基于五次B样条的起竖装置时间最优轨迹规划*

邓　飙，张　潇，龙　勇，郭　杨

(火箭军工程大学 二系，西安　710025)

基于五次B样条的起竖装置时间最优轨迹规划*

邓飙，张潇，龙勇，郭杨

(火箭军工程大学 二系，西安710025)

摘要：针对含二级电动缸的起竖装置当前运动轨迹时间不够优化，且存在不连续冲击的问题，提出了新的高阶样条轨迹规划方法。通过对起竖装置进行建模分析，解得了运动学约束、动力学约束以及边界条件。使用五次B样条插值规划轨迹，引入罚函数处理约束条件，以样条曲线相邻控制点的时间间隔为设计变量，利用非支配排序遗传算法(NSGA-II)对B样条轨迹进行多目标优化。运算后得到一组Pareto最优解，从中选择最为平滑且时间最优的解作为最终解。仿真结果表明，相对于多项式插值，样条插值理论上能实现时间最优；而采用高次样条插值能得到高阶连续的运动轨迹，使起竖过程更加平稳。

关键词：起竖装置；电动缸；轨迹规划； B样条；多目标优化

0引言

二级电动缸相较单级电动缸具有更长的行程，在要求结构紧凑的工业现场设备、农机农具以及大行程军用雷达、火炮、导弹起落架等起竖装置中均有广泛应用[1]。目前，对含二级电动缸的大型起竖装置起竖过程控制，通常采用分段线性控制的方式及匀加速匀减速方法规划，该方法虽然能实现理论上的时间最优，但由于加速度不连续，起竖时存在较大冲击，起竖过程平稳性差，严重时影响到系统的安全，所以在设计时往往对加速度的选取比较保守，造成规划时间过长，不能实现快速起竖。

为解决这一问题，田桂等引入了机器人轨迹规划中常用的五次多项式规划方法[2]，该方法能解决起竖过程中加速度不连续，平稳性差的问题，但其往往受曲线本身制约，理论上无法实现时间最优。Aribowo、毛征宇等采用三次B样条曲线插值的方法对运动过程进行轨迹规划[3-4]，利用样条函数分段处理的特性，综合运动学与动力学约束，求解出了起竖过程时间最优轨迹，但该轨迹由于加加速度不连续，往往会产生较大且不连续的冲击，引起机械振动，缩短设备寿命且增大跟踪控制误差。

为解决传统规划方式平稳性和快速性难以兼顾的问题，选择五次B样条插值的方法对负载运动轨迹进行规划。以样条曲线相邻控制点的时间间隔为一组优化目标，提出基于NSGA-II算法求解多目标优化问题的方案。引入罚函数对非显式非线性不等式约束进行处理，运行算法获得多个Pareto最优解，从中筛选出自身和各阶导数都平滑的运动轨迹集合，再从该集合中选择总体时间最优的解作为最终解[5]。

1起竖装置建模分析

1.1起竖装置的结构与工作原理

大型电动起竖装置典型结构如图1。该系统主要由二级电动缸和负载两部分组成。负载后端与固定装置铰接，电动缸的上支耳与负载铰接，下支耳与固定装置铰接，电动缸工作时驱动负载绕定轴转动，从而实现负载的起竖。从机构学角度分析，该系统做单自由度平面运动，系统的初始位姿、目标位姿和运动路径均已知，运动时间不确定。

图1　起竖装置结构示意图

1.2起竖装置运动学模型

建立起竖装置运动学模型[6]。负载从水平状态起竖到与水平面成90°角的位置。在运动平面内建立固定坐标系xAy，原点A为回转中心，C为电动缸上支耳铰链中心，B为电动缸下支耳回转中心，P为负载重心，r为负载总长，∠CAB=θ0，∠C′AC=θ，∠PAB=β，∠C′AB=ψ，∠BC′A=α。

其中ψ=θ0+θ，则电动缸推杆的伸出位移为：

(1)

推杆的伸出速度为：

(2)

推杆伸出的加速度为：

(3)

(4)

1.3起竖装置动力学模型

设整个负载转动惯量为J，重力为G，电动缸驱动力为F，由系统转动微分方程得：

(5)

2轨迹优化方案

二级电动缸通过碰撞实现限位。其换级过程是当第一级运行到了行程末端，通过第一级丝杠上的中间块，将第一级丝杠与第一级推杆固连为一体，共同带动第二级空心丝杠转动，使第二级推杆伸出。在进行轨迹规划时，最理想的状况就是实现碰撞前的速度为零，为此可将二级电动缸的运动过程分级规划。因为运动学逆问题比运动学正问题更为简单，因此先对负载在关节空间的运动轨迹进行规划，再通过对运动学方程式求取逆解得到二级电动缸的运动轨迹。

2.1基于五次B样条曲线插值的轨迹规划

k次B样条曲线可统一描述为[7]：

(6)

每一段B样条曲线可表示为：

(7)

式中，i表示第i段B样条。

(8)

代入式(7)得到n-1个方程。

又因为在初始位置和末位置处，装置的运动情况已知

(9)

(10)

(11)

且各阶导矢可根据DeBoor递推公式求出[8]：

(12)

2.2设计变量

2.3约束条件及其处理

在对每级电动缸的运动轨迹做规划时，为保证起竖平稳性，负载的起竖轨迹必须是光滑连续的，且满足以下边界约束条件[10]。记tf为规划时间，θ0、θf分别为初始和末态位姿。

(13)

(14)

(15)

且

(16)

将式(1)、(2)、(3)、(5)带入(16)中，得到了运动轨迹的非显式非线性约束。

在对约束的处理机制上采用罚函数法，即任何对约束的违反都要在适应度函数中添加惩罚项。在构造适应度函数时，选取罚函数如下：

(17)

3使用NSGA-II算法进行多目标寻优

采用多目标遗传算法(multi-objectivegeneticalgorithm,MOGA)模拟生物进化过程，处理的是一个种群，能够在一次优化过程中生成大量的非劣解，因此可以搜索到多目标优化问题的近似Pareto最优解集。许多优化问题往往是对多个相互冲突的目标同时优化，经常需要得到一个解集而不是一个优化解。就全体适应度函数而言，这些解之间是无法比较优劣的。特点如下：无法在改进任何适应度函数的同时不削弱至少一个其他适应度函数。这种解称作非支配解(non-dominatedsolution)或Pareto最优解(Paretooptimalsolution)。

定义Pareto支配关系如下：对于m个目标分量的最小化多目标向量：

(18)

在整个解空间S中都不被其他解支配的所有解得集合P，称为Pareto最优集(Pareto前沿)。NSGA-II采用快速非支配排序机制，驱使搜索过程收敛到Pareto最优前沿，降低了算法的复杂度；定义拥挤度和拥挤度比较算子，保证了Pareto最优解的多样性；同时引入精英策略，扩大采样空间。所谓拥挤距离是指Pareto最优解集中个体的密集程度，表示Pareto解集中个体的分布状况，拥挤距离越大，说明个体分布越均匀.算法具有O(MN2)的复杂性(其中M为优化目标的个数，N为种群规模)，求得的Pareto最优前沿具有良好的分布性。

3.1种群初始化

3.2适应度函数值的计算

根据式(6)计算出每一段B样条轨迹，并带入到非显式约束条件中检验，在对约束的处理机制上采用罚函数法，即任何对约束的违反都要在适应度函数中添加惩罚项。文中适应度函数的选取如式(17)所示。依据适应度函数值可求出每代种群个体间的支配关系。

3.3快速非支配排序

在选择运算之前，根据支配关系计算个体的Pareto秩，以获取其非劣水平(表征该个体对其他个体的支配能力)。假定个体xi在g代是种群中有pi个个体支配于它，则：

(19)

按非劣水平对每一代个体进行分层[11]。

3.4虚拟适应度

为保持个体多样性，NSGA-II算法提出了虚拟适应度的概念。计算个体拥挤距离id，图2中目标空间第i点的拥挤距离等于它在同一等级相邻的点i-1和i+1组成的矩形2个边长之和。这一方法可自动调整小生境(niche)，使计算结果在目标空间比较均匀地散布，具有较好的鲁棒性。

图2　局部拥挤距离示意图

(20)

3.5选择运算

3.6交叉与变异

(21)

其中，r为在[0,1]之间产生的随机数。

仍然选取父代个体x1，针对其中符合约束条件的子目标采用非一致方式[12]变异，从而实现局部寻优。

3.7精英策略

精英策略是遗传算法以概率1收敛的必要条件。采用的方法如图3所示。采用精英策略能保留父代中的优良个体直接进入子代。

3.8选择最终解

图3　NSGA-II算法用于B样条轨迹多目标优化的流程图

4仿真算例

此外在算例中NSGA-II的参数设置如下：种群规模100，迭代次数为100，交叉率为0.9，变异率为0.1。

经仿真计算，得到一级缸和二级缸的最优起竖时间分别为38.624s和29.837s。经运动学反解后得到了二级电动缸位移、速度、加速度和加加速度(冲击)与时间的关系，如图4、图5所示。

图4　二级电动缸经规划后运动情况

图5　负载冲击曲线放大图

可见，基于五次B样条的加速度具有C2连续的平滑特性，而基于三次样条的轨迹加速度虽然也连续，但存在加速度变化剧烈的拐点，在这些拐点所处的时刻，加加速度不连续，这导致电动缸产生轴向振动、扩大跟踪误差。

5结论

仿真结果表明：

(1)采用分级规划策略得到的轨迹，能避免换级碰撞的发生，使冲击连续平滑，保证了起竖过程的平稳性。

(2)基于五次B样条插值的时间最优分级轨迹规划方法，在满足约束条件的同时，相对多项式规划方法，五次B样条插值法能够实现起竖过程的时间最优；相对传统匀加速匀减速线性规划和低阶样条规划的方法，经五次B样条插值得到的电动缸运动轨迹具有速度、加速度、脉动连续的特点。

(3)使用NSGA-II算法对五次B样条插值点时间间隔进行多目标寻优，在适应度函数中引入罚函数处理非显式非线性约束，相对传统多目标搜索算法，NSGA-II算法采用精英策略使收敛速度更快；应用快速非支配排序方法使搜索结果分布更均匀，增大了搜索范围、加强了全局搜索能力。

(4)采用五次B样条插值的轨迹规划方法，虽然增加了计算量，但由于起竖过程一般是重复作业，因此轨迹规划与优化只需进行一次，且起竖过程是离线进行的，对算法的实时性无特殊要求，因此以增加离线计算量为代价获得性能更优的运动轨迹是一种理想的方案。

该方法对同类的电动起竖装置轨迹规划具有一定借鉴意义，也可以应用到工业机械臂领域。

[参考文献]

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[2] 田桂，谢建，陈永宁. 大型导弹起竖过程最优时间轨迹规划研究[J]. 计算机仿真, 2012,29(1):41-44.

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[4] 毛征宇，刘中坚. 一种三次均匀B样条曲线的轨迹规划方法[J].中国机械工程,2010,21(21):2569-2572,2577.

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[6] 田桂，谢建，陈永宁,等. 含多级液压缸的大型液压举升系统时间最优轨迹规划[J]. 机床与液压,2012,40(3):50-53.

[7] P M 普伦特普. 样条函数与变分方法[M]. 上海：上海科学技术出版社，1980.

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[10] 李小霞，汪木兰，刘坤. 基于五次B样条的机械手关节空间平滑轨迹规划[J].组合加床与自动化加工技术, 2012(8):39-42.

[11] 冯士刚，艾芊. 带精英策略的快速非支配排序遗传算法在多目标无功优化中的应用[J]. 电工技术学报, 2007,22(12):146-151.

[12] 陈丹, 方康玲. 基于遗传算法B样条曲线优化在机器人轨迹规划中应用[D].武汉：武汉科技大学,2007.

(编辑赵蓉)

Time Optimal Trajectory Planning Based on Five Orders B-spline for Erection Equipment

DENG Biao, ZHANG Xiao, LONG Yong, GUO Yang

(The Second Department,Rocket Force University of Engineering,Xi′ an 710025,China)

Abstract：A new trajectory planning method based on spline interpolation was proposed to solve the problem that the unoptimizable time consumption and discontinuous impact exist in the current trajectory for erection equipment containing the two-stage electric cylinder. Actuating constrains and boundary conditions are obtained through the analysis of kinetic and dynamic models for erection equipment. The five order B-spline interpolation algorithm was adopted for trajectory planning, and penalty function was introduced to process constrains. An NSGA-II algorithm was used to conduct multi-objective optimization for B-spline trajectory while the intervals between each control points of splines were taken as the designed variations. The calculation result was a Pareto optimal solution aggregate, from which the optimal solution is chosen for being the smoothest and the quickest set of intervals. The simulation results show that spline interpolation could achieve optimal time consumption theoretically while the polynomial couldn′t. And high order spline interpolation led to high order continuous trajectories, which makes the erection process more stable.

Key words：erection equipment; electric cylinder; trajectory planning; B-spline; multi-objective optimization

文章编号：1001-2265(2016)06-0021-05

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.06.006

收稿日期：2015-06-19

*基金项目：国家自然科学基金资助(61304239)

作者简介：邓飙(1969—)，男，湖北恩施人，火箭军工程大学教授，硕士研究生导师，博士，研究方向为机电控制，(E-mail)zx82854616@163.com。

中图分类号：TH112；TG506

文献标识码：A