基于意义理解与学生经验的小学阶段“数的教学”——台湾新竹教育大学教授林碧珍访谈录

◇章勤琼 林碧珍

基于意义理解与学生经验的小学阶段“数的教学”
——台湾新竹教育大学教授林碧珍访谈录

◇章勤琼 林碧珍

在小学数学课程中，数的内容在世界各个国家与地区都是特别重要的内容，数的教学除教会学生准确计算结果外，还有更加丰富的内容。在第13届国际数学教育大会期间，笔者对台湾新竹教育大学的林碧珍教授就“数的教学”进行了访谈。

[林碧珍，台湾新竹教育大学数理教育研究所主任，教授，主要从事小学数学教学研究，第13届国际数学教育大会“算术与数系的教与学（小学教育）”主题的主持人。]

章勤琼（以下简称“章”）：林教授您好，非常感谢您在百忙之中能抽时间接受我的访谈。这一次您主持的有关小学阶段算术与数的教学，在大陆，与之相关的课程内容叫作“数与代数”，不知道台湾的小学数学课程内容是如何安排的？

林碧珍（以下简称“林”）：台湾的小学数学课程分以下五个主题：“数与量”“几何”“代数”“统计与几率”以及“连结”。台湾的课程纲要是九年一贯的，是将小学、初中的内容放在一起的。

章：这与大陆的做法类似。小学阶段数学课程的内容，可能全世界都是差不多的。您能不能谈谈台湾小学数学课程发展的大致情况？

林：1993年，台湾颁布了一个课程标准，可以被视作是从传统式教学向建构式教学的转变。由于注重以学生为中心，因此在课堂教学中没法教太多的数学内容，因此将有些数学内容，如异分母加减，移到了初中。于是就有数学家担心，学生在小学阶段数学学得太少，到初中没法跟上。因此这个课程标准实施的时间并不长。到2001年又发布了《中小学九年一贯课程暂行纲要数学学习领域》，对1993年的课程标准进行了调整，数学课程的内容又回归正常化，将1993年往后移的内容往前移。到2003年与2008年又分别对数学进行了修订，主要是对一些内容的微调。

章：台湾的这个过程跟大陆非常像，大陆从2001年开始新一轮的课程改革，在改革的过程中，数学课程受到一些数学家的质疑。接着开始对课程标准进行修订，现在实施的是2011年版。

林：所以，课程改革通常就是这样一个过程。不过我们也要看到，数学家往往重视的只是数学的角度，可能他们只看重学习的结果。而我们数学教育研究者在乎的是怎么得到这个结果，因此在课堂上需要更多时间，但学校课程的时间是有限的，因此只有把内容减少。还有一件事值得注意，数学家会担心这样做（把有些小学阶段数学的内容后移）会不会使得学生在国际测试中的成绩下降，但最近十年，台湾学生的测验成绩并没有下降，是保持在原来水平上的。不过当时有一个比较大的问题，我们对课程进行了改革，但是教学的实例没有配套去做，所以存在一定程度的脱节。

章：好的。刚刚是讲了一个大概的课程变革的过程，现在我们回到“数的教学”这一主题上。以您的理解，台湾课程在这块内容里面大概有哪些新的理念？在教学中需要注意哪些方面？

林：跟其他内容相比，数的内容在小学阶段占的比例最大。在台湾，五个主题中，“数与量”的内容比较多，大概30%的样子。在这一内容的教学上，我们特别强调的是学生的数感；还有就是，数的教学不只是计算答案而已，我们比较强调的是问题的意义。因此，我们不希望老师只教“裸题”，要有情境。小学生在学习数学时，是需要有实际情境的。如在教加法交换律时，对于数学家来说，只需要知道规律就可以了，所以只要教2+7=7+2这个结果就可以了，但是我们需要的是2+7与7+2这两个算式有什么意义。在这里，我们需要的是一个“并加型”的情境，如“这个教室里有2个男生与7个女生”，与“这个教室里有2个男生，又来了7个女生”这个情境是不同的。后面这个情境是“添加型”的情境。添加型的情境不容易让学生理解加法交换律，因为在教室中原来有2个男生，又来了7个女生，跟原来有7个女生，后来又来2个男生，是不同的。而在并加型情境中，教室中一直都有2个男生跟7个女生，不论是先数男生还是先数女生，人数都是一样的，都是原来就在教室里的9个人，这能更好地帮助学生在意义上理解2+7=7+2。

另外一个需要强调的就是表征。所谓表征，就是学生对数学问题的理解与表示方式。如一年级上学期，刚入学的学生对数不是很熟悉。当需要算3+8时，那种文化刺激（林教授提到的“文化刺激”，是指学生在数学上获得的经验，下同）不够，对数的经验不多的孩子，一开始解决这个问题的时候，一定是一个一个地数，从1开始往上数，一直数到11，这个叫作“序列性和程运思”。而稍微有些经验的孩子，会先把3记下来，从3开始往上数，这个叫作 “累计性和程运思”。经验再多的孩子，会把8放在心里，知道从8开始往上数3个，结果是一样的，这样会更容易。他们对于3+8这个问题的表征是不同的。

我们需要特别重视学生的解题思维，从学生使用的不同方法可以看出他们不同的思维，教师需要多去关注学生的思维，不要只关注计算的结果。再如比较复杂的两位数相加，如27+36，这个时候学生不可能用点数的，我们的目的是要教会他们一种有效的工具，叫作直式算则（类似于大陆的“竖式计算法则”）。但是，学生刚开始计算时，我们要允许他们有自己的方法，如把它变成27+30=57,57+6=63。对于学生来说，这就是一种解题记录，记录他们的思考过程。可是如果按照直式算则，就是要把这两个数按照直式对齐，先算7+ 6=13，再来算十位。

事实上，此时对27的理解是2个十和7个一，但对于有些学生来说，27还是27个一，这里的理解会不一样。在我们的教学中，就要从学生的已有经验出发，帮助他们从旧经验发展到新学习的算则。这个过程，有些孩子可以一次到位，而刺激不够的孩子就没法一次到位。对于除法也是一样的，如56÷8，学生可以用表内乘法的逆运算。但如果是96÷8，学生还没有学到直式算则，由于有表内乘法的经验，他会发现，就算用了最大的8×10，也只能到80，还不够，那么再多一个8，会得到88，再多一个8，就可以得到96。利用这种方法，学生可以得出结果是12。这个过程谈不上什么算则，只是解题记录，但是在学生掌握直式算则之前，需要有这样的思维过程。

章：在台湾的课堂中，是鼓励学生有这些过程的吧？

林：对，就是在刚开始的时候，到能用算则计算96÷8之前，需要由学生的旧经验过渡过来。因为96÷8，从十位开始除起的算则对学生来说是个怪物，这是大人玩的游戏。学生存在的困惑是为什么除法的记法跟前面学的计算都不一样。如果我们不帮学生把旧经验转换过来的话，学生是无法理解为什么可以这样的。

章：对，他们可能仅仅是记住了这个算则，意义上却不理解。

林：我做了20年教师专业发展，在听老师上课的时候，主要是帮助他们看到教材背后的数学本质。很多老师，拿到教材就直接教，并没有注意想办法理解背后的数学本质。刚才我们谈的是整数，还有分数，分数是一个连续量，如一个比萨，平均分给4个人，一个人可以得到大陆对这个地方的处理都叫作“全部的”。我们以前也是用“全部的”，这个时候是没有单位的。学生在这一内容的学习上没有问题，但是在接下来学习的时候会出现问题，孩子的答案会是。因为按照之前学习的，一个是，学生画出一个；加上，再画出另一个，这个时候他会发现“全部”有8份，所以答案是。我们采用分数的另外一种意义：妹妹吃了个比萨，弟弟吃了个比萨，两个人一共吃了多少个比萨？这样处理有什么好处呢？这个时候是统一的总体单位在分的，就比较容易理解加起来的意义。这样是有助于后面的学习的。

章：对，学生在初学分数的时候有理解上的困难，尤其是到后面跟小数的学习结合起来的时候。在大陆也是这样，如有这么一道题：一把尺子，画出了8厘米，选取了其中的3厘米，要求学生用小数与分数表示选取的有多少分米。用小数表示时，学生是没有问题的，是 0.3分米，但是在用分数表示时，学生一个典型的错误是写成了分米，因为他对分数的理解还是“占全部的几分之几”，这里把画出的8厘米看成了全部。

林：对，我觉得这个地方，大陆的教科书可能要做一些改变，我一直希望跟大陆的教科书编者对话。对于学生而言，困难的地方在于，为什么学到后面，“总体单位”要这样看，与以前的不一样。另外，分数这里还有一个单位分量的累加。比如说，如果以部分与整体关系的意义来讲，是4等份里面的3份。我们也可以看成3个，以为计数单位。为什么需要这个？因为后面还要引入假分数，如果没有这个，你怎么引入假分数？没法引入啊。如果用部分与整体关系的意义来理解分数，是没法引入假分数的，所以需要对分数的意义进行扩充。当然，这样的扩充还不够，如两数相除的结果，也可以用分数表示，如3÷4的结果是，这个意义跟分割的意义是不同的，也需要有所强调，因为后面还要学分数与小数的转化。（事实上，大陆的教科书中涉及分数的不同层级的意义，详见章勤琼、徐文彬撰写的《论小学数学中分数的多层级意义及其理解》一文，发表在《课程·教材·教法》2016年第3期上）我们有些老师看不到这些，事实上教科书编写者也未必能看到这些。因此，老师需要去了解教学内容背后的数学本质。

章：对，我们现在有些老师认为学生学习分数的时候难，但是他们并不知道学生的困难其实是对分数意义的不理解，而数学其实是关于理解的学科。

林：对，教师觉得学生有困难，就铆足了劲去教，但还是没能解决学生对意义理解的问题，效果还是不理想，这就会导致老师很沮丧。再如乘法的意义，也有很多种类型。有面积的意义，还有组群，重复的组群，如一只青蛙4条腿，那么很多只青蛙就是4的重复。再如搭配问题，这些都可以用乘法，但其意义是不一样的，然而有些老师看不到。

章：事实上，很多学生在数学上的学习困难，主要是没法通过老师的讲解获得对所学数学内容的理解。

林：对，最重要的是老师，老师需要对所教内容的意义与本质有深刻的把握。

章：很高兴今天我们能对数的教学内容谈这么多，我受益匪浅。希望我们今后能够就内地与台湾的数学教学有更多的交流。

（作者单位：浙江温州大学教师教育学院，台湾新竹教育大学）