关于『距离』的认识与讨论

2016-06-19宋煜阳

小学教学(数学版) 2016年5期

◇宋煜阳

关于『距离』的认识与讨论

◇宋煜阳

关于“距离”，小学阶段主要涉及 “点到直线的距离”“两点间的距离”这两个具体概念。而这两个概念在人教版新教材编排上发生了较大的变化，主要表现为：“点到直线的距离”在四年级上册由原来的依附于“画垂线”调整为单设例题进行教学；“两点之间的距离”新增加在四年级下册 “三角形三边关系”的教学内容之中。可以说，新教材把“距离”这个概念推向了一个核心的位置。那么，教材为什么要重视“距离”这个概念呢？我认为其主要原因是“距离”是平面图形和立体图形中认识“高”概念的基础，如圆锥的高（从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高）就是以两点间的距离为基础下定义的。作为一个新增的核心概念，对“距离”概念本身的认识与相关教材编排的梳理与讨论还是非常有必要的。

一 “两点间的距离”与“点到直线的距离”哪个概念先学为好

在人教版新教材的编排中，是先教学“点到直线的距离”后教学“两点间的距离”的。“点到直线的距离”这个概念，教材表述为：“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。”“两点间的距离”这个概念，教材表述为：“两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。”从本质上说，两个概念都是一个量数，最终落脚点都是对线段长度的刻画。

从概念的定义来看，“点到直线的距离”是一个发生式定义的概念，有的教材版本描述为“从直线外一点向这条直线引垂线，这点到垂足间的线段长度就是点到直线的距离”，这样描述更为清晰明确。这也就意味着“点到直线的距离”最后化归为“两点间的距离”，即“直线外一点”和“垂足”这两个点之间的线段长度就是“点到直线的距离”，无形之中“两点间的距离”成为“点到直线的距离”的基础。对于学习者而言，用发生式定义描述概念的发生过程时，描述越具体，越容易理解并越容易操作。为此，无论是从概念的逻辑体系还是学习者的学习提高来说，笔者都认为先教学“两点间的距离”更有利于小学阶段对“距离”概念的整体把握。

至于“两点间的距离”这个概念，就相关知识而言，主要涉及线段、折线段、曲线段的区分与度量，突出了线段的特点，可以考虑在“线段的认识与测量”教学内容后开展教学。因为在人教版教材中“线段”概念编排在二年级，这与课标要求第二学段掌握“两点之间线段最短”的这一基本事实有冲突，所以如何合理安排“两点间的距离”这个内容是一个有待深入讨论的重要话题。

二 “平行线之间距离处处相等”的逆命题如何合理解释与运用

教材上对“平行线之间距离处处相等”（以下简称为平行线的性质），原先的描述为“与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等”（如图1），后来考虑到学生可能用不完全归纳法得到平行线的性质，于是调整为“端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等”（如图2），强调了所有线段，确保了知识的准确性和逻辑的严密性。

图1，2013版教材

图2，2015版教材

图3，2013、2015版教材

另外，教材在练习中安排了黑林错觉（如图3），意在运用平行线的性质的逆命题对平行线进行判定。问题在于：原命题成立，它的逆命题（如果两条直线之间的距离相等，那么这两条直线互相平行）是否也成立？教材中没有交代，就直接视作已经获取的规律加以运用，在逻辑上似乎讲不通。固然，教材想加强平行线性质的理解与运用，但在平行线判定面前，学生能否用两个命题之间的互逆关系加以运用呢？教学调查显示，很多学生在“平行”概念学习之前，对图4中两条直线是否平行的判断方法采用的是“同一个方向宽度是否相同”的直观经验；而在平行线的性质学习后，也很少有学生能够将这一经验改造、提升为“如果两直线之间的距离相等，这两条直线就互相平行”，即把平行线的性质的逆命题作为平行线判定方法，学生还是存在较大困难的。