由“画负数”引发的思考

◇张新春

由“画负数”引发的思考

◇张新春

一 负数是难以理解的

比0还小的数？就是表示比没有还少！这是不容易理解的。笔者已然无法回忆起自己当初是如何克服这种认识上的障碍而理解负数的，不过对自己首次接触虚数单位时的困惑仍记忆深刻。当时我无论如何也无法理解，人们有什么权利规定一个东西的平方等于-1，而且还把这个东西叫作数——虚数。

有基于生物学的所谓 “历史发生原理”的观点认为，个体的成长要以某种形式重复群体成长的过程。具体到数学教学上来说，可以粗略地理解为：学生在学习一个数学概念时遇到的困难，与人类作为一个整体接受这个概念时遇到的困难有一定的一致性。于是，我们不妨来看看历史上人们是如何看待负数的。

直到17世纪，欧洲很多数学家都不愿意承认负数是数，或者认为负数是荒谬的数。意大利数学家卡当在解方程时得到负数，但认为这是不可能的结果，仅仅是一些记号而已。法国数学家帕斯卡则认为从0减去4纯粹是胡说。他的一位神学家兼数学家的朋友提出过有趣的意见，他怀疑-1∶1=1∶（-1）的正确性，因为-1小于1，一个较小数与一个较大数的比，怎么可能等于一个较大数与较小数的比呢？这种意见甚至得到了德国大学问家、微积分的发明者之一莱布尼兹的支持。

历史上天才的数学家对负数理解起来尚且如此不易，今天十一二岁的孩子理解负数自然也会出现困难。

二 “画负数”是高明的

既然负数如此难以理解，那么如何利用巧妙的教学法加工手段，帮助学生克服这种困难，就成为负数教学时首要考虑的问题。

张齐华老师“画负数”算得上是高明的教学法加工手段。

1.这种手段是有依据的。事实上，早在100多年以前，英国心理学家高尔顿（Francis Galton）就在《自然》杂志上发表文章，提出数具有空间特性。比如他在研究中发现，在某些人的头脑中，数具有一定的形状和方向，如位于数序列开始部分的数(1～12)排成一个类似钟表面的圆环。近年，负数的空间表征也得到了关注。（如浙江大学田瑛的《负数的空间表征及其加工机制的研究》）“画负数”似乎可以理解为赋予负数以空间表征的形式。

2.这种手段是符合学生实际的。引入负数，通常有两种途径：一是从具有相反意义的量的表示方式的角度引入，二是从运算封闭性的角度引入。考虑到小学生的认知水平和已有知识经验等方面的特点，我们通常以第一种方式引入负数。

在学生的生活经验中，具有相反意义的量是常见的。对这些常见的具有相反意义的量，很多可以赋予其几何特征，即可以画出来。从教学实践中学生丰富的图形表征方式中可以知道，“画负数”是接“学生经验”这一地气的。

3.这种手段是有效的。通过画“-2层”，画“-5℃”，学生理解了0、分界的重要性。“因为地面变了，相应的楼层也就变了。”“我觉得地面就像是地上和地下的分界线，分界线变了，楼层当然就变了。”“我觉得地面就像是0层，只有我们知道 0层在哪里，我们才能确定问号所在的到底是第几层。”学生的这些认识都是深刻的。（值得一提的是，在我们的生活经验中，楼层表示的是一个空间，并且没有0层，+1层紧连着-1层。就算规定地面为“0层”，这里的“层”的意义也不同于“+1层”和“-1层”中的“层”的意义。因此，稍严格地说，楼层并不太适合作为引入负数的材料。但从教学实践来看，这似乎并不影响学生对负数的理解）

三 “画负数”是有局限性的

局限性一：有些负数之“画”有形无实。

如上图所示，这里画的仅仅是一个包含有负数的情境（当然，也包括对其中负数的某种程度上的定性理解，比如-5℃是一个比较低的温度），但并不包括对其中负数的数量特征的理解。换言之，在此图中，将-5换成-6，图中其他内容无须作任何改变。

局限性二：有些重要的负数是不太好画的。

负数表示相反意义的量。其中0是非常重要的。一般来说，有两种意义上的0：第一种，我暂且称之为自然意义上的0，如不亏不赚（或亏赚相抵）为0，不收不支（或收支相抵）为0；另一种是人为设定的0，如描述温度的0，描述海拔的0。客观地说，在0的第一种意义下的正负数，更能体现相反意义的量。在这里，正负数是可以抵消的。亏损100元和盈利100元（即-100元和+100元）可以抵消。表示3月财务状况的-100元和表示 4月财务状况的+200元是可以做加法的，其和有明显的意义。在0的第二种意义下的正负数，并不能很好地体现相反意义的量。在那里，正负数有时不能抵消。如表示昨天温度的+5℃与表示今天温度的-5℃不能相加。

画负数，似乎不太好画表示收与支、盈与亏这类相反意义的量中的负数。

若这一观点有其合理成分，我们可否在画负数之后，和学生一起讨论一下不太好画的负数？

（作者单位：湖南长沙市教育科学研究院）