浅析高中数学中数列的解题方法

宋仁旭

摘 要：数列是高中数学的重要的基础知识和技能，是刻画生活中离散现象的数学模型，它可以帮助我们解决日常生活中的存款利息、资产折旧等多种问题，而且它对学生进一步理解函数具有重要的意义。在高中数列学习的过程中，面对不同问题，学生应学会灵活运用不同的解题方法完美的解答数列问题。下面，本文将对高中数学中数列的解题方法进行简要的概括，并以实例强化学生对不同方法的理解，为高中学生解决数列问题提供相应的帮助。

关键词：高中；数学；数列；解题方法

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）22-0030-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.22.017

一、数列的介绍

（一）数列的概念

数列是以整数集（或他的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数，其中的每个数都称为这个数列的项，第n位的数是这个数列的第n项，通常用an表示。其一般形式可写为a1，a2，…，an，an+1，…，简记为{an}。

（二）数列的重要性

学习数列，可以培养学生的数学思维能力，强化学生观察、分析、归纳、推理、运算、应用等多种能力的培养。数列还可与函数、不等式、立体几何、解析几何等多种数学知识相联系，具有较强的综合性，使学习数列的同时，增强学生的数学综合能力的培养。

二、解题方法浅析

（一）定义法

例：有如下三个结论：①数列{an}是等比数列，则{an}是一个关于n的指数函数；②bn是n的一次函数的充要条件是数列{bn}是等差数列；③数列{bn}是等差数列的充要条件是数列{bn}的前n项和Sn是二次函数。其中叙述正确的个数为（）

A . 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析：对于①，我们根据等比数列的定义可知，等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1，a1qn-1不是关于n的指数函数。对于②和③，我们根据等差数列的定义可知，等比数列{bn}的通项公式为bn =b1+（n-1）d=dn+（b1-d），其前n 项和Sn=nb1+n（n-1）d/2=dn2/2+（b1-d/2）n；当d=0时，bn= b1，bn不是n的一次函数，Sn=nb1，Sn不是二次函数。因此本次选择A。

（二）画图法

画图法是指根据题目给出的已知条件，通过画图的方法找出不同条件之间的关系，进而了解问题的关键所在，解答数列问题。

例：等差数列{an}中，am=n，an=m，且d≠0，m≠n，则am+n是多少？

解析：

通过{an}是等差数列且d≠0可知an是关于n的一次函数，则如上图所示，坐标（n，m），（m，n），（m+n，am+n）三点共线，所以利用直线处处斜率相等可得（n-m）/（m-n）=（am+n –n）/[（m+n）-m]，可解得am+n=0。

（三）公式法

公式法是指运用数列中等差、等比数列的相关公式解决问题的方法。

例：已知各项均为正数的数列{an}前n项和Sn满足6Sn=（an+1）（an+2）， S1>1，n∈N*，求{an}的通项公式。

解析：当n=1时，a1=S1=（a1+1）（a1+2）/6，且a1=S1>1，解得a1=1（舍）或2，所以a1=2。由公式可知an+1=Sn+1 - Sn=（an+1+1）（an+1+2）/6 -（an+1）（an+2）/6，整理得（an-1- an-3）（ an+1+ an）=0，又an>0，解得an+1- an=3。因此，可得知数列{an}是以2为首项以3为公差的递增等差数列，通项公式an=2+3（n-1）=3n-1。

（四）函数思想求解

数列是特殊的函数，因此通过函数的思想对数列问题进行求解是有效方法之一。

例1：已知f（x）=a·bx的图像经过A（4，1/4）和B（5，1）两点。①求f（x）的解析式；②已知an=log2f（n），n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，解不等式an·Sn≤0。

解析：对于①，由题知a·b4=1/4，a·b5=1，解得a=1/1024，b=4，因此函数解析式f（x）= 4x/1024。对于②，由题知an= log2（4n/1024）= log24n- log21024=2n-10，则数列{an}是以-8为首项以2为公差的等差数列，an=2n-10，Sn=n（-8+2n-10）/2= （n-9）n，所以由an·Sn≤0可得（2n-10）（n-9）n≤0，解得5≤n≤9，又n∈N*，所以n=5，6，7，8，9。

例2：已知数列{an}递增， an=n2+λn，n∈N*，求λ。

解析：由数列{an}递增知an+1-an>0，即[（n+1）2+λ（n+1）]-[n2+λn]=2n+1+λ>0恒成立，因此λ>-1-2n恒成立（n∈N*）。设f（n）= -1-2n，则需求出f（n）的最大值，由上面可知f（n）最大值为f（1）=3（n∈N*），所以λ的取值范围是λ>3。

（五）方程求解法

方程求解法是指在解答数列问题时，根据等差、等比数列的相关公式，构造出方程组，通过求解方程组解答数列问题的方法。

例：等差数列{an}的前n 项和是Sn，S10=30，S15=195，求S20。

解析：解答此题的关键在于求出其通项公式，下面有两种解答方法，均为方程思想求解法。

法1：设数列的前n项和Sn=kn2+tn，由题得方程组S10=100k+10t=30，S15=225k+15t=195，解得k=2，t=-17，所以Sn=2n2-17n。代入n=20得S20=460。

法2：设等差数列{an}公差为d，首项为a1，由等差数列前n项和公式得方程组S10=10a1+10（10-1）d/2=30，S15=15a1+15（15-1）d/2=195，解得a1=-15，d=4，所以Sn=-15n + 4n（n-1） /2=2n2-17n。将n=20代入解得S20=460。

（六）构造数列法

构造数列是解决数列问题的重要方法之一，它包括构造等差数列、构造等比数列等多种方法。

1.构造成差数列

例：已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1，n≥2且n∈N*，a4=81。

（1）求a1、a2、a3；

（2）是否存在实数λ使得数列为等差数列

若存在求出λ和an的值，若不存在说明理由。

解析：（1）已知a4=81，将n=4代入an=2an-1+2n-1中得a3=33，再将n=3代入an=2an-1+2n-1中得a2=13，再将n=2代入得出a1=5。

（2）设存在实数λ使

为等差数列，则-=（an-2 an-1-λ）/2n=（2n-1-λ）/2n=1-（λ+1）/2n，因此常数λ=-1，可求得等差数列

的首项（a1-1）/2=2，公差d=1。因此λ=-1，=n+1，an=（n+1）2n+1。

2.构造等比数列

例：现存在数列{an}，其首项a1=2，an+1=3an+2，n∈N*，求数列{an}的通项公式。

解析：此数列{an}既非等差数列又非等比数列，根据题我们可自行构造等比数列，利用此等比数列进行求解。设数列{an+k}是以an的系数3为公比的等比数列，即an+1+k=3（an+k），整理得an+1=3an+2k，又an+1=3an+2，解得k=1，即{an+1}是以an+1=3为首项，以3为公比的等比数列，an+1=3·3n-1=3n，所以an=3n-1。

（七）分类讨论法

在数列解题过程中，有些复杂的问题是无法直接一次性解答的，这时就需要化整为零将问题进行分类讨论。

例：已知数列{an}的前n项和Sn= -n2+5n，求{|an|}的前n项和Tn的表达式。

解析：已知Sn= -n2+5n，则当n=1时，a1= S1=4；当n≥2时，an=Sn -Sn-1= （-n2+5n）-[-（n-1）2+5（n-1）]=-2n+6。因此，当n≤3时an≥0，|an|= an；当n≥4时，an<0，|an|= -an。

所以，当1≤n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|= a1+a2+…+an =Sn= -n2+5n；当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|…+|an|= a1+a2+ a3- a4-…-an = -Sn+2S3 =-Sn+12= n2-5n+12。因此Tn= -n2+5n，（1≤n≤3）

n2-5n+12，（n≥4） 。

（八）递推法

递推法是指根据问题中所提供的递推关系以探求、构造等方法解决数列问题的方法。

例：Sn是数列{an}的前n项和，对于任意自然数n，都有2 Sn=n（a1+an），试证明数列{an}为等差数列。

解析：要证明数列{an}为等差数列，我们先要了解等差数列的定义，等差数列是指从第二项起，每一项与它前一项的差都为同一个常数的数列，通项公式为an= a1+（n-1）·d。因此可通过已知条件进行递推，求得结果。首先，我们将Sn转化为an：当n≥2时，an=Sn-Sn-1= n（a1+an）/2- （n-1）（a1+an-1）/2=[n（an-an-1）+ a1+an-1]/2，整理得①a1+ （n-2）an-（n-1）an-1=0，同理知②a1+ （n-1）an+1- nan=0。由②-①得：（n-1）an+1-2 （n-1） an+（n-1） an-1=0，又n-1≠0，则an+1-2an+an-1=0，即当n≥2时，an+1-an=an-an-1。因此数列{an}为等差数列。

总之，在高中数学数列部分学习的过程中，学生应该学会灵活运用函数法、画图法、构造数列法、递推法、归纳猜想法等多种方法对不同的数列问题进行解答。

参考文献：

[1] 李瑾.基于数学史的高中数学数列教学[J].上海师范大学，2010（3）.

[2] 高东.高中数学数列教学探讨[J].语数外学习：数学教育，2013（5）.

[3] 贾鹏云.高中数学数列教学设计的实践探讨[J].新课程学习，2010（11）：123-124.

[ 责任编辑 赵建荣 ]