小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——墨尔本大学教授麦克斯·斯蒂芬斯访谈录

◇章勤琼 麦克斯·斯蒂芬斯

小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学
——墨尔本大学教授麦克斯·斯蒂芬斯访谈录

◇章勤琼 麦克斯·斯蒂芬斯

“数与代数”是义务教育数学课程标准中的一个重要内容。那么在小学阶段，尤其是低年级的数学教学中是否有代数的内容？如果有，在小学阶段的代数教学中应该注意哪些方面呢？笔者在 ICME-13大会期间对墨尔本大学的麦克斯·斯蒂芬斯教授进行了访谈。

[麦克斯·斯蒂芬斯（Max Stephens），澳大利亚墨尔本大学教育研究生院高级研究员，获维多利亚州数学协会(MAV)和澳大利亚数学教师协会(AAMT)终身成就奖。研究内容主要有早期代数思维、不同国家的数学课堂教学课例研究、数学教师专业发展等。]

章勤琼（以下简称为章）：斯蒂芬斯教授您好！非常感谢您能接受我的访谈，今天我主要想跟您谈一谈代数这一内容的教学。您知道在中国与澳大利亚的国家数学课程中，都有一个非常重要的内容领域叫“数与代数”，您认为为什么会将数与代数放在同一个内容里呢？

斯蒂芬斯（以下简称为斯）：是的，“数与代数”是全世界所有国家数学课程中的重要内容。将数与代数放在同一个内容里，给出了这样一个信号，即数的内容跟代数的内容有非常紧密的联系，因此在小学阶段，教师就应该注重代数的教学。准确地说，应该是早期代数思维的教学。

章：早期代数思维，这个名词对大部分小学数学教师来说，可能不是特别熟悉，您能否解释一下？

斯：简单地说，早期代数思维是指虽然在小学低年级的数学中没有出现正式的代数形式，但在数的教学中需要注意培养学生对代数关系与结构的理解。

章：所以，您觉得在小学数学教学中，从低年级就应该开始注意培养学生的早期代数思维。那么，您能不能谈一谈早期代数思维的培养需要注意哪些方面？

斯：早期代数思维应该包含以下几个方面的内容：一是数的模式，二是相等关系，三是一般化与证明，四是函数关系。下面我们可以用一些例子分别说明在教学中该如何体现这些内容。

章：好的，那么让我们从数的模式开始吧。

斯：小学一年级，教师经常会给学生布置一些简单的任务，比如，请从3开始，写出3个连续的数。学生很容易会写出3、4、5。如果我们的教学就到这里为止，那么这只是对数数的考查。但事实上，我们还可以对这个任务进行进一步的发展，比如问学生，我们是否可以用不同的方式表示这3个数？教师可以引导学生写出3、3+1、3+2。虽然同样表示的是3、4、5，但用这种方式表达的时候，就可以引导学生将注意力放在这3个数之间的关系上，这是探索数的模式的起点。当然，在这之后，还可以进一步引导学生采用更多不同的方式来写出这样的3个数，比如5-2、5-1、5，还有4-1、4、4+1。可以让学生思考，我们这里用了四种不同的方式写出这样的3个数，它们都是一样的吗？现在，如果我们要把这3个数加起来，你能得到多少？这里首先学生可以直接用3+4+5。由于有另外三种不同的表达方式，有些学生在加的时候可能会采取不同的方法。而对另外三种表示方法的加法，可以分别体现不同的模式。比如，用3、3+1、3+2的方式，则可以是先将3个3加起来，再加上1和2；如果是5-2、5-1、5，则是先将3个5加起来，再减去1和2；而如果是4-1、4、4+1的方式，则是3个4相加，余下的+1跟-1刚好可以抵消。

这是在起始年级，这个很简单的任务实际上却包含了等差数列的一些模式，通过教师的巧妙设计，可以进一步挖掘数的模式。这种方式还可以进一步一般化，比如，随着学生学习的数范围的扩充，同样的方式可以扩展到较大的数，如298、299、300、301、302，还可以是小数，如4.5、5、5.5。

章：刚才您谈到了数的模式，接下来能不能谈一下相等关系？

斯：对相等关系的理解是从数的学习过渡到代数学习的重要内容，也是早期代数思维需要强调的重要特征。在小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解。还是从小学低年级的一个任务谈起吧。在小学一年级的时候经常会让学生口算，比如3+4，这里值得注意的是我们要强调3+4“等于”7，而不要说“得到”7。因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果，就是我们经常说的“得到”；二是表示“相等关系”。我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解。因此，有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到”。当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+3，3+4=4+3，第一个加数增加的时候，第二个加数减少，这两个加法算式还是保持相等的。在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29=16+30。要判断这个等式是否成立，你可以用怎样的方法？在这里，最好用稍微大一些的数，因为如果我们用7+3=8+2，很多学生还可以轻松地将等号两边的和分别计算出来。此外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+ 59=200+58，149+68=149+70-2，149+68=150+70-3。

再如，请在等号的右边填入一个式子，使得能跟左边的式子相等，又能使计算变得更简单。

5.5 +6.9=＿＿＿+＿＿＿

章：是不是可以这样说，教师应该在平时有关计算的教学中注意强调相等关系？

斯：是的，早期代数思维的培养就是体现在数的教学中的，而不是额外开设的课程。比如，为了帮助学生更深入地理解这种相等关系，下面的例子可能值得考虑。学校里来了10个新学生，但是我们现在不知道男生和女生各有多少人，你能说出有多少个男生、多少个女生吗？可以先让学生列出所有的可能性：如9个男生1个女生，6个男生4个女生……然后进一步引导学生发现，在所有这些组合中，如果男生减少1个，女生必然要增加1个，男生减少几个，则女生必须增加几个，以保证总人数是10，这其实就是保持加法中的相等关系所需要做的“补偿”，也就是中国课程里说的和不变性质。在减法中也有相等关系，不过与加法不同。比如在让学生思考类似“小明今年8岁，哥哥现在比小明大9岁，15年后哥哥比小明大几岁”这样的问题时，除了要求学生理清其中的数量关系得到正确的答案，更重要的是要帮助学生形成这样的意识，减法算式的结构与加法算式不同，当被减数与减数同时增加（或减少）相同的数时，差是不变的。因此，15年以后，由于哥哥跟小明的年龄分别增加的岁数是相同的，所以他们相差的岁数也是相同的。这道题不需要计算就可以得到答案，甚至连小明今年8岁这个条件都可以不用。

章：对，从上面的例子中可以看出，就算在小学低年级的一些内容的教学中，教师也可以有很好的机会帮助学生建立对相等关系的深刻理解。刚才您提到，代数思维的第三个重要方面是一般化与证明，您能否谈一谈？

斯：事实上，刚才所提的例子就可以很好地进一步发展到一般化。比如男生、女生的这个问题，学生已经知道男生每减少几个，女生就要增加几个，才能保持总人数是10不变。那么可以把这种关系表示出来，我们从9个男生1个女生这种情况出发。9+1=10，（9-□）+（1+□）=10，这已经离一般化的表达方式a+b=(a+c）+（b-c）非常接近了，虽然学生未必能以这样正式的方式表达，但其中所包含的代数关系是可以理解的。

减法中也是如此，刚才的年龄问题可以进一步讨论在任意年以前或以后的情况，也可以从15拓展到一般化的模式。若用△和□分别代替哥哥和小明的年龄， 就是△-□=（△±15）-（□±15）=（△±○）-（□±○）=9，这一表达式虽然没有包含字母，但其中已很好体现了代数的结构与关系。事实上，乘法、除法中都有类似的积不变以及商不变的关系。我们在教学中都要创造机会让学生去体会并理解。比如，在计算7.5÷0.5时，可以将被除数与除数同时扩大10倍，转化成75÷5而商不变。有老师会认为7.5÷0.5就是7.5÷，直接转化成7.5×2似乎要更简便些，而且“除以一个分数，等于乘以这个分数的倒数”这一法则几乎所有小学生都知道，并能熟练运用，但事实上，这一法则之所以成立，正是基于对乘法算式的结构以及两个因数之间关系的深入探讨得到的：7.5÷0.5=7.5÷=（7.5×2）÷（×2）=7.5×2。学生在理解了不同运算之间关系的基础之上，就很容易向下一步的函数关系过渡。

章：很好，下面您能否接着来谈谈如何从数的教学向对函数关系的理解发展？

斯：还是以刚才男生、女生这个问题为例。我们将10个学生可能的组合情况全部列出来，然后再问学生，如果我们包括0这个数，请问男生与女生一共有多少种不同的组合？学生在列出所有的可能后，容易发现会有11种不同的组合。然后可以再给出一个变式，如果是6个学生呢？会有多少种不同的组合？这个简单的题目，学生还是可以将所有的可能性列出来，然后轻松得出7种组合。到这里，学生已经发现，学生总数跟组合数存在着某种关系。这时再问，如果来30个学生，有多少种不同的组合呢？这时学生不会再去列出所有的可能，会直接说出31。到这里需要追问一句，你是如何知道是31种的呢？需要引导学生说出，不论来的人是多少个，组合数一定是人数+1，因为可以有1个男生，也可以全部都是男生，还要加上没有男生这种情况。到这里，有些学生甚至已经可以用n表示学生数，用n+1表示组合数了，但不要强求学生用字母表示。

更进一步地，我们回到前面数的模式那里提到的连续的几个数，我们已经讨论了后一个数比前面一个数多1的情况。有了这样的基础，我们可以给学生不同的等差数列，比如5、9、13、17……在这里，如果问第10个数是多少，学生可以用一个一个往下加的方式，但更好的方法是要找到数跟它所处的位置之间的关系。学生需要知道每个数都比前一个数大4，所以第10个数要比第一个数大9个4，因此需要用5+9×4来计算。反过来也是一样，如果一个数是33，那么这个数是第几个？同样需要去探索所处位置与数值之间的关系，这就是一种简单的函数关系。对这种函数关系的理解还可以跟图形结合起来，比如三角形数、四边形数，利用函数关系来探索n是不同值时，对应的数值应该是多少。

章：刚才您分别谈了数的模式、相等关系、一般化以及函数关系，能否这样说，这四者并不是独立的，彼此之间是有关联的？

斯：是的，前面我们已经提到，早期代数思维并不需要开设另外的课程来专门培养，而需要从一年级开始的数与计算的教学中就创设机会，帮助学生理解代数结构与代数关系。这一点非常重要，很多学生到了中学以后，在代数学习上出现很大困难，但实际上不是他们在中学的学习不好，而是在小学阶段没有建立足够的早期代数思维的基础。有些学生在小学阶段的计算中非常迅速，考试也能得到高分，但到了中学，进入正式的代数学习的时候，却迷失了。因为在小学阶段他们可以通过计算的方法解决很多问题，但到了中学之后，数与数之间的关系越来越复杂，等式需要作的变换也越来越多，他们发现小学阶段使用的计算方法再也无法解决这些问题了，因此代数对于他们来说更像是另一门外语。所以，小学阶段早期代数思维的培养非常重要。但是需要注意的是，教师不要过早地教学生正式的代数形式，不要强迫他们用字母的形式表示，学生需要有他们自己的表达方式。字母的形式不是代数思维的本质。比如，我们知道古希腊取得了非常高的数学成就，但他们在2000年前取得这些数学成就的时候没有用任何的符号表示，他们只是用语言，有时候会用一些图形。也就是说，他们当时并没有正式的代数形式，但数学思维已经非常深刻。

章：是的，现在我作个小结。代数思维的本质并不是代数符号的使用，而是对代数结构与关系的理解。对这种结构与关系的培养应该从小学一年级数与计算的教学开始（称为早期代数思维），并且需要关注四个重要的方面：数的模式、相等关系、一般化与证明以及函数关系。这四者有着非常紧密的内在联系，教师需要设计合理的教学任务来帮助学生落实这四个方面并建立早期代数思维，为今后正式的代数学习打下坚实的基础。

斯：是的，小学数学教师对早期代数思维的认识非常重要，这样才可能在“数与代数”的教学中更好地沟通数与代数的内容。

章：非常感谢您今天所谈的，相信中国的小学数学教师会得到很大的启发，希望您能经常到中国来。

（作者章勤琼系浙江温州大学教师教育学院副教授，教育学博士，南京师范大学博士后；麦克斯·斯蒂芬斯系澳大利亚墨尔本大学教授）