“化归方法”在高中数学解题中的应用

◇　山东　张晓涵

“化归方法”在高中数学解题中的应用

◇山东张晓涵

在数学中把未知转化为已解决问题的基本方法称之为“化归方法”．“化归”有其特定的方向,一般为化繁为简、化抽象为具体、化生为熟、化难为易、化一般为特殊、化特殊为一般、化数为形、化“高维”为“低维”等．下面简举例说明.

1特殊与一般化归

利用“特殊化原则”,将一般问题特殊化，从特殊问题的解决中寻找解题策略．

2正与反化归

有些数学问题,如果直接从正面入手求解难度较大,致使思想受阻,可以利用“正难则反”原则从反面着手去解决．

逆向思考：“3个方程至少有1个方程有实数根”的反面是“3个方程都无实数根”,因而只要解Δ1<0、Δ2<0、Δ3<0得到k的取值范围后,再取其补集即可．

3变量与常量化归

利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换位)常常可以简化问题的解决．

由题意g(x)=3x2-ax+3a-5, 令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,对-1≤a≤1,恒有g(x)<0,即φ(a)<0.所以

4数与形化归

某些代数问题往往具有几何背景,若借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念、复杂的数量关系直观地体现出来,以便于探求解题思路．

图1

上式可看作“在抛物线y=x2上的点P(x,x2)到点A(3,2)、B(0,1)的距离之差”.

5相等与不等化归

在一定条件下,相等可转化为不等,不等也可转化为相等,这种看法上的转变,往往可帮助我们找到解题的方向．

(作者单位：山东省莱芜市第一中学)