基于学生视角的自然解法

张德超

“数学是自然的”，“数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的”这就要求我们在教学中回归自然。在日常的教学中，有些题目的答案对于学生来说很难想得到。笔者有一习惯，先做题再和答案比较，课堂上鼓励学生分享他们自己的答案。有时觉得同学们的答案略微逊色，但也是“真情流露”，解法朴实、自然，更是没有“代沟”。现就以（2014·重庆）第18题为例，谈谈从学生视角看自然解法。

学生是怎样想到这样解的呢？是触类旁通还是灵机一动？让我们听听学生最真实的声音。

学生1：记得以前做过用四点共圆解决线段长度的问题，有想到老师说过两个直角三角形共斜边时这两个直角三角形的顶点是共圆的，于是很容易用圆的有关性质解决角相等的问题，这样就可以证明，得到想要的结果。

学生2：根据题目条件可知，如果能证明就可以得到结果，又根据正方形的对角线互相垂直和已知的垂直条件可以看出点O，B，C，F四点共圆，所以

即可证明，得到OF=。

学生3：因为正方形的特殊性，本身非常对称，所以我思考能不能通过图形的旋转得到想要的结果。于是尝试画出图形得到如右图所示的情况，但是要以正确的方式进行叙述才可以。过点O作OG垂直于OF交BE于点G，再证明全等就可以得到结论（这种全等三角形的证明是非常经典的全等三角形中的一种）。当时我做题时也是抱着尝试的态度来解题，没想到写着写着就看到了希望。

我们常常思考如何引导学生，没想到这节课被学生引导。当“青出于蓝而胜于蓝”的时候，是尴尬还是欣慰？本人一直是欣慰的。当他们知识储备不够时老师引导着他们向前走；当他们知识积累到一定程度时，能够触类旁通，从已有的经验解决未知的问题时，老师陪着他们走，并且边走边给他们喝彩。学生的解题方法往往令老师感到惊奇，他们对方法不断优化的专研精神令人感动。这样看来，教师教学的过程，也是自身成长的过程。如果教学只是老师的一言堂，那教学便无乐趣可言；如果所有的数学题都只有固定的解题方法，那数学便无进步可言。

3、每个学生都有自己的最近发展区

学生经历的学习过程不同，知识基础不同，最近发展区也会有所差别。比如有的学生善于构造，有的学生长于推理，因为人与人的思维方式不同，在交流中碰撞互补，方显数学变换无穷的魅力。最求自然解法正如曾国藩语：“天下之至拙，能胜天下之至巧”，在“拙”和“巧”之间，没有绝对的分界线，好方法，得之自然，成之天然，适合学生最近发展区的就是最好的。

综上，筆者认为，几何题解法自然生成需要三个环节：

（1）我学过什么：题中的条件，题中的条件、重要信息要与学过的基础知识（含基本图形与结论）、基本技能、基本方法联系起来，没有联系，就打不开思路。联系是解法自然生成的起点；

（2）条件给我什么：一个思路的形成，可以从结论出发，采用分析法——“要求什么，需要求什么”，把问题问题落到一个具体的已知条件或事实，让学生觉得合情合理。条件的分析是解法自然生成的拓路者；

通过这三个环节，使学生联系所学知识，唤醒过程经验，经历理性分析，构建知识模型，最终促进学生解法的自然生成。