂装配体的精度分析需要从装配整体的角度明确零件误差是如何传递累积进而影响装配体精度的。因此，需要先明确复杂装配体的误差传递路径。

为方便计算，采用一组二进制数LPi表示装配体中与零件Pi关联的所有结合面，LPi中的各元素与JSS矩阵中的零件元素行值对应，如P1关联的结合面为LP1=(1111100110)。通过逻辑“积”运算，可得任意两零件间可传递误差的结合面：

Exji=LPj∧LPi

(1)

其中，i≠j，Exji中值为1的数对应的结合面编号即为两零件间可传递误差的结合面编号。

基于JSS矩阵搜索误差传递路径的步骤如下：

(1) 根据精度分析需求，确定误差分析的基准件与精度输出件。以基准件为起点，搜索所有与之可进行误差传递的零件，即根据式(1)算出Exji不全为0的零件。将这些零件作为基准件在误差传递方向上的下一级零件，并从JSS矩阵中去掉当前基准件元素。

(2) 分别以步骤(1)中的各下一级零件(精度输出件除外)为基准件，重复步骤(1)的搜索方法，直至当前基准件已无下一级零件，搜索结束。误差传递路径的搜索过程呈树状结构展开。以图2中P1为基准件，P2为精度输出件，搜索过程如图4所示。图4中，箭头表示误差传递方向，(F3/F4)表示P1和P2间有F3和F4两结合面。因F1、F2不在P1到P2间的路径上，与所求问题无关，因此后文不再讨论。从基准件到精度输出件的误差传递路径如下：

Path1：P1→P2

Path2：P1→P3→P2

Path3：P1→P5→P2

Path4：P1→P6→P5→P2

零件作为误差传递路径的载体，根据零件在误差传递方向上的关系，将误差传递路径分为串联路径和并联路径两种。结合面提供了相邻零件间误差传递的通路，根据结合面在误差传递方向上的关系，可分为串联通路和并联通路，如图5所示。

采用6位二进制数表示结合面误差传递属性。各位二进制数代表的误差分量与S中的各分量相对应。串并联路径(或通路)的误差传递属性Ssc、Spc可分别通过逻辑“积”与逻辑“和”求解：

(2)

式中，n、m分别为串并联的结合面数量。

(3) 并联的误差传递路径与结合面通路为误差的传递提供了多个途径，因此，须考虑误差分量的性质、结合面间的相互位姿等影响因素，才能确定各结合面的实际误差传递属性，进而确定各路径的实际误差传递属性。在此，通过引入装配定位优先等级的概念消除误差分量传递路径的不确定性。装配定位优先等级是指在装配过程中，根据功能要求，通过工艺手段使各结合面定位精度得到保证的先后顺序。一般地，定位优先等级越高获得的装配精度也越高，对应的结合面即成为某些误差分量传递的主导因素。基于此，并联结合面通路实际误差传递属性的计算方法如下：

(3)

其中，从1到m是按照从装配定位优先等级从高到低的顺序依次排列的并联结合面。Sm0为根据表1确定的结合面m的误差传递属性，Sm为m的实际误差传递属性。

受并联关系影响的结合面类型及其实际误差传递属性分析如下：

(1) 平面固定结合面。设平面法向N=z，实际装配中，误差分量δ、u、v常受其他零件或结构而非结合面本身形状与结构特征的限制。因此，当结合面上述误差分量可通过其他路径或通路优先确定时，结合面的实际误差传递属性为(110001)，否则误差传递属性不变，δ、u、v具体误差值由装配定位系统决定。

(2) 圆柱面间隙配合结合面。由于圆柱面间隙配合结合面存在径向间隙，使被装配零件的径向位姿具有不确定性。设表1中不确定的误差分量为Run、Dun，若结合面本身装配定位优先等级较高，则由间隙引起的Run、Dun上的位姿误差可视为零件的几何位姿误差，Run≠0、Dun≠0。否则Run=0、Dun=0。圆柱面间隙配合结合面的实际误差传递属性为

(4)

式中，Sci(Fj)为将Fj视为过盈配合时的误差传递属性；SPai为装配定位优先等级高于Fj的结合面所在并联误差传递路径或通路的实际误差传递属性；n为路径及通路的数量。

图3中结合面的实际误差传递属性如图6所示。

3零件几何要素的精度分配

因不同形状结合面对装配误差传递的影响不同，对应结合面误差的衡量方式也不同。平面结合面误差体现为两零件理想表面间的相对位姿变动，圆柱结合面误差体现为孔轴理想轴线间的相对位姿变动。因此，结合面误差包含了组成结合面的零件表面加工误差与在装配过程中引入的定位误差等装配过程误差。因装配过程误差可通过装配工艺加以控制，故在零件精度分配时可假设该误差为零。按照误差传递方向，形成结合面误差的两几何要素分别为结合面前向几何要素和后向几何要素。

由前文确定的具体误差传递路径可知与装配精度相关的误差节点分布。因此，可结合装配精度要求，根据装配误差与结合面误差间的具体函数关系，进行结合面精度分配。

3.1以结合面为节点的装配误差建模

根据齐次坐标变换法[13-14]，结合面误差变换矩阵可表示为

(5)

其中，i代表结合面，矩阵中各参数为结合面误差变动的SDT分量。误差传递过程如图7所示。

根据多体运动学原理[15]，误差传递路径的误差变换矩阵为

(6)

其中，E为单位矩阵，Mpa为从基准件到精度输出件的位姿变换矩阵，M0为零误差情况下从基准件到精度输出件的位姿变换矩阵。D0,1为从基准坐标系到第一个结合面前向理想几何要素的位姿变换矩阵，Dj-1,j为从第j-1个结合面的后向理想几何要素到第j个结合面的前向理想几何要素间的位姿变换矩阵，其值与零件基本尺寸相关，为已知。En为精度输出表面的误差变换矩阵(为方便表达，可将En视为结合面)。n为路径中串联的结合面数量，Ej为第j个串联结合面的误差变换矩阵。当Ej处对应的两零件间存在并联结合面通路时，式(6)中相应部分的位姿变换矩阵为

Dj-1,jEjDj,j+1=

(7)

式中，r为两零件间并联的结合面数量；Eji为当前两零件间的第i个并联的结合面误差变换矩阵。

由于各结合面的误差分量均为微小值，故在具体计算中可略去Epa中二阶及高阶项，进而可得总体装配精度与各结合面误差分量之间的函数关系[16]。3.2结合面精度分配

由于各路径的累积误差均影响精度输出件的位姿，故各路径传向精度输出件的同种误差分量值应相等，否则将使输出件在该误差分量方向上的位姿无法确定，导致装配失败。因此，各并联路径传递的装配误差分量应满足下式：

EA,k=Epi,k

(8)

i=1,2,…,mk=α,β,δ,u,v,w

式中，m为可传递当前误差分量的并联路径总数；Epi,k为路径i的误差分量k的值；EA,k为装配体的误差分量k的值。

在实际装配中，零件几何要素的误差为定值，而结合面处可能引入装配过程随机误差。由于最短路径上串联的结合面最少，可认为装配误差仅由零件加工误差引起。此时，其他并联路径可通过零件的选择和装配过程误差的调整来保证各并联路径装配误差的一致性。因此，可认为装配体精度由最短路径的零件精度决定，故将最短路径作为装配精度分配的主要对象。

产品根据功能要求确定的装配精度为结合面及零件的精度分配提供了依据。根据装配精度要求，以某一误差分量的精度分配为例，进行结合面误差分配的流程如图8所示。

结合面精度分配的具体步骤如下：

(1) 根据装配精度要求选择可传递对应误差分量的路径，建立各路径的装配误差数学模型，获得精度要求指定的装配误差分量表达式，根据精度要求，确定上述表达式的误差变动不等式：

(9)

式中，Ek,min、Ek,max为装配精度要求的误差分量k的极限值；Q为不等式的误差分量项数；i为相关结合面的序列号,i∈{1,2,…,n}；ei为结合面i的误差分量，ei∈{α,β,δ,u,v,w}；fq(ei)为ei的一次项。

(2) 选择步骤(1)中最短路径的误差变动不等式。若不等式包含的结合面误差分量数大于1，则根据各误差项的误差分量对装配体精度与功能的影响程度确定各误差项的权值，求各误差分量范围：

WqEk,min≤fq(ei)≤WqEk,min

(10)

(3) 将求得的误差分量代入并联路径的误差变动不等式，然后选择变量最少的不等式，重复步骤(2)，进行结合面精度分配，直至完成所有结合面的精度分配。

3.3零件几何要素误差变动范围的确定

由结合面误差的构成可知，结合面误差与零件几何要素误差的关系可表示为

Ei=Ef1×Ef2-1

式中，Ef1、Ef2分别为结合面的前向、后向几何要素分别从各自的理想位姿到实际位姿的变换矩阵。

已知Ei的误差变动范围，可获得两零件几何要素的误差分量变动不等式。零件几何要素精度分配的过程与结合面精度分配过程类似，在此不再赘述。

根据装配体精度要求可确定相关零件几何要素的误差变动范围，为零件公差设计、装配过程中零部件的装配精度控制提供了重要的依据。

4实例分析

实例目标如下：实现图9所示泵体的零件相关几何要素的精度分配；要求零件P4、P5的齿轮在x方向的相对距离误差u为±0.016 mm。

设P4为基准件，基准坐标系定在P4的齿轮中心，P5为精度输出件。进行零件精度分配的步骤如下：

(1) 建立装配体的JSS矩阵。如图10所示。

(2) 进行误差传递路径搜索，结果如图11所示。所有的误差传递路径如下：

Path1：P4→P1→P2→P3→P5

Path2：P4→P1→P2→P5

Path3：P4→P1→P5

Path4：P4→P3→P2→P1→P5

Path5：P4→P3→P2→P5

Path6：P4→P3→P5

Path7：P4→P2→P1→P5

Path8：P4→P2→P3→P5

Path9：P4→P2→P5

(4) 根据式(5)～式(7)建立装配误差模型：

Epa3=E+DP4,F3EF3DF3,F8EF8DF8,P5-DP4,P5

Epa6=E+DP4,F4EF4DF4,F9EF9DF9,P5-DP4,P5

式中，Epa3、Epa6分别为路径Path3、Path6的误差变换矩阵；DP4,F3为从零件P4到结合面F3前向理想几何要素的位姿变换矩阵；EF3为结合面F3的误差变换矩阵，其他同理。

计算可得装配误差分量u的变动不等式为

取各结合面误差分量项的权值相等，根据式(10)，可求得各结合面误差分量的变动区间，见表2。

各结合面处零件几何要素误差分量项取相等权值，由式(10)可求得对应几何要素的误差变动，见表3。表3中，Fi-Pj表示结合面i处，零件j的几何要素。

5结语

本文在多色集合理论的基础上，以集成描述结合面信息的符号代替现有装配关系多色集合矩阵的元素取值空间，建立了JSS矩阵，提升了装配关系矩阵的仿真能力。针对并联结合面误差传递属性间的相互影响，分析了典型并联结合面的实际误差传递属性求解方法。完成了基于JSS矩阵的装配体误差传递路径搜索，并求得各路径的实际误差传递属性。基于多体运动学建立了误差传递路径的装配误差模型。实现了符合装配体精度要求的结合面精度分配，进一步实现了影响装配精度的关键零件几何要素的精度分配。研究结果为公差设计、装配过程中的精度控制与检测等提供了重要依据。

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(编辑陈勇)

Assembly Accuracy Allocation Method Based on JSS Matrix

Lü ChengLiu Zijian

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body,Hunan University, Changsha，410082

Key words：small displacement torsor(SDT) method；polychromatic sets theory;joint surface symbol(JSS) matrix；error transfer path；accuracy allocation

Abstract：Joint surface error was described by SDT,typical joint surface error transfer properties were analyzed. Information integrated expression symbols of joint surfaces were defined, combined with the polychromatic sets theory,JSS matrix,was established,that could describe assembly relationship,joint surface type and error transfer properties,and then assembly error transfer path search method was proposed,critical error distribution that affected the precision of assembly was identified. Assembly error model was established based on the multi-body kinematics principles,and combined with assembly accuracy requirements,the accuracy allocation of joint surface and the relevant geometric element were implemented, then the basis was provided for tolerance design and accuracy control during assembly process.At last, the feasibility and practicability of the proposed method was verified by example analyses.

收稿日期：2015-04-10

基金项目：国家自然科学基金资助项目( 51175161，51475152)

作者简介：吕程，女，1988年生。湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室博士研究生。研究方向为机械产品公差设计理论及装配精度分析与控制。刘子建(通信作者)，男，1953年生。湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室教授、博士研究生导师。

中图分类号：TH115

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.02.002