儿童对几何图形的概念化与学习

◇金海月

儿童对几何图形的概念化与学习

◇金海月

在德国汉堡举行的第13届国际数学教育大会（ICME-13）上，第12主题研究小组（TSG12）主要关注小学阶段的几何教学。报告的内容丰富且有趣，既有对三角形性质、四边形层级的教与学等传统课题的关注，也涉及对3D打印、抽象艺术与几何理解等独特视角的探讨。本文重点介绍美国丹佛大学的克莱门茨教授（Douglas H.Clements）关于儿童对几何图形的概念化与学习的报告。他结合早期对学前及小学低年级儿童的研究，对儿童关于几何图形概念的理解与学习进行了细致而系统的分析。他在研究视角和研究方法方面具有一定的代表性，充分体现了教育研究“细品味、深探究”的特点。此外，其研究成果对我国小学阶段几何内容的教学和相关研究亦具有一定的启发意义。

一 几何图形与思维发展

几何是研究空间形式的数学。儿童学习几何是从认识几何图形、掌握几何概念开始的。研究表明，儿童在幼儿阶段就开始形成对几何图形的概念理解，并且他们的理解在 6岁左右趋于稳定（Gagatsis&Patronis，1990）。因此，3～6岁是儿童学习几何图形的一个重要阶段（Clements等，1999）。正是基于对3～6岁儿童在完成形状辨认、分类等任务时的分析，克莱门茨等提出了对范希尔儿童几何思维理论的完善建议。

在相当长的时间里，几何的教学深受范希尔几何思维发展水平理论的影响。范希尔认为，儿童的几何思维发展经历5个阶段，分别是视觉期、分析期、非正式演绎期、演绎期和严密期。处于视觉期的儿童，能通过整体轮廓分辨图形，而不考虑图形的性质；能说出图形的名称，但无法明确地指出图形特殊的部分。例如，儿童认为一个形状之所以是四边形，是因为它看起来像一扇门。大量研究证实，范希尔的几何思维水平在描述学生从小学到中学的几何概念发展方面较为有用。但是，也有研究者发现使用该理论分析儿童早期，尤其是学前阶段儿童的几何思维水平时存在困难（Burger & Shaughnessy，1986；Wilson，1990）。因此，研究者们认为仅用“视觉期”还不足以全面了解儿童早期的几何思维特点。

根据实证研究中3～6岁儿童所表现出的几何思维特征，克莱门茨提出在“视觉期”之前还存在一个“前认知期”。在这一阶段，儿童虽以视觉形象作为识别的主要依据，但尚不能稳定地将形状（如圆、三角形、正方形等）从其他非范例中区分开来，其认知存在着过于宽泛或过于狭窄的情况。另外，克莱门茨等发现处于视觉期的儿童也并非像范希尔所描述的那样仅仅依靠整体的视觉形象进行判断，随着年龄的增长，他们会逐渐考虑到形状的特征，如三角形有三个角等，并在学前后期会根据形状的特征进行判断。因此，将“视觉期”称为“融合期”更为合适（Clements等，1999）。克莱门茨对范希尔理论的完善建议得到了后续研究的支持，同时也引起了数学教育界对克莱门茨研究的广泛关注。

二 视觉原型

已有研究表明，在早期发育中，儿童会在头脑中形成有关几何图形的视觉原型。当儿童根据形状的整体视觉认知对图形进行判定时，这些视觉原型便是其判定的主要参考依据。现实生活中的常见图形会影响儿童视觉原型的形成，这些经验在帮助儿童掌握相关几何图形的同时也会导致他们对图形认知的局限。例如，在温皮莱特（Vurpillot，1976，引自Clements，2016）的研究中发现，4～5岁的儿童认为将正方形旋转后，其形状甚至大小会发生改变；6～7岁的儿童认为旋转后图形的特征没有发生改变，但它不再是一个正方形；只有8～9岁的儿童能够清楚地认识到旋转变化中的不变性。国内的研究也发现，对于与教科书中常用的图形或教师通常采用的范形差别大一些的图形，8岁以下儿童的辨认能力都很低，他们对几何图形概念的认识和理解受到图形视觉表象的局限（李文馥，王贞琳，梁萍，1997）。如果没有高质量的几何经验，这些“顽固”的视觉原型会一直保留并影响儿童的思考。

在界定特定的心理原型方面，克莱门茨等人在新加坡、土耳其及美国等地区的调查研究较为一致。学前儿童能够准确地辨认圆，仅有少数会误选椭圆或带弧形的图形。大多数儿童将圆描述为“圆形的”，除此之外很难提供其他的描述。儿童辨认正方形的表现也较好，仅有一部分会选择不是正方形的菱形。儿童辨认三角形和长方形的表现比较差，但总体得分也不算低。例如，有60%的儿童能正确辨认三角形。美国和新加坡的数据显示：在某个阶段，儿童会将一些三角形和部分干扰图形归纳为“三角形”，并以此为标准判断其他图形是否为三角形。他们的视觉原型非常接近等边三角形或等腰三角形，一些“太尖”或“太平”的三角形会被他们忽略。在辨认长方形时，儿童往往会将“长长的”平行四边形或直角梯形误认为长方形。他们对长方形的视觉原型接近于有两条长长的平行边的四边形且它的角接近于正方形的角。

由于学前儿童在辨识图形时以视觉原型作为主要参考，因此所呈现的图形与视觉原型的差异会对儿童辨识图形时的表现产生影响。克莱门茨（Clements，1998）归纳了儿童辨识形状时的三个非本质特征的干扰因素：形状的倾斜度（顶点到中心线的距离），纵横比（形状的高度与宽度之比），以及方向（形状的旋转情况）。研究者分析，图形可能存在的干扰因素越多，儿童就越难正确进行辨认（Aslan&Arnas，2007）。例如，圆形和正方形可能的变式数量较少，而三角形和长方形在倾斜度、纵横比和方向方面的变式数量较多，这很可能是儿童在辨识圆形和正方形时正确率更高的原因之一。排除干扰因素影响的过程就是认识图形本质特征和非本质特征的过程，是儿童真正理解图形概念的过程。

三 儿童对几何图形概念的理解

在本次报告中，克莱门茨介绍了儿童在一组图形辨认任务中的具体表现，不仅关注了辨认的结果，还包括辨认过程中选择图形的次序，以进一步加深对儿童几何思维发展及行为表现的理解。

研究的被试是一组3～8岁的儿童。研究者采用个体访谈并全程录像的方式，要求被试以放小薄片（如图1）的形式在图2中标示出相应的图形。例如，当被要求标示出“三角形”时，儿童需要在他所认为是三角形的图形上放置小薄片。

图1

图2

图3 是对儿童辨认过程的数据可视化处理的一个示例。利用Datavis.bu.edu软件，克莱门茨等将一个儿童在辨认正方形时放置小薄片的次序和轨迹进行了可视化处理。所给任务（图2）中共计26个图形，用26个字母从A至Z依次标记各个图形。如图3，可视化处理软件在左下角详细记录了该儿童在辨认正方形过程中的5条选择轨迹，整个答题过程用时2分钟。该儿童每次都从图形Q（ ）开始，试图搜寻所给图形中的正方形，由此可以推测该儿童头脑中关于正方形的视觉原型接近于图形Q，且由于菱形（非正方形）与正方形的相似度较高，所给任务中的三个菱形（非正方形）在一定程度上干扰了他的选择。对辨认轨迹的记录有助于研究者分析得分相同的儿童之间存在的差别。

图3

当将一组儿童在完成某一辨认任务时的辨认轨迹图重叠处理后，研究者能够通过数据的可视化获得该组儿童对特定概念辨识的整体情况。例如，图4展示了北美城市里一组儿童在辨认“三角形”的任务中的辨认轨迹。从图中部分区域轨迹的密集程度可以看出，这组儿童在辨认三角形时存在着一些共性。大多数儿童能够正确辨认出其中的三角形，但也存在一些典型错误。不少儿童受到图5中三个图形的影响，将它们误认为三角形。并且，在访谈中，一些儿童也是直接回答它们是三角形。例如，某儿童毫不迟疑地回答图5中的H是一个弯曲的三角形。这一发现再次验证了克莱门茨“前认知期”的提法，此阶段的儿童用整体的视觉原型进行判断，但不能稳定地区分三角形的本质和非本质特征。

图4

图5

对辨识图形过程数据的可视化处理为研究者分析儿童的思维过程提供了直观依据。传统的评析方式一般关注最终的作答结果，对过程的了解往往是通过对有限样本的个体访谈、出声思维等，结合已有理论和经验作出推测性解释，具有一定的局限性。该研究中数据收集与处理方式为教育研究提供了新的视角。

四 建构课程

儿童对几何图形的概念化在很大程度上也受到课程和教学方式的影响。例如，美国早期的教材在介绍几何图形时，是按照圆、正方形、三角形和长方形的次序和分类介绍的。研究发现，美国不少5岁的儿童根深蒂固地认为正方形不是长方形（Hannibal，1999）。既然教材中将正方形作为一个独立的内容来呈现，那么，如果在教学中直接告诉儿童“正方形是长方形”，是否会造成他们的困惑？另一方面，如果继续将正方形和长方形分开教学，是否会阻碍儿童分类思维的灵活发展？

鉴于实证研究的发现和思考，以及大背景下美国学生在国际性数学测试中不太出色的表现，克莱门茨等人开发了建构课程。该课程致力于美国儿童早期数学课程资源的开发，旨在帮助儿童达到全美数学教师协会（NCTM）制定的学前至小学二年级阶段的数学标准。

建构课程的基本策略是以儿童的经验和兴趣为基础，引导儿童在日常活动（如搭积木、艺术活动、唱歌、讲故事、拼图等）中发现数学并发展数学。课程核心是教—学路径图，由目标、发展进程和教学任务三部分组成。课程对特定数学领域儿童的思维和学习进行描述，通过一系列预设的教学任务，促使儿童思维水平发展，进而改变其认知和行为，最终帮助儿童达到特定数学领域的目标。建构课程同时强调教师对儿童思维特征及其发展过程的了解，对教学内容知识的把握，以及对教学活动设计意图和原理的理解。在实施中，为了保证教师能忠诚地实施建构课程，研究者们对教师进行了专门的培训和指导，为期两年。培训内容包括每个数学主题的教学路径，支持教学中儿童数学能力发展的策略，开展儿童数学活动的策略，将教学路径用于形成性评价的策略等。培训的方式包括讲座、讨论及对实施该课程的教师多种形式的课堂训练和观察。这些措施保证了教师在一开始实施时就能真正理解建构课程的关键点，并且通过提供多种指导及教师教学活动实例资源的方式，将课程发展与教学任务相联结，保证了建构课程的有效实施。

从活动设计的角度，“建构”（Building Blocks）一词有三层含义：操作性建构（操作实物、计算机）、数学化建构（日常环境中的数量与空间关系）和认知建构（计算机环境里的数学知识）。建构活动的设计融合了计算机、操作器具及印刷资料三种媒介。尤其在认知建构阶段，计算机环境的设置也是考虑到学生在前两个阶段的学习积累，并且计算机技术的使用突破了传统材料及教学方式的局限。以形状拼图为例。拼图是儿童非常感兴趣并且在日常生活中已积累丰富经验的一个游戏。以此为基础，课程开发者设计了一系列操作活动，涉及图形的复制、几何变换（平移、旋转、对称）、组合、拆分等。例如，图6（1）要求儿童从左侧选择合适的图形，通过平移、旋转等方式拼搭组合出右侧图形；图6（2）和 6（3）也是由多个图形组合而成的，不同的是，图形间的拼接处没有标出或仅部分标出，且存在多种组合形式，显然是在图6（1）的基础上增加了难度；图6（4）要求儿童以尽可能多的方式进行平面图形的密铺。此外，儿童也可自行设计拼图谜题，利用计算机软件拆分或处理后供同伴尝试。

图6

建构课程试图通过这些活动提供充分的机会，让儿童发挥创意及运用所学，让他们体验日常生活和计算机环境中的数学化，并最终发展数学能力。

克莱门茨通过多次实验研究验证了建构课程的有效性。在一项涉及北美42所学校196个班级1305名学生的大型研究中（Clements等，2011），研究者通过对比实验发现使用建构课程的实验组在辨认各组图形的任务中的表现都明显优于控制组。例如，在完成图2所示的任务时，实验组的儿童在辨认正方形时能够很好地排除菱形的干扰，在辨认三角形时，也能较好地辨认出在非必要特征方面异于视觉原型的三角形。除此之外，实验组和控制组的儿童在辨认图形的轨迹上也有所不同。控制组的儿童在辨认图形时，有不少是随机选择或按照从左往右的次序去选择，采用这类策略的儿童往往得分较低；而实验组得分类似的儿童往往从某个选定的图形开始，然后以“还有其他的吗”的方式搜寻更多符合条件的图形，并且，实验组的儿童在解释“为什么这是长方形”“你怎么知道的”这些问题时，大部分能从边的个数、角的大小等角度提供答案。建构课程能够有效地引导儿童从几何图形的特征角度进行思考，而不是仅仅考虑直觉层面的视觉相似度。

建构课程是针对美国儿童，尤其是北美地区“处境不利”儿童设计的，课程本身不一定适用于中国地区的教学。但值得借鉴的是，克莱门茨等人在设计和实施建构课程的过程中，除了对教育心理学等理论的深度思考，还基于实证研究收集了丰富的素材和实践案例，以及在实施过程中进行了深入细致的培训和指导，这些对于我国贯彻新课程改革的理念和各级学校实施校本课程，都具有启发意义。

以上概括了克莱门茨在儿童几何思维发展及几何教学方面的代表性研究成果，也涵盖了他在本次会议中报告的最新研究。克莱门茨研究的特点在于对已有理论的深究，对儿童几何思维及行为表现的多角度的、持续性的审思，以及在建构课程并实施课程中的审慎。其研究在多方面为我国的数学教育研究提供了范例。对一线教师而言，克莱门茨研究的启发意义在于：一方面，其研究发现加深了我们对学生思维路径和思维过程的了解，有助于我们透过表象从理论的高度观察和思考，进而更为精准地设计教学；另一方面，与研究者相比，身处教育实践一线的教师有着丰富的教学经验，在收集学生资料方面具有明显的优势，而这些经验和资料对教学实践和教育研究都有着重要价值。本文中克莱门茨也正是基于丰富的数据积累和总结对已有理论提出质疑并进行完善的。我们要做的是去发挥这些优势，留意捕捉和收集第一手的资料，及时总结和归纳，并坚持反思和实践，这对于教学能力和研究能力的提升都有裨益。

[1]常宏.3～6岁儿童平面几何图形组合能力的发展研究[D].上海：华东师范大学，2009.

[2]李文馥，王贞琳，梁萍.儿童认知几何图形干扰因素的研究[J].心理学报，1997，29(4): 377—385.

[3]王延琼.简析美国儿童早期数学“建构课程”的构成与借鉴意义[J].教育导刊，2014（6）：86—89.

[4]Aslan D.Aktas-Arnas Y..Three-to-sixyear-old children’s recognition of geometric shapes[J].International Journal of Early Years Education，2007，15（1）：81—101.

（作者单位：南京师范大学）