直线参数方程应用举例

云南省昆明市嵩明县嵩阳街道第三初级中学 李 绒

我们从直线方程入手，推导过程如下。

下面就直线参数方程应用作如下论述。

1.求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离

准确写出直线的参数方程，求定点到两交点的距离和，注意两个点对应的参数的符号的异同。

例1、设直线l经过点M0(1,5),倾求直线l和圆的两个交点到点M0的距离的和与积.

将其代入,得设此方程的两根为则,可知均为负值,所以两交点到M0的距离

例2、经过点P(-1，2)，倾斜角为的直线l与圆相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值.

2.求解直线与曲线相交，弦长问题

将普通方程化为参数方程,先判定点M在直线上,并求出直线的倾斜角,用参数t的几何意义求相应的距离.直与曲线对应的参数分别为t1,t2.

例3、已知直线L：x+y-1=0与抛物线交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.

3.中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，若A、M、B是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t、t，则AB中点M的参数为

例4、经过点M(2,1)作直线l，交B 两点.如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程.

解：设过点M(2,1)的直线l的参t为参数），

代入椭圆方程，整理得(3sin2α+1)t2+4(cosα+2sinα)-8=0

因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，

因为点M为线段AB的中点，所以即cosα+2sinα=0.

于是直线l的斜率k=tan

因此，直线l的方程是.

例5、已知过2点P(2,0)，斜率为的直线和抛物线y=2x相交于A,B两点设线段AB的中点为M，求点M的坐标.

参数方程的引入使得我们在处理直线与曲线的题型上，无疑为我们进行这一类问题处理开启了另一扇门，在教学中，对提高学生创造性，发散性思维有着一定的作用，也为学生解决此类问题，提供了另一路径。

参考文献：1、刘绍学，张建跃，钱佩玲.高中数学选修4-4坐标系与参数方程.人民教育出版社，课程教材研究所.

2、季冬青.例说直线参数方程中的应用.中学数学研究,2009.4.

3、张 忠.参数法巧解直线与圆锥曲线问题.互联网