杨辉三角性质的新发现

崔国栋（甘肃武威二中 甘肃武威 733000）



杨辉三角性质的新发现

崔国栋
（甘肃武威二中 甘肃武威 733000）

摘 要：二项式定理沟通了多项式乘法和排列组合的关系。是每年高考的必考内容。其中二项式系数有很多奇妙的性质，一千多年来中外数学家在这块土地上勤奋耕耘，筚路蓝缕，取得了丰硕的成果，也引起笔者浓厚的兴趣，从指数n＝1、2、3……变化规律发现二项式系数横向排列恰好是111、112、113……这是巧合？还是必然？

关键词：二项式定理 杨辉三角 加法法则 新发现

表1 二项式系数表

上面的表叫做二项式系数表，它有这样的规律，表中每行两端均为1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，事实上，该表中任一不为1的数C，那么它肩上的两个数分别C、C，由组合数的性质可知道：C=C+C.这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里已经出现了。因而又把此表称之为杨辉三角。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise.Pascae.1623年- 1662年）首先发现的，它们把这个表叫帕斯卡三角，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族的自豪的。

表2

这个表有许多性质.在此不做主要讨论。只就自己教学中发现的一条新性质，不揣浅陋，提供出来，与各位商榷。

通过观察，杨辉三角中各数满足表2规律：在n=0、1、2、3、4……时，那么，115是否就是15101051呢？答案是否定的，但依据上述规律能否找到11n（n ∈N，n≥5）与杨辉三角中相应数的内在联系呢？

根据表2第六行与第十一行各数做如下（图1）运算：

图1

由此可见，可以将杨辉三角中第n+l行数“相加”算出11n

“加法法则”：

把杨辉三角中节n+l行的n+l个数字，从左到右自下而上逐层往前错一位书写，然后按照平常算术竖式加法把各个数位上的数字加起来，满10进1，则其结果为11n。［2］

原理：11n=（1+10）n的二项展开式共有n+1项，其通项Tr+l=Cl0r，当r=0，1，…n时按照10r项进行升幂排列，说明C中的每个数1表示10r，而C中的每个1表示10r-1.因而在求和的过程中，每相邻的两数之间必然在数位上相差l位，实际上如n=5时

C51101表示5个10，C102表示C个102，C102=1000而相加时，数位总是向前递增一位，加法过程如下图2所示：

图2

总结：笔者通过大量的演算与推理得出了本文的结论：“加法法则”：把杨辉三角中节n+l行的n+l个数字，从左到右自下而上逐层往前错一位书写，然后按照平常算术竖式加法把各个数位上的数字加起来，满10进1，则其结果为11n。

参考文献

［1］ 王雄伟. 杨辉三角数字排列的一些性质［J］. 中学数学月刊，2005（5）：28-29.

［2］ 王廷桢. 杨辉三角的行列式性质［J］. 数学教学研究， 1987（3）.