关于有限群子群的θ-完备
2016-06-27高胜哲
高 辉, 高胜哲, 尹 丽
(大连海洋大学 理学院 辽宁 大连 116023)
关于有限群子群的θ-完备
高 辉, 高胜哲, 尹 丽
(大连海洋大学 理学院 辽宁 大连 116023)
利用新的思路将子群的θ-完备的条件互相结合, 或者与c-正规的条件结合起来,研究有限群的可解性.
子群;θ-完备;c-正规; 可解群
0 引言
利用有限群子群,特别是利用一些特定子群的性质来刻画有限群的结构尤为突出. 有限群极大子群的完备或θ-子群偶的概念的提出, 为研究有限群的性质提供了一个很好的工具. 另外, 以HG表示H在G中的核, 记CG为子群C在G中的正规闭包. 为了揭示极大子群的完备和θ-子群偶之间的关系, 文献[1]给出了极大子群的θ-完备的定义.
定义1 给定有限群G的极大子群M, 称G的子群C为关于M的θ-完备, 如果C满足：
(1)CM;(2)MG⊆C;(3)C/MG不真含G/MG的异于1的正规子群.
进一步地, 若不存在关于M的满足C 从有限群的极大子群的θ-完备的定义可以看出, 其只适用于有限群的极大子群. 而有限群除了极大子群外, 还有许多其他子群对有限群的结构也有重要的影响, 也是人们研究的重点. 为此将极大子群的θ-完备应用到一般子群上, 文献[8]引入了一般子群的θ-完备概念. 定义2 设H是G的一个真子群,G的一个子群C称为H在G中的一个θ-完备, 如果C满足: (1)G= 用θI(H)表示H在G中的所有的θ-完备组成的集合,θI(H)按集合包含关系做成一个偏序集, 其极大元称为H的一个极大θ-完备. 即不存在关于H的满足C 另一方面, 正规子群是群论中的一个重要概念,随着群论的发展,一些比正规性弱的子群的概念也被相继提出,例如,s-拟正规,半正规,c-正规等.文献[9]提出了c-正规的概念. 定义3 令H≤G,H叫做c-正规的, 如果存在KG,使得G=HK,且H∩K⊆HG. 探讨一般子群的θ-完备对群结构的影响,主要是将2-极大子群的θ-完备的条件或者与c-正规条件结合起来讨论群的可解性, 得到了有限群可解的一些充分条件. 定义4[10]如果有M<·G使H<·M，称群G的子群H为G的一个2-极大子群. 引理1[8]设H是G的真子群,N≤H且NG,C是H的一个极大θ-完备当且仅当C/N是H/N的极大θ-完备. 鄂州物业管理可以结合地方实际情况从以下几个方面进行规范：第一严把市场准入关。对物业管理企业要严格准入，强化新建企业开业登记和资格审查、年检、资质复审等工作；第二建立物业管理主体信用档案。对物业公司及其法人、业委会成员建立诚信档案；第三积极开展物业管理考评。根据优秀物业管理示范小区标准，积极开展考评达标活动，让更多的业主购得安心和住得放心；最后加强制度建设。应根据国家和省公布的法律法规来制定与地方配套的、具体的细则及办法，进而推动鄂州市物业管理规范化发展。 引理4[8]设G非可解, 且G的每个真子群H都存在一个极大θ-完备C. 若N是G的唯一极小正规子群且N非可解, 而C是有Sylow塔, 则C是G的极大子群. 引理 5[11]设G=AB, 子群A,B的Sylow 2-子群的阶不超过2, 那么G是可解的. 引理6[10]设H为G的极大子群, 若H幂零,且H的Sylow 2-子群的幂零类≤2, 则G可解. 定理1 令G是一个群, 假设对于G的2-极大子群H, 存在一个关于H的极大θ-完备C, 满足下列条件之一: 则G可解. 推论2 令G是一个群, 假设对于G的2-极大子群H, 存在一个关于H的极大θ-完备C, 使得CG/HG可解, 则G可解. 定理2 对于G的每个2-极大子群H, 存在一个关于H的极大θ-完备C或者C/HG幂零, 且Sylow2-子群的幂零类不超过2, 或者H在G中c-正规, 则G可解. 推论3 对于G的每个2-极大子群H, 存在一个关于H的极大θ-完备C使得C/HG幂零, 且Sylow 2-子群的幂零类不超过2, 则G可解. 推论4 对于G的每个2-极大子群H, 若H在G中c-正规, 则G可解. 定理3 假设G是有限群,N是G的非平凡的正规子群, 如果对于G的每个不包含N的2-极大子群H, 存在一个关于H的极大θ-完备C使得C/HG幂零, 且Sylow 2-子群的幂零类不超过2, 则G可解. 证明 假设定理不成立, 令G为极小阶反例. 假设R是G的极小正规子群,H/R是G/R的2-极大子群, 且NR/R≤H/R, 则H是G的2-极大子群且N≤H, 由题设知,存在一个关于H的极大θ-完备C使得C/HG幂零, 且Sylow 2-子群的幂零类不超过2. 由 引理1知,G/R满足定理的条件. 由极小阶反例知,G/R可解, 从而NR/R可解.若N∩R=1, 则N≅NR/R可解. 若N∩R=R, 则R≤N, 且N/R可解. 进一步假设R是G的唯一的极小正规子群且RΦ(G),R非可解. 因为RΦ(G), 则存在G的极大子群L使得RL,NL且LG=1.假设T<·L<·G, 则NT且TG=1. 由题设知, 存在一个关于T的极大θ-完备D使得D幂零,且Sylow2-子群的幂零类不超过2. 显然,D. 由引理3知,D<·DR. 由引理6知，DR是可解的, 从而R可解, 与R非可解矛盾. 定理4 如果G有一个可解的2-极大子群H,H有一个极大θ-完备C, 使得CG/HG可解, 则G可解. 证明 (1) 若HG≠1, 则G非单. 假设N是G的极小正规子群, 并且N≤H, 由题设可知,H有一个极大θ-完备C, 使得CG/HG可解. 由引理1可知,C/N是H/N的极大θ-完备,并且(C/N)G/N/(H/N)G/N≅CG/N/HG/N≅CG/HG可解. 由归纳法知,G/N可解.又N可解, 所以G可解. (2) 若HG=1, 由题设知,H有一个极大θ-完备C,使得CG可解. 由定义2知,G≤H,C≥CGH. 于是G/CG≅H/(H∩CG)可解, 又CG可解, 所以G可解. [1] ZHAO Y Q. On the Deskins completions, theta completions and theta pairs for maximalsubgroups I[J]. Comm Algebra, 1998, 26(10): 3141-3153. [2] ZHAO Y Q. On the Deskins completions, theta completions and theta pairs for maximalsubgroups II[J]. Comm Algebra, 1998, 26(10): 3155-3164. [3] LI S R, ZHAO Y Q. Ons-completions of maximal subgroups of finite groups [J]. Algebra Colloq, 2004, 11(3): 411-420. [4] 杜妮, 李世荣. 关于有限群极大子群的强θ-完备[J]. 数学年刊, 2006, 27A(2): 279-286. [5] LI S R. OnF-abnormal maximal subgroups of finite groups[J]. Acta Math, 2007, 23(5): 885-888. [6] 石向东, 韦华全, 马儇龙. 乘积因子群的共轭类长与有限群结构[J]. 郑州大学学报(理学版), 2013, 45(2): 10-13. [7] 陈松良,蒋启燕. 关于108阶群的完全分类[J].郑州大学学报(理学版), 2013, 45(1): 10-14. [8] 高辉, 高胜哲, 尹丽. 子群的θ-完备和群的结构[J]. 山东大学学报(理学版), 2014, 49(3): 43-45. [9] WANG Y M.c-normality of groups and its properties[J]. J Algebra, 1996, 78(180): 754-765. [10]徐明耀. 有限群导引(上、下册)[M]. 北京：科学出版社, 1999. [11]钟祥贵. 关于有限群极大子群的极大完备[J]. 广西科学, 2002, 9(3): 161-163. (责任编辑：方惠敏) Onθ-Completions for Subgroups GAO Hui, GAO Shengzhe, YIN Li (ScienceInstitute,DalianOceanUniversity,Dalian, 116023,China) The solvability of the finite group was studied by using new methds to combine the conditions ofθ-completions for subgroups with each other, or with that ofc-normal. subgroups ;θ-completions;c-normal ; solvable groups 2015-11-08 高辉(1978—)，女，辽宁庄河人，讲师，硕士，主要从事有限群研究,E-mail:gaohui@dlou.edu.cn;通讯作者：高胜哲(1974—)，男，黑龙江大兴安岭人，副教授，硕士，主要从事有限群及金融数学研究，E-mail:gsz@dlou.edu.cn. 高辉，高胜哲，尹丽.关于有限群子群的θ-完备[J].郑州大学学报(理学版)，2016，48(2):11-13. O152.1 A 1671-6841(2016)02-0011-03 10.13705/j.issn.1671-6841.20152341 引理
2 主要结果
