无穷维Jackson网络的随机可比性

程慧慧

(华北水利水电大学 数学与信息科学学院 河南 郑州 450045)

无穷维Jackson网络的随机可比性

程慧慧

(华北水利水电大学 数学与信息科学学院 河南 郑州 450045)

Jackson网络是一类经典的排队网络,也是交互作用粒子系统的一类重要模型-反应扩散过程.利用马尔可夫过程耦合的方法，研究具有可数服务台的Jackson网络的随机可比性.在马氏过程的存在性成立的前提下,通过构造保序的耦合对,进而得到排队网络对应马氏过程的随机可比性.

Jackson网络; 马尔可夫过程; 耦合方法; 随机可比

0 引言

事实上, 由指数分布的无记忆性知,Jackson网络是一类高维的马氏过程, 如果把每个顾客看成是一个粒子,那么顾客的到达和离开就可以看成是粒子的生灭反应, 顾客在不同服务台之间的转移可以看成是粒子的扩散, 因此Jackson网络也是粒子系统中一类重要的模型-反应扩散过程的一种. 近几年来很多文献致力于Jackson 网络过程的存在性、遍历性以及收敛速率的研究[2-5]，其中随机可比是研究随机模型的重要工具和有效方法. 有些过程的随机可比性得到了很好的结果, 比如跳过程、最小q过程、超过程以及Rd值轨道分布的随机可比的充要条件[6-9]等. 文献[10]给出判别两个过程随机可比的耦合方法. 对于高维的特别是无穷维马氏过程的随机可比性的研究还比较少. 本文就从Jackson网络这一类高维马氏过程出发, 研究其随机可比性, 由于它既是一类经典的排队网络, 又是一类高维马氏过程-反应扩散过程, 因此对Jackson网络的随机可比性的研究有一定的应用价值和理论意义.

1 随机可比

本节将介绍马氏半群的随机可比性的定义以及相关性质. 设(E,ε)为Polish空间,‘≼’ 为其上的偏序. 且{(x1,x2)∈E×E:x1≼x2}是E×E上的可测闭集, 记M为(E,ε)上的有界单调可测实函数的全体, 若可测集A的示性函数IA∈M, 则记A∈M.

定义1 马氏半群P1(t)和P2(t)称为随机可比的, 如果对任意的函数f∈M, 都有P1(t)f(x1)≤P2(t)f(x2),x1≼x2,t≥0. 其中Pk(t)f(x)=∫Pk(t,x,dy)f(y),k=1,2.记为P1(t)≤P2(t).

对于随机可比的两个马氏半群，其对应的过程有如下的单调关系.

定理1 设X1(t)和X2(t)分别是以P1(t)和P2(t)为马氏半群的Feller过程，如果P1(t)≤P2(t),x1≼x2，则对任意的x∈E，有Px1(X1(t)x)≤Px2(X2(t)x). 此时称过程X1(t)和X2(t)是随机可比的,记为X1(t)≤X2(t).

证明 取f(·)=I[x,∞)(·)≜IA(·),其中集合A={a:a∈E,ax}，显然f∈M, 由定义1知:P1(t)f(x1)≤P2(t)f(x2),可得：P1(t,x1,A)≤P2(t,x2,A),Px1[X1(t)∈A]≤Px2[X2(t)∈A],即Px1[X1(t)x]≤Px2[X2(t)x].此时称过程X1(t)和X2(t)是随机可比的, 记为X1(t)≤X2(t). 直观上来讲, 若两个过程随机可比指的是:若过程在起始时刻的状态具有单调性, 则在任意时刻都具有单调性.

2 过程的存在

Jackson网络是反应扩散过程的一种, 其反应和扩散的速率只与位置有关, 与当前位置的粒子数无关. 它的转移速率矩阵如下：

3 保序耦合的构造

(1) 对于反应部分, 耦合过程转移速率如下:对任意的i∈J，(x,y)∈E×E,令

对任意的(x,y)∈E×E,yi≥1,i∈J,令

(2) 对于扩散部分, 耦合过程转移速率如下，对任意的(x,y)=E×E,yi≥1,i∈J,令

(3) 其余情况的转移速率均为0.

证明 1) 证明边缘性.对于反应部分,任意的i∈J,x∈E, 有

4 过程的随机单调性

定理5 记X(0)=x,Y(0)=y, 且有x≼y,则X1(t)≼Y(t). 即对任意的n=(ni,i∈J)∈E, 有Px[Xi(t)≥ni,i∈J]≤Py[Yi(t)≥ni,i∈J].

进而证明了两个Jackson网络，若其初始状态和参数满足如上的单调性, 则系统中的顾客数也满足概率意义下的单调性.

[1] JACKSON J R．Networks of waiting lines[J]．Operat Res，1957，5(4)：518-521．

[2] GOODMAN J M，MASSEY W A．The non-ergodic Jackson network[J]．J Appl Prob，1984，21(4)：860-869．

[3] 程慧慧，毛永华．无穷维过程Jackson网络过程的存在性和遍历性[J]．北京师范大学学报(自然科学版)，2011，47(2)：111-114．

[4] CHENG H H，MAO Y H．L2-Decay rate for non-ergodic Jackson network[J]． Front Math China，2014，9(5)：1033-1049．

[5] KELBERT M Y，KONTSEVICH M L， RYBKO A N．On Jackson networks on countable graphs[J]．Veroyatn Primen，1988，33(2)：379-382．

[6] 张余辉．跳过程的随机可比的充要条件[J]．数学学报，2000,43：965-968．

[7] 张余辉．最小q过程的随机可比性[J]．北京师范大学学报(自然科版)，2000，36(2)：156-158.

[8] WANG F Y．The stochastic order and critical phenomena for supprocesses[J].Infinite dimensional analysis quantum probability and related topics，2011，9(1)：107-128．

[9] 张旭．Rd值跳过程轨道分布随机可比的充要条件[J]．北京师范大学学报(自然科版)，2007，43(4)：378-380.

[10] CHEN M F．From Markov Chains to non-equilibrium particle systems[M]．Beijing:World Scientific(Beijing)，2014．

[11]闫振海，刘再明，王帅鸽，等． 一维非线性随机微分方程的随机指数稳定性[J]． 郑州大学学报(理学版)， 2015，47(2):20-23．

(责任编辑：方惠敏)

Stochastic Comparability of Infinite Jackson Network

CHENG Huihui

(SchoolofMathematicsandInformationSciences,NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower,Zhengzhou450045,China)

Jackson network is a classical queueing network. In fact, it is also a type of particle system-reaction diffusion processes. Under the existence conditions of the Markov processes， stochastic comparability of Jackson network with countable nodes was investigated by coupling method of Markov processes.

Jackson network; Markov processes; coupling method; stochastical comparison

2015-11-12

国家自然科学基金资助项目(11201145)．

程慧慧(1983—)，女，河南濮阳人，讲师，博士，主要从事概率论与随机过程研究，E-mail:chenghuihui@ncwu.edu.cn.

程慧慧．无穷维Jackson网络的随机可比性[J] ．郑州大学学报(理学版)，2016，48(2)：14-17．

O211.6

A

1671-6841(2016)02-0014-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2015243