优化的非等距GM（1，1）模型在高层建筑物沉降监测中的应用

李亚磊，林 楠

（河南理工大学测绘与国土信息工程学院，河南焦作454000）



优化的非等距GM（1，1）模型在高层建筑物沉降监测中的应用

李亚磊，林 楠

（河南理工大学测绘与国土信息工程学院，河南焦作454000）

摘 要：由于影响高层建筑物沉降的因素较多，并且在实际工作中变形监测数据存在非等距的情况，通过传统非等距GM（1，1）预测模型的建模原理分析其预测精度偏低，指出初值选择和背景值构建是影响非等距GM（1，1）模型预测精度的关键因素。在此基础上，提出利用最小二乘原理选择初值和运用Newton-Cotes公式优化背景值，并结合工程实例进行验证。结果表明优化后的非等距GM（1，1）模型在高层建筑物沉降预测中的有效性。

关键词：非等距；GM（1，1）；最小二乘原理；Newton-Cotes公式；沉降预测

随着中国城市化进程的加快，住房压力增大以及建筑施工技术的日益提高，高层建筑物逐年增多，对高层建筑物的安全监测也成为时下一个热门问题。较普通多层建筑而言，高层建筑物的沉降观测更不容忽视。在施工应用中不仅对建筑物进行长期的观测，同时应用数学模型对建筑物后期的变形进行预测也发挥了巨大作用，将高层建筑物沉降观测与灰色系统预测相结合，对高层建筑物进行实际应用。

灰色系统理论的预测模型有多种，在不同行业中均有预测应用［1］，其中用于变形监测的灰色预测模型主要有灰色GM（1，1）［2］，优化的灰色GM（1，1）模型［3-6］以及灰色组合模型［7-8］等。但是，这些模型都是等时间序列建立的，而在建筑物沉降监测的实际工作中，时间序列往往是非等距的。因此，很多学者就针对非等距时间序列，构建了非等距GM （1，1）预测模型［9-12］，并应用到建筑物沉降监测工作中，取得了一定的成果。但是，传统非等距GM（1，1）预测模型本身固有的系统误差，致使预测精度不高。本文通过最小二乘原理选取非等距GM（1，1）模型的最优初值，运用Newton-Cotes公式构造新的背景值，构建了优化的灰色非等距GM（1，1）预测模型。

1　优化的非等距GM（1，1）预测模型

1.1非等距GM（1，1）模型的建模机理

数列X（0）（t）=｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝是非等间隔观测序列的原始数据，数据所对应的观测时间为数列T（0）（i）=｛t1，t2，…，tn｝，计算观测时间平均间隔，实际观测时段与平均观测时段的时段差系数为

各实际观测时段的差值序列为

对Δx（0）（t）进行一次累加生成，处理得到数列Δx（1）（t），即Δx（1）（t）是Δx（0）（t）的1-AGO序列。

式（4）随求为差值均值生成序列Δ￣X（1）（t）。再对原始观测数据X（0）（t）进行累加处理生成1-AGO序列X（1）（t）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中

设Z（1）=（z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n））是X（1）（t）的紧邻均值生成序列，

再求得各个时间段之间的一次累加均值εx（1）（t）=Δx（1）（t）+z（1）（t）。对于标准的等间隔GM（1，1）模型的白化方程为，可得关于εx（1）（t）的白化方程为

对数据求解还原值得

1.2最小二乘原理选取初值

从式（8）中可以看出，预测方程中选择X（1）（0）作为初始值是存在误差的。参考文献［6］，通过最小二乘原理对初始值进行修正，设初始值的修正形式为其中，C为初始值的修正项。因此，式（8）的预测方程形式可表示为

结合最小二乘原理，求取

式中：

1.3Newton-Cotes公式构造新的背景值

从式（8）中可以看出，非等距GM（1，1）模型的拟合和预测精度取决于系数a和b，而a和b的值又取决于背景值z（1）（k）的构造形式。因此，背景值z（1）（k）的值称为影响非等距GM（1，1）模型精度的关键因素。传统的非等距GM（1，1）模型的背景值构造是由梯形公式计算得来的，其误差较大。参考文献［12］，本文选用更为精确的Newton-Cotes公式构建背景值。

由Newton-Cotes求积公式可知，在积分区间［a，b］上的节点为x0，x1，…，xn，其中xk=a+kh，k=0，1，…，n，h=（b-a）/n，那么构造的差值型积分公式为

式（12）称为Newton-Cotes公式，式（12）中称为Cores系数。

设x=a+th，则有

当n=2时，Cores系数为

相应的求积公式为Simpson求积公式，则为

而当n=4时，相应的Newton-Cotes求积公式，其形式为

本文用Matlab 7.0编写Newton插值程序，输入建筑物的沉降监测时间间隔，以及一次累加后的沉降量，将数据代入式（15）中求出新的背景值，再将构建的新的背景值代入式（6）中，求出预测方程的参数a和b，建立优化的非等距GM（1，1）预测方程。

2　优化的非等距GM（1，1）预测模型实例计算与结果分析

2.1工程概况

对某高程建筑物的12#、13#、15#、18#、19#、20#、21#楼进行沉降观测。由基准点向施工区内引入4个工作基点分别为G1、G2、G3、G4，围绕20#号楼形成以闭合环。观测时间按每栋楼加盖结构层2层观测一次直至竣工。

2.2部分沉降监测点的累计数据

根据沉降观测点总平面布置示意图的观测点的分布，由临近的工作基准开始依次对沉降监测点进行观测。以13#楼为例，选取13#楼的3个监测点的9期数据作为本次实验的基础数据，如表1所示。

表1　实测沉降累计数据　mm

2.3两种预测模型的拟合结果与分析

利用Matlab7.0软件为平台，通过表1中前6期沉降累计量数据进行建模，预测第7～9期沉降累计量，两种预测模型的拟合结果分别见表2和表3。

表2　传统非等距GM（1，1）预测模型的拟合值　mm

从表2和表3中的拟合结果可以看出：比较两种预测模型的拟合值残差中误差，优化的非等距GM（1，1）预测模型的拟合值残差中误差优于传统的非等距GM（1，1）预测模型的残差中误差。利用3种不同的建模数据验证了优化的非等距GM（1， 1）模型的拟合精度高于传统的非等距GM（1，1）模型。

2.4预测结果与分析

传统的非等距GM（1，1）和优化的非等距GM （1，1）两种预测模型的预测结果，如表4所示。

表3　优化的非等距GM（1，1）预测模型的拟合值　mm

表4　预测结果mm

从表4中的模型预测结果得出：13-1、13-3、13-5监测点优化的非等距GM（1，1）模型3期沉降数据预测结果的残差中误差均小于传统非等距GM（1，1）预测模型，3种不同的建模数据验证了优化的非等距GM（1，1）模型比传统的非等距GM（1，1）原模型预测精度高，实用性更强。

3　结 论

本文在详细论述了传统非等距GM（1，1）预测模型的建模机理过程中，从初值选择和背景值构造两个方面分析了影响传统预测模型精度的原因，提出了结合最小二乘原理选取初值和运用Newton-Cotes求积公式重构背景值的方法，并结合某工程实例进行验证，经过编程计算结果可得：优化的非等距GM（1，1）模型预测精度高于传统的非等距GM（1，1）模型，具有一定的工程适用价值。

参考文献

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［3］ 郭兰兰，邹志红，安岩.基于残差修正的GM（1，1）模型在水质预测中的应用［J］.数学的实践与认识，2014，44（19）：176-181.

［4］ 袁德宝，崔希民，高宁.同时利用x（1）（1）和x（1）（n）为GM（1，1）建模初始条件的预测方法研究［J］.大地测量与地球动力学，2013，33（3）：79-82.

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［8］ 高宁，崔希民，高彩云.高层建筑物沉降变形的灰线性预测［J］.测绘科学，2012，37（3）：96-98.

［9］ 王鸣翠，于胜文，张帅帅，等.基坑变形非等时距灰色预测模型程序设计及应用［J］.测绘地理信息，2015，40 （1）：41-44.

［10］成枢，李强.基于非等间隔GM（1，1）模型的沉降预测［J］.测绘与空间地理信息，2015，38（4）：33-35.

［11］李军亮，肖新平，廖锐全.非等间隔GM（1，1）幂模型及应用［J］.系统工程理论与实践，2010，30（3）：490-495.

［12］徐鑫鑫，苏华友，张春萍，等.优化的非等距GM（1，1）模型在基坑周边地表沉降预测中的应用［J］.数学的实践与认识，2014，44（1）：91-96.

［责任编辑：刘文霞］

Application of optimizednon-isometric GM（1，1）model to the settlement monitoring of high-rise buildings

LI Yalei，LIN Nan
（School of Surveying and Land Information Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，China）

Abstract：Because there are many factors affecting the settlement of high-rise buildings，and in the actual work，the deformation monitoring data are not isometric.Through analyzing the traditional non-isometric modeling principle of GM（1，1）forecasting model，the accuracy is low.It is pointed out that the initial value selection and the background value are the key factors to influencing the prediction accuracy of the non-isometric GM（1，1）model.On this basis，the least square theory is used to select the initial value and the use of Newton-Cotes formula to optimize the background value.And combined with engineering examples，the results verify that the optimized non-isometric GM（1，1）model is effective in the settlement prediction of high rise buildings.

Key words：non-isometric；GM（1，1）；least squares principle；Newton-Cotes formulas；settlement prediction

中图分类号：TU196.2

文献标识码：A

文章编号：1671-4679（2016）02-0008-04

收稿日期：2015-12-21

作者简介：李亚磊（1991-），男，硕士研究生，研究方向：精密工程测量.